聯(lián)通，聯(lián)系、貫通之意?！奥?lián)通”在學(xué)習(xí)及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)的作用非常明顯。因?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)本身是一個(gè)相對(duì)完整的體系，一旦把它分解到12本書、100多個(gè)單元、近千個(gè)課時(shí)中，就顯得有些“支離破碎”。所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，尤其應(yīng)當(dāng)重視“聯(lián)通”，因?yàn)槁?lián)通可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由表及里、由此及彼，在比較中鑒別，在融匯中貫通。
　　一、教材分析及教學(xué)設(shè)想
　　“交換律”是人教版四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，學(xué)生第一次正面接觸運(yùn)算定律。這部分教材是這樣安排的：加法交換律→加法結(jié)合律→乘法交換律→乘法結(jié)合律→乘法分配律，減法和除法中交換的情形未做涉及。為了便于學(xué)生的比較與理解，本課將同時(shí)研究加、減、乘、除中交換的情形，溝通加法交換律、乘法交換律、減法性質(zhì)、除法性質(zhì)之間的聯(lián)系。
　　交換律知識(shí)本身淺顯易懂，不少學(xué)生在這之前都有所應(yīng)用。關(guān)鍵在于要充分創(chuàng)設(shè)條件，發(fā)揮學(xué)生的主體性、主動(dòng)性，經(jīng)歷交換律的探究過程，習(xí)得合情推理、驗(yàn)證的方法與習(xí)慣，理解加法交換律、乘法交換律、減法性質(zhì)、除法性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系，從算理上來解釋加法和乘法交換律、減法和除法性質(zhì)存在的理由，使學(xué)生的理解與感悟由表及里、由此及彼。
　　打算這樣安排教學(xué)：在課前談話中滲透有些事物是有規(guī)律的，有些事物是沒規(guī)律的；直接揭題，出示35+18+15，引出問題，在教師指導(dǎo)下探究加法交換律；通過問題鏈接到減法中的交換會(huì)是怎樣，探究減法性質(zhì)；從算理上來理解為什么有加法交換律而沒有減法交換律；通過乘法和除法中誰會(huì)與減法中的交換情形比較相似，相似在哪里，引出除法性質(zhì)；引導(dǎo)學(xué)生用在探究加法交換律中習(xí)得的方法去驗(yàn)證乘法交換律；從算理上來理解為什么有乘法交換律而沒有除法交換律；接著是學(xué)習(xí)小結(jié)和回顧；最后通過設(shè)問“除了交換律你還知道什么運(yùn)算定律”來進(jìn)一步引申到課外學(xué)習(xí)。
　　二、教學(xué)實(shí)踐及感悟
　?。ㄒ唬┯杀砑袄铮讲缴钊?br/>　　1.由個(gè)別到一般
　?。ㄕn中點(diǎn)擊之一：是不是所有的加法中都是交換加數(shù)位置和不變呢？）
　?。ㄍ队帮@示）二年級(jí)下冊(cè)《口算練習(xí)》第2頁：35+18+15。
　　師：這道題會(huì)做嗎？說說你是怎么做的。
　　生1：35+18=53，53+15=68。
　　生2：35+15=50，50+18=68。
　　師：也就是說，35+18+15=35+15+18（投影顯示），從中你發(fā)現(xiàn)了什么？
　　師：是不是所有的加法中都是交換加數(shù)位置和不變呢？
　　（學(xué)生爭(zhēng)議）
　　案例透視：
　　學(xué)生從一年級(jí)開始，就在加法的計(jì)算和驗(yàn)算中接觸過四則運(yùn)算中的一些性質(zhì)與規(guī)律，有較多的感性認(rèn)識(shí)，這是學(xué)習(xí)加法交換律和結(jié)合律的基礎(chǔ)。而本課的學(xué)習(xí)，教材安排不完全歸納推理，屬于理性的總結(jié)和概括。所以，課始通過投影呈現(xiàn)二年級(jí)的題目，激活學(xué)生已有的“交換律”。但這很明顯只是表象上的認(rèn)識(shí)，一方面只知道在具體的題目中可不可以交換；另一方面對(duì)于為什么可以交換很少有學(xué)生去思考過。所以，當(dāng)教師問“是不是所有的加法中都是交換加數(shù)位置和不變呢”時(shí)，就引發(fā)了學(xué)生之間的爭(zhēng)議，也正是這個(gè)爭(zhēng)議引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)識(shí)逐步走向深入。學(xué)生們?cè)谘芯刻崾镜膸椭?，展開了充分的驗(yàn)證。從反饋中發(fā)現(xiàn)，既有一位數(shù)+兩位數(shù)、兩位數(shù)+三位數(shù)……以及含0的式子，也有整數(shù)加法、分?jǐn)?shù)加法，還舉出了小數(shù)加法。在再也沒有相反例子的時(shí)候，師生一起總結(jié)出了“任何兩個(gè)加數(shù)交換位置，和不變，叫做加法交換律”。
　　在后來的練習(xí) （）+（ ）=（）+（）時(shí)，教師提出：“好像隨便填哪兩個(gè)數(shù)交換位置都可以，同學(xué)們能不能用一個(gè)式子把大家想說的都說出來？”學(xué)生有的用圖形、用字母、用文字……最后說明數(shù)學(xué)上統(tǒng)一用a+b=b+a表示，把學(xué)生對(duì)加法交換律的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步引向深入，實(shí)現(xiàn)對(duì)加法交換律的本質(zhì)上把握。
　　在接著的課堂學(xué)習(xí)中還用了以下幾個(gè)例子：89-50-9、96÷3÷8。
　　2.由偏到全
　?。ㄕn中點(diǎn)擊之二：減法中交換位置結(jié)果都要變嗎？）
　　生3：因?yàn)闇p法中交換位置結(jié)果要變。
　　師：能舉例說明嗎？
　　生4：5-2≠2-5，還有……
　　師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，減法中交換位置結(jié)果都要變嗎？
　?。▽W(xué)生議論紛紛）
　　生5：當(dāng)兩數(shù)相同時(shí)交換位置結(jié)果不會(huì)變。
　　師：請(qǐng)舉例說明
　　生5：3-3=3-3。
　　師：還能舉出這樣的例子嗎？
　?。▽W(xué)生紛紛舉手）
　　師：那么，在減法中除了這種情況外，還有交換位置結(jié)果不變的嗎？
　　……
　　案例透視：
　　探究加法交換律后，學(xué)生認(rèn)為減法中交換位置結(jié)果要變是第一直覺，在三次“交換律”的教學(xué)中都是同樣的結(jié)果。但同時(shí)也體會(huì)到，只要給學(xué)生些許時(shí)間或教師稍加提醒，學(xué)生的思維就會(huì)從表象認(rèn)識(shí)逐步走向深刻。出現(xiàn)了兩數(shù)相同時(shí)交換位置結(jié)果不變，如3-3=3-3，還有在連減時(shí)可以交換兩個(gè)減數(shù)的位置，如12-3-4=12-4-3，由此知道減法中有不同情況，因此沒有減法交換律，數(shù)學(xué)上稱為減法性質(zhì)。這樣，學(xué)生對(duì)于減法中交換的情況有了一個(gè)全面、客觀的認(rèn)識(shí)。
　　這樣由表及里，促使學(xué)生去聯(lián)通減法中幾種交換的不同情形，經(jīng)歷一個(gè)建構(gòu)→解構(gòu)→重構(gòu)的過程。引出減法時(shí)，多數(shù)學(xué)生有一個(gè)初步感知：減法中不能交換。這就是第一次建構(gòu)。有學(xué)生提出減數(shù)、被減數(shù)相同是可以交換的，把第一次建構(gòu)給解構(gòu)了。大多數(shù)學(xué)生有了第二次建構(gòu)：減數(shù)、被減數(shù)相同是可以交換，其他情況下不行。隨著追問又解構(gòu)了，在連減時(shí)兩個(gè)減數(shù)可以交換位置，這是第三次建構(gòu)。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)梯度，推進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。
　　3.由感性到理性
　　（課中點(diǎn)擊之三：為什么式子不同，結(jié)果會(huì)相等呢？）
　　 師：同學(xué)們剛才通過驗(yàn)證，已經(jīng)知道了在乘法中交換因數(shù)位置積不變，比如4×8=8×4。為什么式子不同，結(jié)果會(huì)相等呢？
　　生6：因?yàn)檫€是這兩個(gè)數(shù)相乘，只是交換了位置而已。
　　生7：因?yàn)橄喑说膬蓚€(gè)數(shù)沒有變，結(jié)果也不會(huì)變。
　　師：還有不同說法嗎？我們一起來看一看（投影顯示）。
　　師：看著圖你想說什么？
　　生8：每行4個(gè)小圓圈，有3行，一共12個(gè)。
　　師：有不同說法嗎？
　　生9：每豎3個(gè)小圓圈，有4豎，一共12個(gè)小圓圈。
　　師：也就是說，3個(gè)4和4個(gè)3的意義是相同的，同樣都是表示這12個(gè)小圓圈。
　　案例透視：
　　在小學(xué)數(shù)學(xué)中，限于學(xué)生的知識(shí)水平，很多結(jié)論可以不用嚴(yán)格推理，而用不完全歸納法得到。交換律的驗(yàn)證采用的就是不完全歸納法，相關(guān)的例子是舉不完的，而我們知道在驗(yàn)證過程中只要有一個(gè)反例就可以推翻結(jié)論的成立，這就需要算理的理解做支撐。所以，當(dāng)學(xué)生通過舉例并計(jì)算，認(rèn)為“在乘法中交換因數(shù)位置積不變”這個(gè)結(jié)論成立時(shí)，教師進(jìn)一步提出了“為什么式子不同，結(jié)果會(huì)相等呢”，引導(dǎo)學(xué)生從算理上去理解乘法交換律成立的理由。當(dāng)學(xué)生的理解有困難時(shí)，教師通過畫有12個(gè)小圓圈的圖，引導(dǎo)學(xué)生橫著看發(fā)現(xiàn)有3個(gè)4，豎著看有4個(gè)3，都是12個(gè)，形象生動(dòng)地幫助學(xué)生把理解從感性認(rèn)識(shí)走向理性認(rèn)識(shí)。
　　師：與此相類似的問題還有：在減法中，一般情況下兩個(gè)數(shù)不能換，為什么卻能在連減時(shí)交換減數(shù)位置？請(qǐng)同學(xué)們舉例說明。
　　生10：比如從10元零用錢中拿出3元是可以的，交換位置以后變成了從3元零用錢中拿出10元，顯然行不通！
　　生11：我有5本書，借給同學(xué)3本，還剩2本；交換位置以后變成了我有3本書，借給同學(xué)5本，這是笑話，根本不可能。
　　生12：從整體中取一部分是可以的，如果變成從一部分中取出整體，顯然行不通。
　　生13：而在連減時(shí)，比方說用10元錢買3元的水果和5元的書，可以先買3元的水果，再買5元的書；也可以先買5元的書，再買3元的水果。
　　
　　這樣可使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既聯(lián)通了數(shù)理，又回歸了生活，用生動(dòng)活潑的生活實(shí)例來解讀抽象的數(shù)學(xué)，把握了交換律的內(nèi)質(zhì)，更進(jìn)一步的明確有加法交換律和乘法交換律，沒有減法交換律和除法交換律。
　?。ǘ?由此及彼，層層推進(jìn)
　　1.從加法到減法
　?。ㄕn中點(diǎn)擊之四：哪一樣運(yùn)算會(huì)與加法運(yùn)算中交換的情形比較相似？）
　　師：除了加法，我們還學(xué)過哪些數(shù)學(xué)運(yùn)算？
　　生：減法、乘法、除法。
　　師：那么，哪一樣運(yùn)算會(huì)與加法運(yùn)算中交換的情況比較相像？
　?。ù蟛糠謱W(xué)生認(rèn)為是乘法）
　　師：怎么就沒人認(rèn)為是減法呢？
　　生：因?yàn)闇p法中交換位置結(jié)果要變。
　　案例透視：
　　這是在研究完加法交換律之后向研究減法中交換情況的一個(gè)過渡，在程序上實(shí)現(xiàn)了研究加法交換律向減法交換情況的轉(zhuǎn)變，更是在思維發(fā)展上為學(xué)生提供了比較鑒別的機(jī)會(huì)。在大部分學(xué)生通過比較認(rèn)為是乘法與加法中交換的情形比較相似，似乎理所應(yīng)當(dāng)研究乘法中交換的情況時(shí)，教師卻拋出了“怎么就沒人認(rèn)為是減法呢”這么一個(gè)問題，使教學(xué)峰回路轉(zhuǎn)，再一次激活學(xué)生的思維。學(xué)生的思維從對(duì)“比較相似”的思考轉(zhuǎn)向了對(duì)“怎么就不相似呢”的思考，讓學(xué)生想著學(xué)。應(yīng)該說，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)緊緊地抓住了學(xué)生的思維，在這樣的課堂中，學(xué)生的“等、靠、要”顯然是行不通的，而是要不斷地主動(dòng)思考。
　　2.從減法到除法
　?。ㄕn中點(diǎn)擊之五：在乘法與除法中，誰與減法中交換的情形相似？相似在哪里？）
　　師：我們通過討論已經(jīng)知道，在減法中，一般情況下交換位置結(jié)果要變，當(dāng)兩個(gè)數(shù)相同時(shí)交換位置和連減時(shí)交換兩個(gè)減數(shù)位置結(jié)果不變。那么，在乘法與除法中，誰與減法中交換的情形相似？
　　生14：除法與減法中交換的情形相似。
　　師：相似在哪里？（學(xué)生紛紛舉手）請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)思考，考慮的盡量完整一些。
　　生15：兩個(gè)數(shù)相同時(shí)可以交換。
　　師：請(qǐng)你把這句話講完整。
　　生15：在除法中，當(dāng)兩個(gè)數(shù)相同時(shí)交換位置商不變。
　　師：有同學(xué)補(bǔ)充嗎？
　　生16：這是第一個(gè)相似的地方；第二個(gè)相似的地方是在除法中，一般情況下交換位置結(jié)果也要變；第三個(gè)相似的地方是連除時(shí)，交換兩個(gè)除數(shù)位置結(jié)果也不變。
　　案例透視：
　　這是在研究完減法中交換的情況之后向研究除法中交換情況的一個(gè)過渡?！俺?、除中哪一個(gè)和減法交換的情況相類似”與教師說“除法和減法中交換的情況相類似”，效果顯然是不一樣的。后者是教師的講授，學(xué)生無需主動(dòng)思考，記著就行了。記住了只是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)了才是一種智慧。就像前者的提問，促使學(xué)生去主動(dòng)思考、去甄別。尤其是“相似在哪里”的進(jìn)一步提問，還要“考慮的盡量完整一些，可以把它寫下來”，促使學(xué)生的思考變得更為冷靜和有序，這一點(diǎn)也顯得尤為重要。因?yàn)樵诮虒W(xué)實(shí)踐中我們發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生往往想到一點(diǎn)就把小手舉得老高，“我！我！我”的急于表現(xiàn)自己，缺少把問題考慮周詳?shù)牧?xí)慣。
　　教師的要求提出后，教室安靜了一分鐘左右，這是學(xué)生積極、主動(dòng)思維的一分鐘。同時(shí)也是一種等待，照顧全體。如果馬上回答，中下生是沒有思考余地的，因?yàn)樗麄兊臄?shù)學(xué)思考會(huì)相對(duì)慢一拍，等他們剛開始想，優(yōu)等生已經(jīng)把結(jié)果說出來了。所以，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一定要提倡“先獨(dú)立再合作”，特別給思維慢一拍的學(xué)生以思考的機(jī)會(huì)。
　　3.從學(xué)法到用法
　?。ㄕn中點(diǎn)擊之六：用研究加法交換律的方法研究乘法中交換的情形會(huì)怎樣？）
　　師：那么，乘法中交換的情形又會(huì)怎樣呢？
　　生17：乘法中交換位置結(jié)果應(yīng)該不會(huì)變。
　　生18：應(yīng)該也會(huì)有結(jié)果發(fā)生變化的情況。（學(xué)生中有爭(zhēng)議）
　　師：那么，乘法中交換的情形到底是怎樣的呢？請(qǐng)同學(xué)們用研究加法交換律的方法研究乘法中交換的情形。（學(xué)生獨(dú)立思考）
　　師：四人小組交流一下，有困難的請(qǐng)舉手示意一下。
　　（教師巡回指導(dǎo)）
　　師：哪位同學(xué)來說一說？要求有過程、有結(jié)果，講完整。
　　生19：我舉兩個(gè)例子（實(shí)物投影）。第一個(gè)是6×8=48，交換位置后8×6也等于48；第二個(gè)是7×0=0，交換位置后0×7也等于0，所以說在乘法中交換位置積不變。
　　……
　　師：把你認(rèn)為與眾不同的一個(gè)，寫在黑板上。
　　生20：2×3×4=4×3×2。
　　生21：1×12=12×1。
　　……
　　案例透視：
　　認(rèn)識(shí)交換律的同時(shí)又習(xí)得運(yùn)算定律驗(yàn)證的方法，是本課的主要目標(biāo)之一。所以，本課設(shè)計(jì)是這樣考慮的，先讓學(xué)生在教師指導(dǎo)下經(jīng)歷加法交換律的猜想——驗(yàn)證——結(jié)論這樣一個(gè)過程，從中習(xí)得驗(yàn)證、歸納的基本思想和能力。然后將習(xí)得的方法、能力在探索乘法交換律時(shí)得以體現(xiàn)和鞏固，在整個(gè)過程中積累活動(dòng)和探索的經(jīng)驗(yàn)。在教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)設(shè)想基本達(dá)成。在研究加法交換律時(shí)出示的研究提示，學(xué)生在研究乘法交換律基本體現(xiàn)，他們無一例外地都舉了好幾個(gè)例子，并絕大多數(shù)有計(jì)算過程。在盡量考慮各種情況方面，學(xué)生中出現(xiàn)了1乘以任何數(shù)、0乘以任何數(shù)、相同兩個(gè)數(shù)、不同三個(gè)數(shù)等各種情況。在反饋即將結(jié)束的時(shí)候，有一個(gè)學(xué)生說“我仔細(xì)想過，沒有一個(gè)例子可以證明在乘法中交換因數(shù)位置積會(huì)變”，說明“反證”思想在學(xué)生腦中留下了根。
　　這種由此及彼實(shí)際上是方法的聯(lián)通，是研究方法的當(dāng)堂鞏固。因?yàn)閷?duì)于小學(xué)生來講，及時(shí)性是尤為重要的，否則學(xué)生是很容易遺忘的，這堂課充分考慮了“學(xué)以致用”。另一方面，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了方法的遷移也是最令人欣慰的。在課堂小結(jié)“通過今天的學(xué)習(xí)你有什么收獲”時(shí)，一位學(xué)生的回答“當(dāng)表達(dá)不完時(shí)，可以用字母表示”贏得了全場(chǎng)的掌聲。
　　三、課后綜述
　　教學(xué)過程和數(shù)學(xué)本體知識(shí)的聯(lián)通，能有效促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)思考。這一節(jié)課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”，把主要目標(biāo)定位于溝通加法交換律、乘法交換律、減法性質(zhì)、除法性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系。敢這樣處理的原因是學(xué)生對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算中交換的情形并不陌生，只是缺乏理性的認(rèn)識(shí)。“是不是所有的加法中都是交換加數(shù)位置和不變呢”“減法中交換位置結(jié)果都要變嗎”“為什么式子不同，結(jié)果會(huì)相等呢”等問題一波又一波、一折又一折，將學(xué)生的思考步步引向深入?！澳囊粯舆\(yùn)算會(huì)與加法運(yùn)算中交換的情形比較相似”“在乘法與除法中，誰與減法中交換的情形相似？相似在哪里”“請(qǐng)同學(xué)們用研究加法交換律的方法研究乘法中交換的情形”等問題由此及彼，把整個(gè)教學(xué)過程自然地銜接起來，顯得是那么的一氣呵成。此時(shí)的教學(xué)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出“交換律”本身，這種由表及里和由此及彼的數(shù)學(xué)思考已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)中超越于數(shù)學(xué)知識(shí)之上的更高追求。
　　 （責(zé)編黃桂堅(jiān)）