馮善勇，莫方朔，趙躍英，盛勝我

（同濟(jì)大學(xué)聲學(xué)研究所，上海200092）

當(dāng)聲波在管道內(nèi)傳播時(shí)，除了對應(yīng)零次模式的平面波之外，通常還存在高次模式的聲波.研究模式分解技術(shù)以及精確測量高次波的強(qiáng)度，對于分析管道中聲波的產(chǎn)生和傳播是非常重要的.模式分解技術(shù)目前主要是以解析的方式將管道中的聲場按各階模式展開，然后通過管道中的多點(diǎn)測量加以求解，從而得到各次模式的強(qiáng)度.1972年，Moore［1］最早提出了一種在圓形管道中的高次模式分解方法，聲源采用周期性信號，利用兩個(gè)傳聲器獲得信號.但此方法只考慮了圓周向模式，而未考慮徑向模式，且無法分離每個(gè)模式的入射和反射分量.1981年，Kerschen等［2］提出了在圓形管道中應(yīng)用于周期信號和隨機(jī)信號的模式分解法.但此方法同樣不能分離反射波分量，并且只考慮了圓周向的模式分解.1987年，Salikuddin等［3－4］提出了使用瞬態(tài)信號進(jìn)行測量的模式分解法.在這一系列工作的基礎(chǔ)上，1989年，Abom［5］基于測量一對傳聲器之間的傳遞函數(shù)，提出了可以適用于任何類型聲源信號的模式分解法，并能測量入射和反射部分能量.1998年，Akoum等［6］同樣基于雙傳聲器傳遞函數(shù)法，對圓形管道中的高次傳播模式進(jìn)行分解.試驗(yàn)中使用的聲源信號為白噪聲，通過旋轉(zhuǎn)聲源和改變兩個(gè)傳聲器的徑向位置形成多種不同的測量條件，分別測得兩傳聲器之間的傳遞函數(shù)，進(jìn)而由這多個(gè)傳遞函數(shù)對管道中的模式進(jìn)行分解.2006年，Sitel等［7］利用四個(gè)傳聲器組成的接收系統(tǒng)對圓形管道中的高次模式進(jìn)行分解.Schultz等［8］利用傳聲器陣列得到了管道內(nèi)傳播的高次模式聲波.與以前的工作相比，此方法不需要測量兩個(gè)傳聲器之間的傳遞函數(shù)，而是通過大量傳聲器同時(shí)測量的數(shù)據(jù)直接進(jìn)行模式分解.介紹了包含八個(gè)傳聲器的陣列，分解出在方形管道中存在的前4次傳播模式.2009年，Lau等［9］為了測量T字形方管中高次模式的傳播特性，安置了16個(gè)傳聲器，分解管道中存在的前4次傳播模式.但是，由于這種方法所分解的高次模式數(shù)量受到傳聲器數(shù)量的限制，傳聲器增多時(shí)，會(huì)對管道中的原始聲場產(chǎn)生干擾，同時(shí)存在傳聲器匹配等問題.

本文提出通過單傳聲器代替?zhèn)髀暺麝嚵袑艿栏叽文Ｊ铰暡ㄟM(jìn)行測量的方法.采用單傳聲器在管道內(nèi)沿軸向均勻傳動(dòng)獲得聲壓信號，運(yùn)用模式分解的方法，得到管道中各個(gè)傳播模式聲波的強(qiáng)度.這種方法克服了傳聲器陣列測量時(shí)對聲場的干擾，也避免了傳聲器之間的匹配問題.同時(shí)，對管道內(nèi)所能分解的高次模式數(shù)量，在原則上并沒有限制.

1 管道內(nèi)高次模式聲波的分解

如圖1所示，在直角坐標(biāo)x，y，z中，設(shè)z軸為沿管軸的聲傳播方向，x軸和y軸與管道橫截面內(nèi)的管壁方向平行.由于壁面邊界條件對聲傳播的約束，管道內(nèi)的聲場是沿z軸正方向和反方向傳播的所有模式聲波的疊加.

圖1 聲波在管道內(nèi)傳播示意圖Fig.1 Schematic diagram of sound propagation in ducts

管內(nèi)任意點(diǎn)的聲壓P（x，y，z）可寫為

式中：a為管道的邊長.軸向的波數(shù)kz相應(yīng)為

式中：k＝ω／c0為波數(shù)，ω為角頻率，c0為聲傳播速度.

如果聲壓P（x，y，z）的值能夠通過實(shí)測得到，則管內(nèi)傳播的正向波與反向波的振幅Amn，Bmn都可以由式（1）求得.假設(shè)管道中存在的所有穩(wěn)態(tài)傳播模式數(shù)為N，則式（1）中包含2 N個(gè)未知系數(shù).因此，最少需要2 N個(gè)傳聲器測點(diǎn)才能得到各模式的幅值.設(shè)測點(diǎn)數(shù)為M，且M≥2 N，應(yīng)用所有測點(diǎn)的聲壓值，可以形成一方程組

式中：P1，P2，…，PM對應(yīng)各測點(diǎn)的聲壓.為了得到所有模式，傳聲器測點(diǎn)應(yīng)離散地分布在橫截面和軸向上.方程組（4）可以用矩陣的形式簡潔地表達(dá)為

式中：P表示所測點(diǎn)處的復(fù)數(shù)聲壓，為M×1的向量；L是由式（4）給出的M×2 N的系數(shù)矩陣，包括橫截面函數(shù)和復(fù)指數(shù)的傳播函數(shù)；G表示各個(gè)模式的復(fù)數(shù)振幅，為2 N×1的向量，它可以進(jìn)一步表示為

由上述可知，若要對管道中包含N個(gè)傳播模式的聲場進(jìn)行分解，至少需要在管道中放置2 N個(gè)傳聲器進(jìn)行同時(shí)測量，才能將各個(gè)模式的幅值求解出來.對于測點(diǎn)數(shù)M大于2 N的超定方程情況，可以通過最小二乘法進(jìn)行求解［10］.

2 單傳聲器分解與測量高次模式聲波

目前分解管道內(nèi)高次聲波傳播模式的方法一般都是通過安裝在管道內(nèi)的多個(gè)傳聲器同時(shí)測量.但是，這種方法不但需要復(fù)雜的傳聲器陣列裝置，而且還存在兩個(gè)主要缺陷.首先，傳聲器的數(shù)量隨著待分解模式數(shù)的增加而增加，而大量的傳聲器會(huì)對管道中的原始聲場產(chǎn)生嚴(yán)重干擾.其次，傳聲器之間存在匹配的問題，增加了試驗(yàn)的復(fù)雜程度，也影響了試驗(yàn)的精度.

利用目前的數(shù)字聲源信號可完全重復(fù)的特點(diǎn)，本文提出了沿管道軸向均勻傳動(dòng)的單傳聲器測量系統(tǒng).在管道的一端發(fā)射聲信號，精確地控制單個(gè)無指向性傳聲器在管道中均勻傳動(dòng)，使其在一系列測量位置上獲取穩(wěn)定的聲壓信號.由于數(shù)字聲源信號的完全可重復(fù)性，這一組聲壓信號等效于由一個(gè)線形傳聲器陣列所獲得.

發(fā)聲系統(tǒng)采用揚(yáng)聲器激發(fā)，由計(jì)算機(jī)生成的數(shù)字化信號驅(qū)動(dòng).記信號的重復(fù)周期為T，每個(gè)周期由一段有效的激勵(lì)信號和一段靜音組成，激勵(lì)信號可采用純音或者掃頻信號.根據(jù)實(shí)際聲場情況，適當(dāng)選擇激勵(lì)信號和靜音的長度，以保證在不同周期內(nèi)管道中的聲場完全相同，而且相鄰周期內(nèi)不會(huì)相互混迭.

接收系統(tǒng)采用單個(gè)無指向性傳聲器，由步進(jìn)電機(jī)控制其在管道內(nèi)沿軸向均勻傳動(dòng).步進(jìn)的周期也為T，其中包含傳聲器在兩個(gè)相鄰測點(diǎn)間勻速移動(dòng)的時(shí)間，以及傳聲器在單個(gè)測點(diǎn)上滯留的時(shí)間.

將聲源系統(tǒng)和接收系統(tǒng)進(jìn)行同步控制，以保證傳聲器在每個(gè)測點(diǎn)位置滯留的時(shí)間內(nèi)，聲源剛好激發(fā)有效的聲信號.假設(shè)在整個(gè)測量過程中，傳聲器測得的聲信號為p（t），將其進(jìn)行連續(xù)性分段處理

式中：q＝1，2，…，M，且0＜t≤T，即可以得到M個(gè)持續(xù)時(shí)間為T的聲壓信號pq（t），所得的結(jié)果等效于沿管道均勻分布的M個(gè)傳聲器組成的線形陣列實(shí)時(shí)測量所接收的信號.通過數(shù)據(jù)處理后，可得到各測點(diǎn)處與空間相關(guān)的復(fù)數(shù)聲壓Pq.在圖1所示的情況下，傳聲器沿z軸方向直線步進(jìn)，設(shè)步進(jìn)間隔為d，代入式（1）中，則有

式中：d0為第一個(gè)測點(diǎn)在z軸上的坐標(biāo)值.

進(jìn)而應(yīng)用式（1）～（6）中所述的模式分解法，只要滿足M≥2 N，就可求得管道中存在的各傳播模式的振幅.

實(shí)現(xiàn)單個(gè)傳聲器分解與測量高次模式聲波的基礎(chǔ)主要有兩點(diǎn)：一是數(shù)字聲源信號可完全重復(fù)；二是配合控制傳聲器精確地傳動(dòng).當(dāng)傳聲器滯留在每個(gè)步進(jìn)位置上時(shí)，保證管道中的聲場完全一致，從而達(dá)到以單傳聲器一次測量代替多傳聲器同時(shí)測量的效果.

3 試驗(yàn)結(jié)果

3.1 裝置

為了驗(yàn)證本文所提出的單傳聲器高次模式分解測量系統(tǒng)的有效性，建造一個(gè)如圖2所示的測量裝置.

圖2 測試系統(tǒng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of measurement system

裝置為一個(gè)剛性壁面的直立式方形管道，管道橫截面的口徑為600mm×600mm，總長10m.聲源放置在管道頂端，管道底端放置聲學(xué)材料，聲源面和材料面之間的有效測量距離為7m.傳聲器安置在管道橫截面的中點(diǎn)，由精密步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制其沿軸向緩慢均勻移動(dòng)，傳聲器測點(diǎn)步進(jìn)移動(dòng)的距離d為4cm.

表1列出了方管中各簡正波模式所對應(yīng)的簡正頻率，以及該簡正波在管道橫截面中點(diǎn)的聲壓分布情況.由于方管的對稱性，類似（0，1）和（1，0）模式頻率相等的情況，視為同一種模式.

表1 600mm×600mm方管高次模式相應(yīng)的截止頻率Tab.1 Cut－off frequencies for the higher－order modes of 600mm square waveguide

由表1可知，方形管道對應(yīng)的平面波截止頻率為283Hz，在此頻率以上會(huì)出現(xiàn)各階高次模式聲波.

試驗(yàn)中沿管道可得到160個(gè)測點(diǎn)的數(shù)據(jù)，原則上能獲得80個(gè)模式的入射和反射波的復(fù)聲壓.在進(jìn)一步的研究中，通過減小傳聲器步進(jìn)的距離，可以獲得更多的測點(diǎn)數(shù)據(jù)，進(jìn)而增加可以分解的模式數(shù)量.

3.2 方法的檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)以上測量分解方法的有效性，對于截止頻率以下的情況，采用上述方法獲得的材料吸聲系數(shù)與傳統(tǒng)的駐波管法進(jìn)行比較.試驗(yàn)在所建造的方管中進(jìn)行，管道底端放置待測的聲學(xué)材料.

試驗(yàn)使用的聲源為對數(shù)掃頻信號，利用上述模式分解的方法獲得50～270Hz頻率范圍內(nèi)平面波模式的入射和反射方向能量，進(jìn)而計(jì)算出吸聲系數(shù).將其與傳統(tǒng)駐波管法測量材料的吸聲系數(shù)相比較.駐波管法測量采用純音，測量了63，80，100，125，160，200，250Hz的吸聲系數(shù).圖3中給出了兩種方法測量結(jié)果的比較.需要注意的是，由于是在截止頻率以下，模式分解法測得的結(jié)果中包含（0，0）次平面波能量和其他各高次衰減模式的能量.

圖3 傳統(tǒng)駐波管法和單傳聲器模式分解法測量材料吸聲系數(shù)比較Fig.3 Comparison of materials absorption coefficients by standard standing wave tube method and single－microphone modal decomposition method

由圖可見，通過兩種方法得到的材料吸聲系數(shù)吻合良好，說明以上模式分解的測量方法是可行的.

3.3 管道內(nèi)高次模式聲波

當(dāng)測量頻率大于管道截止頻率時(shí)，利用本文提出的單傳聲器模式分解法進(jìn)行實(shí)際的測量，獲得管道中入射和反射方向的各個(gè)高次模式能量分布情況.試驗(yàn)使用的聲源為計(jì)算機(jī)生成的數(shù)字純音信號，傳聲器測點(diǎn)布置在管道橫截面的中心點(diǎn)，沿軸向步進(jìn)移動(dòng)，管道底端布置聲學(xué)材料.

試驗(yàn)在頻率為500，1 000，2 000Hz這三種情況下進(jìn)行，測試結(jié)果如圖4所示.圖中顯示了分別對應(yīng)于入射波和反射波的各階模式的能量值，并以入射方向的（0，0）模式的能量為基礎(chǔ)進(jìn)行了歸一化處理.

圖4 500，1 000，2 000Hz時(shí)管道內(nèi)高次模式能量分布圖Fig.4 Modal energy distributions at 500，1 000，2 000Hz in the waveguide

從表1中可知，在頻率為500Hz時(shí)，管道內(nèi)應(yīng)包含3個(gè)穩(wěn)定的高次模式，其中（0，0）模式在管道中心測點(diǎn)處聲壓為波腹，（0，1）和（1，1）模式在管道中心測點(diǎn)處聲壓為波節(jié).在頻率為1 000Hz時(shí)，管道內(nèi)應(yīng)包含8個(gè)穩(wěn)定的高次模式，其中3個(gè)模式在管道中心測點(diǎn)處聲壓為波腹，其余均為波節(jié).在頻率為2 000Hz時(shí)，管道內(nèi)應(yīng)包含24個(gè)穩(wěn)定的高次模式，其中8個(gè)模式在管道中心測點(diǎn)處聲壓為波腹，其余均為波節(jié).由于測點(diǎn)沿管道中心軸線分布，對于軸線處為波節(jié)的高次模式，試驗(yàn)無法測得其聲壓值.因此，在圖4中只能顯示出聲壓為波腹的高次模式.進(jìn)一步，可以采用改變傳聲器在管道截面上的位置，使測點(diǎn)位置避開波節(jié)位置，或者改變測試材料的布置方式，從而測得管道內(nèi)所有模式聲波的能量.

4 結(jié)語

本文提出的單傳聲器模式分解系統(tǒng)及方法可以有效地測量出管道中高次模式的聲波.該方法只需使用單個(gè)傳聲器進(jìn)行測量，避免了多傳聲器測量時(shí)的匹配以及對聲場的干擾問題.而且，測量高次模式的數(shù)量原則上不受限制，當(dāng)測點(diǎn)數(shù)量足夠多時(shí)，通過最小二乘法處理，能夠得到聲場的精確結(jié)果.該方法的檢驗(yàn)試驗(yàn)表明，當(dāng)測量頻率小于管道的平面波截止頻率時(shí)，系統(tǒng)的測量結(jié)果與傳統(tǒng)的駐波管測量結(jié)果相同，從而證實(shí)了這種方法的可行性.

如果測量的目的只是為了進(jìn)一步研究管道底部放置材料的聲學(xué)性能，則試驗(yàn)可以使用掃頻信號進(jìn)行，從而只要通過一次試驗(yàn)就能得到全頻帶的測試結(jié)果.由于目前的測量中測點(diǎn)沿管道中軸直線分布，因此，只適用于偶對稱聲場的測量.另外，由于傳聲器放置在管道正中心，因此對于相應(yīng)波節(jié)的模式則無法測得.此時(shí)，可以采用改變傳聲器在管道截面上的位置，或者改變測試材料的布置方式，測得管道內(nèi)所有模式聲波的能量.

綜上所述，利用單傳聲器在管道內(nèi)均勻傳動(dòng)獲得的聲壓信號，可以分解與測量管道內(nèi)的高次模式聲波，從而大幅度地拓展管道內(nèi)測試材料聲學(xué)特性的頻率范圍.除了測試材料表面的吸聲性能之外，還能夠得到諸如材料聲阻抗、材料表面散射系數(shù)等測試結(jié)果.有關(guān)這方面的內(nèi)容，將另文闡述.

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