竹林烽

在很多課堂教學(xué)中，老師和學(xué)生往往注重解題技巧或者解題方法的講解和掌握，而忽略了對(duì)教材的精研細(xì)究，往往導(dǎo)致事倍功半。對(duì)一些數(shù)學(xué)思想的重視不夠，也成為了學(xué)生在高考中失分的一大隱憂，數(shù)學(xué)思想方法的掌握和正確運(yùn)用，對(duì)解題往往起著事半功倍的效果。

一、分類討論思想

分類是以比較為基礎(chǔ)的，它能揭示數(shù)學(xué)之間的規(guī)律。根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的異同，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的思想方法，為分類思想，它是近代、現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法。在教學(xué)中，應(yīng)教給學(xué)生分類思想，培養(yǎng)辨證思維，引導(dǎo)他們由形象分類進(jìn)入本質(zhì)分類，使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，形成一個(gè)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)問(wèn)題的論域往往表現(xiàn)為一個(gè)大集合一全集。分類就是將大集合分為一些小集合，每個(gè)小集合叫一個(gè)類，這里面還必須講清楚科學(xué)分類不準(zhǔn)重復(fù)、不準(zhǔn)遺漏的要求及分類要選取一定的標(biāo)準(zhǔn)，不同的標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生了不同的分類。在教學(xué)中我們要有意識(shí)的灌輸分類的思想。如講函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們是以函數(shù)的奇偶性為標(biāo)準(zhǔn)把函數(shù)全體分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)和既奇又偶函數(shù)四大類，又以周期性為標(biāo)準(zhǔn)把它們分為周期函數(shù)和非周期函數(shù)兩大類的。顯然，分類的作用就是化整為零，分而治之，各個(gè)擊破。下面通過(guò)兩個(gè)例題探討一下：

例1：確定的m值，x2

解：底數(shù)m，需分類討論

（1）若m＞1，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作y＝x2和y=logmx的圖象，如圖，從圖上看出，在（0，）內(nèi)， y＝x2的圖象在y=logmx的上面，所以x2

（2）若0

二、函數(shù)與方程思想

許多數(shù)量關(guān)系，都可以用思想予以認(rèn)識(shí)，如加法運(yùn)算，被加數(shù)和加數(shù)的改變，會(huì)引起和的變動(dòng)，因此和就是加數(shù)和被加數(shù)的函數(shù)。同樣地，對(duì)于減、乘、除、乘方、開(kāi)方等運(yùn)算都可以獲得相應(yīng)的結(jié)論。在代數(shù)中將代表“數(shù)”的文字“變動(dòng)”，就可以看作“變量”，其關(guān)系式就是一個(gè)函數(shù)。函數(shù)思想是指函數(shù)的意義，函數(shù)的定義域、值域和函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)極值等。在這種思想指導(dǎo)下，可使許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理達(dá)到統(tǒng)一。

例2：半圓的直徑AB長(zhǎng)為2r，半圓外的直線L與BA的延長(zhǎng)線垂直，垂足為T，|AT|=2a(2a<)，半圓上有相異兩點(diǎn)|AT|=2a(2a<)，半圓上有相異兩點(diǎn)M、N，他們與直線L的距離|MP|、|NQ| 滿足==1， 求證|AM|+|AN|=|AB|。

這是一道全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題，采用函數(shù)思想，代數(shù)解法比原來(lái)給出的幾何方法證明的標(biāo)準(zhǔn)答案更加簡(jiǎn)潔。

證明：如圖，MC⊥AB，垂足為 C，在 Rt△AMB中，有射影定理AM2=AC譇B。設(shè)|AM|=X，則|AC|=X-2a，則X2=(X-2a)?r是方程X2-2rX+4ar=0的一個(gè)根，同理|AN|也是方程X2-2rX+4ar=0的一個(gè)根，由韋達(dá)定理x1+x2=2r，∴|AM|+|AN|=|AB|。

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想

面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，一般地是由未知向已知轉(zhuǎn)化；由復(fù)雜向簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化，也可不同數(shù)學(xué)問(wèn)題之間相互轉(zhuǎn)化，目的就是將問(wèn)題的條件轉(zhuǎn)化為問(wèn)題的結(jié)論。轉(zhuǎn)化思想就是使一種研究對(duì)象在一定條件轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象的方法，她是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思維方法，要順利實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，就離不開(kāi)對(duì)基本技能的熟練掌握。

例3：如圖，圓O的半徑為5，弦AB所對(duì)的圓心角為 ，動(dòng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，以C為圓心，作一圓與AB相切，設(shè)圓C的半徑為 X。求△ ABC沒(méi)有被圓C覆蓋部分的面積的極大值并問(wèn)此面積極大時(shí)X的值。

分析：將陰影部分面積用X的代數(shù)式表示，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解，就比單純用平面幾何方法簡(jiǎn)單。

解：∠AOB=60O，OA=OB=5則AB=5S△ABC=?x=，又S扇形CDE==，則S陰影=S△ABC-S扇形CDE=+

∴當(dāng)x=時(shí)，(S陰影)max=

四、數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”（華羅庚語(yǔ)）有些數(shù)量關(guān)系，借助于形，可使抽象概念直觀化，復(fù)雜關(guān)系簡(jiǎn)單化，隱晦條件明朗化。而數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)形結(jié)合思想方法當(dāng)然地成為研究數(shù)學(xué)的重要方法，而為廣大師生樂(lè)于采用。

以上四類思想方法之間是互相滲透的，并有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，除以上講到的一些數(shù)學(xué)思想外，還有許多，如邏輯規(guī)則，化歸思想等，都是人類在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中長(zhǎng)期社會(huì)實(shí)踐中總結(jié)的。這些思想在推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展方面顯示了強(qiáng)有力的作用。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，思想和方法是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識(shí)，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要武器。只有在教學(xué)中不斷的展示思維的過(guò)程，才能把學(xué)生教活，在學(xué)生身上產(chǎn)生自求發(fā)展機(jī)制，只有強(qiáng)化思維的自求意識(shí)，才能在解決實(shí)際問(wèn)題中表現(xiàn)的機(jī)智靈活，產(chǎn)生四通八達(dá)的思維境界。因此，我們只有讓數(shù)學(xué)思想、方法閃現(xiàn)在教學(xué)過(guò)程的始終，才能使我們的教學(xué)充滿活力。

（責(zé)任編輯 劉 紅）