吳捷云

摘要： 數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種重要方法.本文在反向數(shù)學(xué)歸納法和螺旋式數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)歸納法做進(jìn)一步的推廣，并給出了相關(guān)的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 正整數(shù)數(shù)學(xué)歸納法反向螺旋式

數(shù)學(xué)歸納法的基本形式是：

引理1[1]：設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題.如果

（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題成立；

（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)命題也成立，

那么這個(gè)命題對(duì)于一切正整數(shù)n都成立.

對(duì)有些命題可以考慮用反向數(shù)學(xué)歸納法（引理2）或螺旋式數(shù)學(xué)歸納法（引理3）來(lái)證明.

引理2[2]：設(shè)有一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題.如果

（1）命題對(duì)無(wú)窮個(gè)正整數(shù)n成立；

（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，則n=k—1時(shí)命題也成立，

那么這個(gè)命題對(duì)于一切正整數(shù)n都成立.

引理3[3]：設(shè)P（n）和Q（n）是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，若

（1）P（1）成立；

（2）對(duì)于任意正整數(shù)k，假設(shè)P（k）成立，則Q（k）成立；假設(shè)Q（k）成立，則P（k+1）成立.

那么命題P（n）和Q（n）對(duì)于一切正整數(shù)n都成立.

現(xiàn)在把反向數(shù)學(xué)歸納法與螺旋式數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合起來(lái)就得到數(shù)學(xué)歸納法的一種新的推廣形式.

定理：設(shè)P（n）和Q（n）是與正整數(shù)n有關(guān)的命題，若

（1）P（n）和Q（n）都對(duì)無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n成立；

（2）存在正整數(shù)c，對(duì)于任意正整數(shù)k≥c，假設(shè)P（k）成立，則Q（k）成立；對(duì)于任意正整數(shù)k≥c+1，假設(shè)Q（k）成立，則P（k—1）成立.

那么命題P（n）和Q（n）對(duì)于一切正整數(shù)n≥c都成立.

證明：設(shè)使命題P（n）不成立的正整數(shù)n≥c所成的集合為A.假設(shè)A不是空集，根據(jù)最小數(shù)原理，A中必存在最小數(shù)a，于是命題P（a）不成立.因?yàn)镻（n）對(duì)無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n成立，所以總可以找到一個(gè)正整數(shù)b>a，使得P（b）成立.這樣的話，P（b）成立？圯Q（b）成立？圯P（b—1）成立？圯Q（b—1）成立？圯P（b—2）成立……經(jīng)過(guò)有限步后，可推得P（a）也成立，這就導(dǎo)致矛盾，故A是空集.所以命題P（n）對(duì)所有的正整數(shù)n≥c都成立.

根據(jù)（2），對(duì)于任意正整數(shù)k≥c，當(dāng)P（k）成立時(shí)Q（k）必成立.因此由命題P（n）對(duì)所有的正整數(shù)n≥c都成立可知命題Q（n）也對(duì)所有的正整數(shù)n≥c都成立.

綜上，命題P（n）和Q（n）對(duì)于一切正整數(shù)n≥c都成立.證畢.

例：求證：用3分、5分或者4分、5分可以支付任何n（n≥12）分的郵資.

證明：記用3分、5分可以支付任何n（n≥12）分的郵資為命題P（n），用4分、5分可以支付任何n（n≥12）分的郵資為命題Q（n）.

（1）當(dāng)n是3或者5的倍數(shù)時(shí)，3分、5分可以支付n分的郵資；同理，當(dāng)n是4或者5的倍數(shù)時(shí)，4分、5分可以支付n分的郵資.因此命題P（n）和Q（n）都對(duì)無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n成立.

（2）首先，對(duì)于任意正整數(shù)n（n≥12），假設(shè)命題P（n）成立，那么n分的郵資可以用3分、5分支付，設(shè)3分的張數(shù)分別為x，5分的張數(shù)分別為y.分兩種情況討論4分、5分能否支付n分郵資：

①如果x=0，則只用5分可以支付n分郵資.

②如果x≥1，因?yàn)橛?分、5分可以支付時(shí)，原來(lái)每5張3分都可以換成3張5分支付，則只需討論x=1，2，3，4的情況.

當(dāng)x=1時(shí)，有y≥3.這時(shí)只需將這張3分和1張5分換成2張4分即可；

當(dāng)x=2時(shí)，有y≥2.將這2張3分和2張5分換成4張4分即可；

當(dāng)x=3時(shí)，有y≥1.將這3張3分和1張5分換成1張4分和2張5分即可；

當(dāng)x=4，將這4張3分換成3張4分即可.

從以上4種情況知4分、5分可以支付n分郵資.即Q（n）成立.

其次，對(duì)于任意正整數(shù)n（n≥13），假設(shè)n分的郵資可以用4分、5分支付，張數(shù)分別為x，y，分兩種情況討論3分、5分能否支付（n—1）分郵資：

①如果x=0，則y≥3，那么只需將2張5分換成3張3分，即3分、5分可以支付（n—1）分郵資.

②如果x≥1，因?yàn)橛?分、5分可以支付時(shí)，原來(lái)每5張4分都可以換成4張5分支付，則只需討論x=1，2，3，4的情況.

當(dāng)x=1時(shí)，只需將這張4分換成3分即可；

當(dāng)x=2時(shí)，有y≥1.將這2張4分和1張5分換成4張3分即可；

當(dāng)x=3時(shí)，將這3張4分換成2張3分和1張5分即可；

當(dāng)x=4時(shí)，將這4張4分換成5張3分（或者3張5分）即可.

從以上4種情況知3分、5分可以支付（n—1）分郵資.即P（n—1）成立.

根據(jù)定理，命題P（n）和Q（n）對(duì)于一切正整數(shù)n≥12都成立，即用3分、5分或者4分、5分可以支付任何n（n≥12）分的郵資.證畢.

參考文獻(xiàn)：

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