劉麗

【摘要】數(shù)列在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有相當(dāng)重要的一部分，不僅在高考中占有很大的比例，而且有些涉及數(shù)列的高考題難度也很大.其中根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式是很多同學(xué)學(xué)習(xí)的一個難點，也是高考中的一個考點.為了幫助大家突破這一難點，在這里對常見的由遞推數(shù)列求通項的類型及方法作一歸納，并就近幾年高考中涉及由數(shù)列遞推公式求通項公式的題目做一介紹.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列；通項公式；求法；應(yīng)用

數(shù)列的通項在數(shù)列中處于關(guān)鍵地位，知道了數(shù)列的通項，才能很好地研究數(shù)列的性質(zhì).在高考數(shù)列題中，求數(shù)列的通項有著承上啟下的作用，因此求出數(shù)列的通項是決定數(shù)列這道題能否解出的關(guān)鍵點.下面我們來介紹由數(shù)列遞推公式求數(shù)列的通項公式的常見類型.

類型1an+1=an+f(n).

解析把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.通常f(n)是一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，或者說是易掌握的能夠求和的類型.

例1(2011年高考四川卷理科8)數(shù)列{an}的首項為3，{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2，b10=12，則a8等于（）.

A0

B3

C8

D11

解析選B.由已知得bn=2n-8，an+1-an=2n-8，由累加法得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=-6+（-4）+（-2）+0+2+4+6=0輆8=a1=3.

例2（2010年遼寧理數(shù)16）已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則ann的最小值為.

答案：212.

解析an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2［1+2+…+(n-1)］+33=33+n2-n，

∴ann=33n+n-1.

設(shè)f(n)=33n+n-1，令f′(n)=-33n2+1>0，

則f(n)在(33，+∞)上是單調(diào)遞增，在(0，33)上是遞減的.

∵n∈N+，∴當(dāng)n=5或6時f(n)有最小值.

又∵a55=535，a66=636=212，

∴ann的最小值為a66=212.

類型2an+1=f(n)an.

解法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1an=f(n)，利用累乘法求解，其中f(n)多為分式結(jié)構(gòu).

例3（2000年全國卷）設(shè)數(shù)列{an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n+1)a2n+1-na2n+anan+1=0（n=1，2，3，…)，則它的通項公式是.

解析對上式因式分解，得

［(n+1)an+1-nan］(an+1+an)=0.

∴an+1an=nn+1，則

a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=12·23·34·…·n-1n=1n，

∴an=1n(n∈N+).

類型3an+1=pan+q（其中p，q均為常數(shù)，pq(p-1)≠0）.

此類數(shù)列解決的常用辦法是用待定系數(shù)法將其構(gòu)造成一個新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.設(shè)an+1+m=p(an+m)，展開整理an+1=pan+pm-m，比較系數(shù)有pm-m=b，所以m=bp-1，所以an+bp-1是等比數(shù)列，公比為p，首項為a1+bp-1.

例4（2010年上海文數(shù)21）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N*.證明：{an-1}是等比數(shù)列.