劉慧敏

(1.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東聊城 252059;2.山東省臨朐實(shí)驗(yàn)中學(xué),山東臨朐 262600)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)“四部曲”

劉慧敏1,2

(1.聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東聊城 252059;2.山東省臨朐實(shí)驗(yàn)中學(xué),山東臨朐 262600)

概念是數(shù)學(xué)的基本,加強(qiáng)概念學(xué)習(xí)是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵,學(xué)好概念、掌握概念、理解概念才能切實(shí)地掌握知識,靈活地應(yīng)用知識,才能抓住根本、深入理解,從而在解題時(shí)能將條件進(jìn)行多方位的轉(zhuǎn)化,尋找出合適的解題途徑。因此需要加強(qiáng)概念教學(xué),提高學(xué)生的基礎(chǔ)知識掌握。

概念教學(xué);概念學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)概念

“概念教學(xué)”并不是一個(gè)新生事物,而是一個(gè)始終伴隨教育成長的老面孔。但是它成為系統(tǒng)理論并受到重視卻是最近幾年的事情。一個(gè)很重要的原因是：隨著素質(zhì)教育的深化,學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間的縮短,以往“以方法代概念”,“以做題補(bǔ)概念”的機(jī)械式重復(fù)不能適應(yīng)新的教育形勢了。作為“雙基”的一個(gè)重要組成部分,“概念教學(xué)“的重視和應(yīng)用對激發(fā)學(xué)生興趣,提高課堂效率,培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新的能力都有著不容低估的意義,是素質(zhì)教育背景下有益的探索和創(chuàng)新。

在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,筆者發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生不重視概念的學(xué)習(xí)。他們認(rèn)為,學(xué)數(shù)學(xué)只要會解題就行了,這些錯(cuò)誤的認(rèn)識導(dǎo)致他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績總是難以提高,很多“半桶水”學(xué)生的問題主要就在于此。對于不少同學(xué)而言,概念學(xué)習(xí)方法不對,導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率低下,影響了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣及信心,主要表現(xiàn)在：

首先,死記硬背。由于概念本身的抽象性,給學(xué)習(xí)增加了難度,進(jìn)而不少同學(xué)干脆采取“死記硬背”方式。這種方式確實(shí)簡單、省事,可以節(jié)約大量學(xué)習(xí)時(shí)間。然而,這種方式帶來的負(fù)面影響也很嚴(yán)重：最直接的消極影響體現(xiàn)在解題方面,由于對概念沒有理解,導(dǎo)致解題時(shí)“束手無策或困難重重”;由于沒有經(jīng)歷概念形成過程,抽象、概括及歸納思維及相應(yīng)的能力也無法得到發(fā)展及提高。

其次,孤立地學(xué)習(xí)概念。不少同學(xué)學(xué)習(xí)概念時(shí),總是習(xí)慣于一個(gè)概念一個(gè)概念的去學(xué)習(xí),孤立地看待概念,無法將不同概念形成體系,不能系統(tǒng)地學(xué)習(xí)概念。如此,對概念的理解流于形式及膚淺,學(xué)習(xí)效果自然大打折扣。

最后,概念與其應(yīng)用脫節(jié)。在概念學(xué)習(xí)中有兩種錯(cuò)誤傾向：一是,部分同學(xué)為概念學(xué)習(xí)而學(xué)習(xí),缺少應(yīng)用環(huán)節(jié),很少做一些相關(guān)的練習(xí)。二是,部分同學(xué)恰恰相反,很喜歡解題,只為解題而解題,在解題過程中對習(xí)題涉及的概念很少關(guān)注,更無從去復(fù)習(xí)、鞏固相應(yīng)概念。其實(shí),這兩種錯(cuò)誤的本質(zhì)是一樣的,就是漠視了概念的應(yīng)用環(huán)節(jié),想當(dāng)然地認(rèn)為概念與應(yīng)用是兩個(gè)不同層面的內(nèi)容,它們之間有著不可逾越的鴻溝。

那么,我們究竟應(yīng)該怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)呢?

一、重視數(shù)學(xué)概念引入的方法

新課標(biāo)指出：概念教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體的實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程。因此引入數(shù)學(xué)概念就要以具體的典型材料和實(shí)例為基礎(chǔ),揭示概念形成的實(shí)際背景,要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好的問題情境,幫助學(xué)生完成由材料感知到理性認(rèn)識的過渡,并引導(dǎo)學(xué)生把背景材料與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立實(shí)質(zhì)性聯(lián)系。充分了解概念的背景,包括生產(chǎn)生活及學(xué)科方面的背景,以豐富概念內(nèi)涵,借助直觀經(jīng)驗(yàn)來促進(jìn)對概念的理解,降低概念學(xué)習(xí)難度。以下是幾種常用概念引入方法：

1.從實(shí)際生活中引入新概念。

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際”。在數(shù)學(xué)概念的引入上,盡可能地選取學(xué)生日常生活中熟悉的事例,并且注意選取事例不在于數(shù)量的多少,關(guān)鍵是要貼近學(xué)生的認(rèn)識經(jīng)歷,能夠反映概念的本質(zhì)特征。

譬如：函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念之一,同時(shí)由于其本身的抽象,給很多學(xué)生學(xué)習(xí)帶來了很大的困難。在教學(xué)中,我們可以利用函數(shù)概念豐富的實(shí)際背景：如勻速運(yùn)動(dòng)中位移與時(shí)間的關(guān)系,日常購物中的價(jià)格與數(shù)量的關(guān)系,上網(wǎng)的費(fèi)用與時(shí)間的關(guān)系,“神州五號”載人航天飛船離開地面的距離與時(shí)間的變化關(guān)系,人口的增長與時(shí)間變化的關(guān)系,等等。透過這些背景資料,讓學(xué)生對函數(shù)的內(nèi)涵及特征擁有直觀而豐富的認(rèn)識及體驗(yàn),為概念的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好的認(rèn)知基礎(chǔ)。

再如數(shù)列極限的概念引入,數(shù)列極限的概念引入可以從學(xué)生熟悉的砍木棍引入：戰(zhàn)國時(shí)代哲學(xué)家莊周著的《莊子·天下篇》中有這樣一句話：一尺之棰,日取其半,萬世不竭。意思是說：一根一尺長的木棍,每天砍去一半,這樣可以無限制的進(jìn)行下去。讓學(xué)生將每天剩余的木棍長度和已砍去的木棍長度寫成兩個(gè)數(shù)列,并把它們的各項(xiàng)標(biāo)在數(shù)軸上,引導(dǎo)學(xué)生歸納兩個(gè)數(shù)列的共同點(diǎn)特征：(1)都是無窮數(shù)列;(2)隨著項(xiàng)數(shù)的無限增大,數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于一個(gè)常數(shù),從而引出數(shù)列極限的定義。

2.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新概念。

教師要善于恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)趣味性、探索性的問題情境,激發(fā)學(xué)生概念學(xué)習(xí)的興趣,使學(xué)生能夠從問題分析中,歸納和抽象出概念的本質(zhì)特征,這樣形成的概念才容易被學(xué)生理解和接受。例如在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)就可以借助著名的多米奴骨牌試驗(yàn),使學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)條件有一個(gè)深刻的印象。

3.從最近概念引入新概念。

任何數(shù)學(xué)概念必定有與之相關(guān)的最近概念,因此教學(xué)中充分利用學(xué)生已掌握了的知識,從學(xué)生的最近概念出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生探求新舊概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。這樣有助于學(xué)生形成相互聯(lián)系的知識,提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識之間的整體認(rèn)識。

比如,映射與函數(shù)的概念,函數(shù)作為一種特殊的映射：非空數(shù)集之間的映射,不僅具有映射的所有性質(zhì),而且具有其特有的性質(zhì)。

二、注重引導(dǎo)學(xué)生自主探索,形成概念

波利亞指出“學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”,因此在概念形成過程中,要引導(dǎo)學(xué)生通過對具體事物的感知,自主觀察分析,抽象概括,自覺獲取事物的本質(zhì)屬性和規(guī)律,從而形成新的概念。這樣學(xué)生在獲得概念的同時(shí),還鍛煉了抽象概括能力和創(chuàng)新精神,同時(shí)也使學(xué)生從被動(dòng)的聽發(fā)展成為主動(dòng)的獲取和體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念,自主建構(gòu)知識。

充分經(jīng)歷概念的形成過程,在“歸納、抽象及概括”中加深對概念內(nèi)涵的理解,同時(shí)認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念的科學(xué)性、合理性及簡潔性,是數(shù)學(xué)“簡潔美”的展現(xiàn)。例如,對等差數(shù)列的概念的學(xué)習(xí),可以練習(xí)以下題目：

(1)1,3,5,(),9

(2)15,12,(),6,3

(3)48,53,58,(),68

(4)8,(),8,8,8

觀察、歸納、抽象、概括上述四個(gè)數(shù)列的共同特征,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)、歸納出等差數(shù)列的內(nèi)涵,等差數(shù)列的定義產(chǎn)生也就“水到渠成”,此時(shí)對概念肯定已經(jīng)有了一定的理解。

再如在曲線方程的概念形成上,通過連續(xù)設(shè)問,啟發(fā)學(xué)生回憶直線方程的定義,自主地觀察分析拋物線和正弦曲線,是否也象直線和方程一樣滿足兩點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生概括出曲線和方程的本質(zhì)特征,將直線方程的定義遷移到曲線方程,從而形成曲線方程的概念。這樣充分體現(xiàn)了學(xué)生為本,尊重學(xué)生主體地位的教學(xué)理念,同時(shí)也促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變和優(yōu)化。

三、重視概念的內(nèi)涵和外延

概念的定義,并不反映概念所包含的全部本質(zhì)屬性,盡可能地提示概念的內(nèi)涵及外延,嘗試用自己的語言闡釋數(shù)學(xué)概念,結(jié)合文字、符號、圖形或表格等多種語言來描述概念。既可從正面理解概念,也可通過反例來加深對概念的理解。另外,加強(qiáng)概念之間的縱橫比較,在概念體系中學(xué)習(xí)概念,以優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)。因此概念形成后,還必須讓學(xué)生掌握概念的內(nèi)涵和外延,幫助學(xué)生內(nèi)化概念,建構(gòu)新的知識體系。在概念教學(xué)中,教師既要讓學(xué)生理清概念的結(jié)構(gòu)特征,又要說明它與其它概念的聯(lián)系和區(qū)別。因此教師要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀概念,對概念逐字逐句加以推敲、分析,同時(shí)教師要多角度、多層次地剖析概念,充分了解概念的背景,包括生產(chǎn)生活及學(xué)科方面的背景,以豐富概念內(nèi)涵,借助直觀經(jīng)驗(yàn)來促進(jìn)對概念的理解,降低概念學(xué)習(xí)難度。

譬如,偶函數(shù)概念的學(xué)習(xí)。對于概念的內(nèi)涵,首先可以借助圖像語言來理解,圖像關(guān)于 y軸呈直線對稱。然后,將圖像語言轉(zhuǎn)化成文字語言,對于定義域內(nèi)的任意 x及 -x,它們對應(yīng)的函數(shù)值符號相同,絕對值大小相等。最后,借助抽象的數(shù)學(xué)符號來表示,對于定義域內(nèi)的任意 x,均有 f(-x)=f(x)。在充分掌握概念的內(nèi)涵 (這是概念的根本)之后,再過渡到概念外延的認(rèn)識,回顧以前學(xué)習(xí)的種種函數(shù),哪些是偶函數(shù),如特殊的二次函數(shù)等等。另外,可以尋找一些不是奇函數(shù)的反例,從反面加深對概念的理解。在此基礎(chǔ)上,將偶函數(shù)概念與前面的奇函數(shù)概念進(jìn)行比較,尋找它們之間的異同,甚至還可以將它們與函數(shù)的其它性質(zhì)進(jìn)行橫向比較。最后,將函數(shù)分成如下四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶、非奇非偶函數(shù),構(gòu)建奇偶函數(shù)概念體系。

四、重視概念應(yīng)用和鞏固

心理學(xué)告訴我們,知識一旦獲得,如不及時(shí)鞏固,就會被遺忘。在概念教學(xué)過程中,經(jīng)常會出現(xiàn)這樣情況：學(xué)生課堂上聽懂了,卻不會應(yīng)用概念去解決問題,而且對知識的遺忘程度比較高。因此概念的鞏固尤其重要,教師要在學(xué)生形成概念的基礎(chǔ)上,創(chuàng)造性地使用教材,對教材中干擾概念教學(xué)的例題要更換,對脫離學(xué)生實(shí)際的概念應(yīng)用題要大膽刪除,通過精心設(shè)計(jì)適量典型性的例題和習(xí)題,讓學(xué)生嘗試運(yùn)用概念解決問題。設(shè)計(jì)題目時(shí)要根據(jù)概念的內(nèi)涵和外延,可編寫各種題型,也可有意設(shè)置錯(cuò)誤解法和易錯(cuò)習(xí)題,學(xué)生通過閱讀、辨析、討論,找出錯(cuò)誤并糾正。加強(qiáng)對概念的應(yīng)用環(huán)節(jié),在實(shí)際問題情境中豐富、拓展對概念的全面而深入的理解,真正將陳述性知識的概念轉(zhuǎn)化成自己的智慧技能,由此實(shí)現(xiàn)概念與能力的有機(jī)結(jié)合,完成概念學(xué)習(xí)的目標(biāo)及任務(wù)。值得注意的是,解題的目標(biāo)是為了鞏固、加深對概念的理解,切忌為解題而解題,解題后須認(rèn)真反思這道習(xí)題所涉及了哪些概念,主要是運(yùn)用了概念的哪些性質(zhì),對概念又有了哪些新的認(rèn)識及體驗(yàn)。譬如：函數(shù)奇偶性概念的學(xué)習(xí)可采用下面的步步深入的方法：

題型1：判斷函數(shù)的奇偶性

判斷下列函數(shù)的奇偶性

(3)f(x)=x3+x2

題型2：考查奇偶函數(shù)圖像特征

下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與 y軸相交;②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn);③偶函數(shù)的圖像關(guān)于 y軸對稱;④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是 f(x)=0(x∈R),其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

題型 3：與單調(diào)性、解析式有關(guān)的綜合題型

已知 y=f(x)是奇函數(shù),它在(0,+∞)是增函數(shù),且 f(x) =x(1+x)。試問：當(dāng) x＜0時(shí),f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù),并求出 y=f(x)在定義域 R上的函數(shù)解析式。

題型4：其它更復(fù)雜的綜合題型

(1)求函數(shù) f(x)的表達(dá)式;

(2)如果 f(x)為偶函數(shù),求 a的值;

(3)當(dāng) f(x)為偶函數(shù)時(shí),根據(jù)單調(diào)性定義討論 f(x)的單調(diào)性。

結(jié)語

上面系統(tǒng)地展現(xiàn)了概念教學(xué)的整個(gè)流程,并作了比較詳盡地解釋及展開。概念學(xué)習(xí)作為教學(xué)中的重要一環(huán),我們在數(shù)學(xué)教學(xué)一定要給以足夠的重視,盡管數(shù)學(xué)概念眾多,有一定的難度,且容易混淆,但只要我們樹立信心,懷著濃厚的學(xué)習(xí)興趣,在上述方法的科學(xué)指導(dǎo)下,勤于實(shí)踐,反復(fù)琢磨,堅(jiān)持不懈,在不久的未來,“數(shù)學(xué)概念”將成為大家的“親密伙伴”,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也會變得更加輕松及高效。

[1]李明照.“問題探究式”教學(xué)在高中數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2005,(8).

[2]袁竟成.一堂關(guān)于直線和圓的建構(gòu)式習(xí)題課[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2004,(3).

(責(zé)任編輯：潘 敏)

2011-02-14

劉慧敏(1979-),女,山東臨朐人,聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2009級在讀碩士研究生,山東省臨朐實(shí)驗(yàn)中學(xué)二級教師。

O1-42 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號：1009-2080(2011)04-0084-02