宋納紅，王玉生

(1.河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南鄭州450002;

2.華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南鄭州 450011)

關(guān)于各向異性電介質(zhì)圓柱形電容器的討論

宋納紅1，王玉生2

(1.河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南鄭州450002;

2.華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南鄭州 450011)

利用電容器的并聯(lián)、串聯(lián)以及能量的方法，計(jì)算了充有線(xiàn)性各向異性電介質(zhì)和對(duì)數(shù)各向異性電介質(zhì)時(shí)圓柱形電容器的電容，并比較了兩種電介質(zhì)對(duì)電容的影響.

圓柱形電容器;電容;各向異性電介質(zhì)

電容器作為能量存儲(chǔ)器件，由于其能量密度高、使用壽命長(zhǎng)、免維修、對(duì)環(huán)境無(wú)污染等優(yōu)點(diǎn)得到了廣泛關(guān)注［1－3］，同時(shí)電容器在電路中也起著舉足輕重的作用，安裝在電網(wǎng)中的各級(jí)變電站和線(xiàn)路上可以補(bǔ)償電力系統(tǒng)的無(wú)功功率，減少系統(tǒng)電能損耗，提高功率因數(shù)，從而提高電能質(zhì)量.

電容是電容器的重要參數(shù)，根據(jù)不同需要，電容器的形狀以及電容器內(nèi)所填充的電介質(zhì)也不同.圓柱形電容器是最常見(jiàn)的電容器，對(duì)于真空和各向同性電介質(zhì)的情況已經(jīng)有很多討論，并且可以精確求出其電容［4－5］.而各向異性電介質(zhì)電容討論較少，其電容一般通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)量.如果能夠從理論上計(jì)算出各向異性電介質(zhì)的電容，就能在電容器的設(shè)計(jì)應(yīng)用中給以重要指導(dǎo).本文根據(jù)電容器的串聯(lián)和并聯(lián)知識(shí)以及電場(chǎng)能量與電容的關(guān)系，討論了圓柱形電容器充有線(xiàn)性和對(duì)數(shù)各向異性電介質(zhì)時(shí)的電容，并得出了其電容和真空時(shí)電容的關(guān)系［6］.

1 各向同性圓柱形電容器電容

假設(shè)圓柱形電容器高度為L(zhǎng)，內(nèi)外半徑分別為R1和R2，如圖1所示.設(shè)兩個(gè)極板帶電分別為+Q、－Q，由高斯定理可先求出電場(chǎng)強(qiáng)度，然后根據(jù)電容器電容的定義可得［5］

其中e為各向同性電介質(zhì)的電容率.

在復(fù)雜電路中，為了滿(mǎn)足需要往往把多個(gè)電容器串聯(lián)或并聯(lián).當(dāng)有多個(gè)電容器并聯(lián)時(shí)，總電容為

圖1 圓柱形電容器Fig.1Cylindrical capacitors

2 線(xiàn)性各向異性電介質(zhì)圓柱形電容器的電容

2.1e=e0(1+kx)時(shí)

如果在電容器極板間充有電容率為e=e0(1+kx)的線(xiàn)性各向異性電介質(zhì)，電容器的電容可以按下面的方法計(jì)算.如圖2所示，在x處取一個(gè)高度為dx的圓柱為微元，整個(gè)電容器可以看做很多個(gè)高度為dx的圓柱形電容器并聯(lián)而成.由(1)式得出微元的電容可表示為可見(jiàn)圓柱形電容器充有線(xiàn)性各向異性電介質(zhì)時(shí)，總電容與電容器的高度和電介質(zhì)的電容率有關(guān).若k=，則C=1.5C0，充有此種電介質(zhì)的電容是真空電容器的1.5倍.

2.2e=e0kr時(shí)

當(dāng)電介質(zhì)的電容率為e=e0kr時(shí)，其中r為距離圓柱形電容器軸線(xiàn)的距離.可以用兩種方法來(lái)求解電容器的電容.

2.2.1電容器串聯(lián)法

如圖3所示，在電容器內(nèi)部取一個(gè)半徑為r厚度為dr的圓柱體為微元，整個(gè)電容器可以看做是由很多個(gè)高度為dr的電容器串聯(lián)而成.微元電容器的電容為

圖2 圓柱形電容器并聯(lián)示意圖Fig.2Cylindrical capacitors connected in parallel

2.2.2能量法

除了用電容器串聯(lián)方法求解電容，還可以用電容器能量與電容的關(guān)系來(lái)求解電容.首先，根據(jù)有介質(zhì)時(shí)的高斯定理求出圓柱體內(nèi)部的電位移矢量D=，l為單位長(zhǎng)度電容器極板所帶電量，然后，根據(jù)電位移與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系可求出電場(chǎng)強(qiáng)度

圖3 圓柱形電容器串聯(lián)示意圖Fig.3Cylindrical capacitors connected series

用電容器串聯(lián)法和能量法均可求出電容器的電容，充有此種電介質(zhì)的圓柱形電容器的電容是真空電容器電容的Ak1倍，Ak1與介質(zhì)的電容率以及電容器的大小形狀有關(guān).

3 對(duì)數(shù)各向異性電介質(zhì)圓柱形電容器的電容

3.1e=e0［1+ln(1+kx)］時(shí)

當(dāng)電容器充有電容率為e=e0［1+ln(1+kx)］的電介質(zhì)時(shí)，與線(xiàn)性電介質(zhì)情況類(lèi)似，選取高度為dx的圓柱為微元，則微元的電容為充有此種電介質(zhì)的圓柱形電容器電容是真空時(shí)的1.4倍，所以，軸向?qū)?shù)各向異性電介質(zhì)比線(xiàn)性各向異性電介質(zhì)對(duì)電容器電容的影響小.

3.2e=e0ln(kr)時(shí)

4 結(jié)論

根據(jù)各向同性電介質(zhì)的串聯(lián)和并聯(lián)知識(shí)以及電容器能量和電容的關(guān)系，計(jì)算并討論了各向異性線(xiàn)性電介質(zhì)、對(duì)數(shù)電介質(zhì)對(duì)圓柱形電容器電容的影響.結(jié)果表明，本文討論的兩類(lèi)電介質(zhì)對(duì)電容都有一定的影響，沿軸向填充的線(xiàn)性和對(duì)數(shù)各向異性電介質(zhì)分別使電容增加為真空的1.5倍和1.4倍.沿徑向填充的兩類(lèi)電介質(zhì)使電容變?yōu)檎婵諘r(shí)的Ak2和Ak3倍.

［1］OKAJIMA K，OHTA K，SUDOH M.Capacitance behavior of activated carbon fibers with oxygen-plasma treatment［J］.Electrochimica Acta，2005，50(11):2227－2231.

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［4］王利敏.非平行板電容器電容的又一計(jì)算［J］.大學(xué)物理，2006，25(4):23－24.

［5］馬文蔚，周雨青，解希順.物理學(xué)教程［M］.2版.北京:高等教育出版社，2006.

［6］吳百詩(shī).大學(xué)物理基礎(chǔ)［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

Discussion on Cylindrical Capacitor Filled with Anisotropy Dielectric

SONG Na-hong1，WANG Yu-sheng2

(1.College of Computer and Information Engineering，Henan University of Economics and Law，Zhengzhou450002，China; 2.College of Mathematics and Information Sciences，North China University of Water Resources and Electric Power，Zhengzhou450011，China)

Using the principles of capacitors connected in parallel and in series and the method of electrical energy，the capacitances of cylindrical capacitor filled with linear anisotropy dielectric and logarithmic anisotropy dielectric are calculated.The impacts of two kinds of dielectric to capacitor are compared.

cylindrical capacitor;capacitance;anisotropy dielectric

O441.1

A

1007－0834(2011)04－0029－03

10.3969/j.issn.1007－0834.2011.04.010

2011－07－28

華北水利水電學(xué)院青年科研基金項(xiàng)目(HSQJ2009018)

宋納紅(1978—)，女，河南平頂山人，河南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院講師.