曹曉陽

摘要：傳統(tǒng)教學(xué)模式忽略了學(xué)生之間的個(gè)性差異和能力差異，“分層教學(xué)”模式使認(rèn)知能力和個(gè)性特點(diǎn)不同的學(xué)生均學(xué)有所得，文章在闡述分層次教學(xué)理論的基礎(chǔ)上，以高職院校數(shù)學(xué)分析課程為例，為層次不同的學(xué)生構(gòu)建更加適應(yīng)其個(gè)性特點(diǎn)和知識(shí)需求的教學(xué)模式。 在分析IRT自適應(yīng)考試模型的基礎(chǔ)上，引入題庫分層法，以被試者能力值與難度值之差的絕對值作為選題策略，優(yōu)化了IRT自適應(yīng)考試模型。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；分層教學(xué)；教學(xué)方法；教學(xué)策略

中圖分類號(hào)：G642.0文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1005-2909（2012）05-0128-04

數(shù)學(xué)分析課程是高職院校的基礎(chǔ)課程，對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力的培養(yǎng)有非常重要的意義。但傳統(tǒng)的教學(xué)模式忽略了學(xué)生之間的個(gè)性差異和能力特點(diǎn)差異，如果按照同樣的要求、同樣的進(jìn)度教學(xué)，就難以兼顧全部學(xué)生，影響教學(xué)效果[1]。引入分層教學(xué)模式，一方面可以避免部分學(xué)生由于教學(xué)內(nèi)容簡單而喪失學(xué)習(xí)興趣，另一方面使學(xué)有余力的學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)積極性，滿足不同層次學(xué)生的需求，達(dá)到預(yù)期教學(xué)效果。

一、數(shù)學(xué)分析分層次教學(xué)的理論依據(jù)

（一）分層教學(xué)概念

結(jié)合高職院校數(shù)學(xué)分析課程實(shí)際，文章將分層教學(xué)定義為一種個(gè)性化教學(xué)模式。具體來講，在高職院校班級(jí)授課的前提下，結(jié)合個(gè)體的心理特征、學(xué)習(xí)能力、認(rèn)識(shí)狀況等幾個(gè)方面的區(qū)別對學(xué)生分類，從而有針對性地引導(dǎo)各個(gè)層次的學(xué)生完成基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)和能力培養(yǎng)。

（二）分層教學(xué)意義

在學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊、兩極分化的情況下，實(shí)施分層教學(xué)對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升大有裨益[2]。

第一，不同個(gè)體之間存在學(xué)習(xí)能力和個(gè)性特征差異，分層次教學(xué)有意識(shí)地利用這些差異。在尊重差異基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想與方法。

第二，教師將學(xué)習(xí)能力和個(gè)性程度相近的個(gè)體集中，能更好地把握水平相近的個(gè)體認(rèn)知規(guī)律。一方面有助于學(xué)生全面提高素質(zhì)，另一方面也能夠促進(jìn)教師教學(xué)方法的豐富。

第三，個(gè)體數(shù)學(xué)能力差異，并不意味其智力水平和學(xué)習(xí)潛力有本質(zhì)差別，所以，分層次教學(xué)能提高各層次學(xué)生分析問題能力和創(chuàng)新能力。

二、數(shù)學(xué)分析分層次教學(xué)方法與策略

（一）按教育目標(biāo)劃分教學(xué)層次

如何劃分教學(xué)層次是分層次教學(xué)實(shí)施的關(guān)鍵。結(jié)合筆者所在高職院校的實(shí)際情況，根據(jù)學(xué)生的不同能力和具體培養(yǎng)目標(biāo)，劃分為3個(gè)教學(xué)層次[3]。1.基礎(chǔ)層

基礎(chǔ)層的實(shí)施目標(biāo)是培養(yǎng)專業(yè)技術(shù)人才。這一層次更加注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)基本思維，使之能掌握常用的數(shù)學(xué)方法，在此基礎(chǔ)上樹立學(xué)習(xí)信心，為后續(xù)課程奠定基礎(chǔ)。

2.基本層

基本層的實(shí)施目標(biāo)是培養(yǎng)應(yīng)用型人才。這一層次的重點(diǎn)是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生掌握有效的學(xué)習(xí)方法，學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)語言表達(dá)和解決實(shí)際問題，最終努力成長為應(yīng)用型技術(shù)人才。

3.優(yōu)勢層

優(yōu)勢層的實(shí)施目標(biāo)是培養(yǎng)研究型人才。這一層次重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，拓展學(xué)生的創(chuàng)新能力。教師應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生探索與創(chuàng)造能力，使學(xué)生能解決相對復(fù)雜的問題。

（二）根據(jù)教學(xué)層次劃分學(xué)生層次

通過問卷調(diào)查和成績測試、個(gè)性評測等方式，結(jié)合學(xué)生愛好與具體專業(yè)，進(jìn)入相應(yīng)層次培養(yǎng)，從而以適合的教育模式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能。

（三）確保教學(xué)質(zhì)量的層次設(shè)計(jì)

在教材內(nèi)容的設(shè)置方面，應(yīng)在突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地位的前提下，首先保證基本內(nèi)容講授，再根據(jù)學(xué)生層次與具體專業(yè)分層教學(xué)。

（四）采用的教學(xué)方法與教學(xué)策略

在教學(xué)實(shí)踐中，摒棄傳統(tǒng)教學(xué)策略，引入分層教學(xué)輔導(dǎo)模式。以數(shù)學(xué)分析中導(dǎo)數(shù)概念的講解為例詳細(xì)闡述。

1.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)目標(biāo)

（1）基本目標(biāo)：學(xué)生在課堂上，應(yīng)做到了解導(dǎo)數(shù)概念和導(dǎo)數(shù)幾何意義；能以課本例題的思路與方式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義求取一些簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)。

（2）深化目標(biāo)：在基本目標(biāo)之上，要求學(xué)生深入理解導(dǎo)數(shù)定義，理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求取函數(shù)切線方程，能熟練掌握求導(dǎo)基本步驟。

（3）發(fā)展目標(biāo)：掌握導(dǎo)數(shù)定義的兩種形式，學(xué)會(huì)以導(dǎo)數(shù)的幾何意義發(fā)現(xiàn)和解決問題；根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義得到某些函數(shù)在條件下的極限；掌握比較復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)方法。

2.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)重點(diǎn)

層次A：掌握導(dǎo)數(shù)基本概念和幾何意義。

層次B：理解導(dǎo)數(shù)定義，掌握求導(dǎo)基本步驟。

層次C：從導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度發(fā)現(xiàn)和解決問題，掌握復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)方法。

3.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)難點(diǎn)

層次A：指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義求取簡單函數(shù)導(dǎo)數(shù)。

層次B：指導(dǎo)學(xué)生掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解題技巧。

層次C： 指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立分析復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求取方法、技巧和思路。

4.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)過程

（1）問題設(shè)置。教師在講解時(shí)，首先以四類問題激發(fā)學(xué)生思考函數(shù)相對于自變量的變化快慢程度。這四類問題包括：a.怎樣求取變速運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)間點(diǎn)的瞬時(shí)速度；b.怎樣求取曲線的切線；c.怎樣求取最優(yōu)值；d.怎樣求取任意物體的重心。接下來教師著重講解前2個(gè)問題，后2個(gè)問題則鼓勵(lì)層次C的學(xué)生通過查找資料完成。

（2）分層探究。對于a.怎樣求取變速運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)間點(diǎn)的瞬時(shí)速度，筆者首先以勻速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度為例，然后將區(qū)間設(shè)置為t0，t0+Δt，鼓勵(lì)學(xué)生思考當(dāng)Δt趨近于0時(shí)的極限值。即v（t0）=lim△t→0v=lim△t→0△s△t。

此例是為層次A和層次B的學(xué)生準(zhǔn)備，因此釆取由易及難的講解方法。

接下來，對于b.怎樣求取曲線的切線，筆者以多媒體動(dòng)畫的方式，向?qū)W生演示Δx趨近于0時(shí)，割線逐漸趨向于切線，并鼓勵(lì)層次A的學(xué)生思考導(dǎo)數(shù)的幾何意義。隨后，引導(dǎo)層次B的學(xué)生作出切線的斜率表達(dá)式。

tanα=lim△x→0tanβ=lim△x→0△y△x=

lim△x→0f（x0+△x）-f（x0）△x。

（3）引出新知。教師此時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生思考以下2個(gè)問題的內(nèi)在實(shí)質(zhì)：a.怎樣求取變速運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)間點(diǎn)的瞬時(shí)速度，b.怎樣求取曲線的切線，鼓勵(lì)層次C的學(xué)生回答，以鍛煉其觀察與概括能力。隨后總結(jié)層次C學(xué)生的回答，即2個(gè)問題都體現(xiàn)當(dāng)自變量的改變量趨于零時(shí)函數(shù)改變量與自變量之比的極限，而這個(gè)“極限”便是導(dǎo)數(shù)。

此時(shí)，在掌握和理解導(dǎo)數(shù)定義的基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)鼓勵(lì)層次C的學(xué)生總結(jié)求導(dǎo)步驟，即（1）求Δy的值；（2）求Δy與Δx的比值；（3）求lim△x→0△y△x。教師應(yīng)引導(dǎo)層次A和層次B的學(xué)生理解其中含義。

再以高等數(shù)學(xué)中的建模課程為例，由于高職院校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)往往較弱，應(yīng)在教學(xué)中以日常事件喚起學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，筆者此次引入年輕人所關(guān)注的減肥問題對學(xué)生進(jìn)行分層教學(xué)。首先結(jié)合數(shù)學(xué)思想對“減肥”進(jìn)行分析，使學(xué)生理解減肥的本質(zhì)是降低體重。假設(shè)一個(gè)人在一天之中的所有攝入熱量為A焦耳，此人在日?；顒?dòng)中只需B焦耳即可滿足一天之中基本新陳代謝，而其通過身體鍛煉耗費(fèi)的熱量是C焦耳。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生簡化問題，設(shè)體重的上升與下降所耗費(fèi)的全部熱量都是人體脂肪所起的作用，而人體脂肪的熱量產(chǎn)生效率是D焦耳每千克，然后鼓勵(lì)層次A、層次B和層次C的學(xué)生，以數(shù)學(xué)建模的方式分析表達(dá)一個(gè)人體重隨時(shí)間的變化規(guī)律。

對層次C的學(xué)生，教師只要求其構(gòu)建微分方程和定解條件。學(xué)生通過分組討論得出：設(shè)在時(shí)刻t的時(shí)候人體的重量是w（t），則結(jié)合高等數(shù)學(xué)的知識(shí)可知，在一段長度為dt的時(shí)間里，人體產(chǎn)生的熱量與所消耗的熱量的差值即為一個(gè)人的熱量變化值，即：

Ddw=A-B-cw（t）dt。

此時(shí)再假設(shè)人的體重在減肥開始（t0）時(shí)為W0，則有

W（t）t = 0= W0 。

此時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)層次C的學(xué)生完成任務(wù)，同時(shí)勉勵(lì)層次A與層次B的學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行更深一步的分析。

對于層次A與層次B的學(xué)生，教師繼續(xù)鼓勵(lì)其解微分方程，使用分離變量法，可得以下通解：

W（t）=w0e-bt。

此時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)層次B的學(xué)生完成任務(wù)，同時(shí)勉勵(lì)層次A的學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行更深一步的分析。

對于層次A的學(xué)生，教師鼓勵(lì)其對模型進(jìn)一步分析。

當(dāng)時(shí)間t趨于無窮大時(shí)limt→+∞w（t）=ab，因此可知，隨著鍛煉時(shí)間延長，人的體重最終會(huì)是一個(gè)穩(wěn)定值，因此，那些通過鍛煉與節(jié)食減肥的人是有希望減輕體重的。

在a=0時(shí)有w0e-bt，表示在吃得太少的情況下，limt→+∞w（t）=0，因此僅靠節(jié)食，就有生命危險(xiǎn)。

在b=0時(shí)，C=0，繼續(xù)推演，W=at+W0，由此可知，不節(jié)食又缺乏鍛煉，只會(huì)越來越胖。

至此，3個(gè)層次的學(xué)生均在有趣的建模中理解了數(shù)學(xué)建模的概念與方法。

（五）分層測試系統(tǒng)的構(gòu)建

在評價(jià)方法的選擇上，首先應(yīng)該引入縱向發(fā)展評價(jià)模式。摒棄傳統(tǒng)評價(jià)中過于注重學(xué)生之間橫向比較的方式，轉(zhuǎn)而在正視學(xué)生個(gè)體特征的前提下，承認(rèn)學(xué)生的個(gè)體差異，注重學(xué)生在原有水平上是否取得了突破性進(jìn)步，從而激勵(lì)學(xué)生維持學(xué)習(xí)積極性，力求取得更大進(jìn)步。此外還應(yīng)在成績考察基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力[4]。

在測試方面，結(jié)合具體的層次劃分，可將考試題目分為難度不同的層次。例如，可以分為基本題目、解決問題的題目以及創(chuàng)新能力的題目等，建立層次不同的測試體系，采取靈活的測試形式，真正測評學(xué)生的進(jìn)步。文章引入自適應(yīng)測試模式對不同水平學(xué)生測試，自適應(yīng)測試是基于項(xiàng)目反應(yīng)理論的一種科學(xué)客觀的測試形式，是來自教育心理測量學(xué)理論的產(chǎn)物。自適應(yīng)測驗(yàn)?zāi)軌蛱峁┳钸m合被試個(gè)體特質(zhì)水平的難度不同的測試項(xiàng)目，使被試者的真實(shí)能力水平在測試結(jié)果中最大化體現(xiàn)。自適應(yīng)測驗(yàn)的項(xiàng)目選擇、被試能力估計(jì)、終止條件的確定是其主要研究內(nèi)容及理論支撐。自適應(yīng)評估方法關(guān)鍵在于以下3個(gè)方面：其一，測試起始點(diǎn)的確定，即采取怎樣的策略抽取第一道試題；其二，后繼選題策略，在被試者提交一道題目的答案后，采取怎樣的策略給出下一道題；其三，測驗(yàn)終止條件，怎樣判定考試結(jié)束。

1.測驗(yàn)起始點(diǎn)的確定

參與測試的不同考生，其能力可能處于不同層次，解決方法是為被試抽取一道難度適中的考題，然后結(jié)合被試輸入答案的對錯(cuò)決定下一道試題的難易程度。結(jié)合測驗(yàn)的控制長度，假設(shè)共需測試的試題數(shù)目為m，則依據(jù)m可以確定每一步試題難度的調(diào)節(jié)范圍與幅度?？忌哪芰λ酵ㄟ^θ0=lnXz-X評估。式中，考生的正確題目數(shù)以X表示，題目總數(shù)以z表示。首道題目的難度，將直接影響考生對后面考題難度的感知。文章以此提出選擇測驗(yàn)起始點(diǎn)的其他方法，通過對考生的測驗(yàn)，在考前評估考生能力范圍，以此增強(qiáng)系統(tǒng)的客觀性。將考生分為兩類，一類是參加過測試的考生，結(jié)合歷史數(shù)據(jù)作為選擇測驗(yàn)起始點(diǎn)的依據(jù)；另一類是沒參加過的考生，由被試在答題之前自行選擇能力范圍，從而確定起始試題的難易程度。如果考生放棄選擇，則由于考生群體能力滿足正態(tài)分布，此時(shí)默認(rèn)該被試的能力值為0，將其測驗(yàn)的起始點(diǎn)確定為中等難度。之后，根據(jù)考生答題過程對其能力范圍作精度估計(jì)，逐步將題目難度逼近其能力的真值，提升了效率。

2.后繼選題策略的確定

常用的選題策略為信息函數(shù)最大化模型。具體策略為：項(xiàng)目i的區(qū)分度以ai表示，項(xiàng)目i的難度以bi表示，項(xiàng)目i的猜測系數(shù)以ci表示。結(jié)合考生對每道試題的反應(yīng)，以極大似然法判定其能力值，選擇后續(xù)試題。假定當(dāng)項(xiàng)目i的猜測系數(shù)ci為零時(shí)考生的能力為θ0，在項(xiàng)目i的區(qū)分度ai已知的情況下，項(xiàng)目i的難度在bi=θ0時(shí)取最大值。因此可以通過信息函數(shù)最大化模型使后繼選題難度趨近于θ0。對能力值為mi的考生來講，試題i最大的信息量為

mi=bi+1Dailn1+1+8ci2。

后繼選題策略選擇題庫中考生能力值θ與試題難度值b差值的絕對值最小的試題，將其引入題庫層化過程，構(gòu)建題庫分層法。具體思路是：先以內(nèi)容域?qū)︻}庫分區(qū)，再以難度域?qū)︻}庫分塊，最后以區(qū)分度作為指標(biāo)，對題庫分層。以學(xué)生數(shù)學(xué)分析課程能力綜合測試為例，步驟如下：

第一，將該門類整體題庫以內(nèi)容域進(jìn)行分區(qū)，分為導(dǎo)數(shù)、極限等幾個(gè)區(qū)域模塊。

第二，以難度參數(shù)b對上述區(qū)域升序排列，以10道題目為準(zhǔn)，細(xì)分成塊。

第三，以區(qū)分度參數(shù)a對上述細(xì)分成塊區(qū)域升序排列。

第四，分別把升序排列后每一塊中的第n個(gè)題目置于第n層。

第五，將每一層題目集中形成一個(gè)子題庫，共計(jì)10個(gè)。

第六，從子題庫中選取區(qū)分度較大，與考生能力接近的題目。

3.終止條件的確定

目前常用的測驗(yàn)終止條件有兩種：一是最大測驗(yàn)題數(shù)，當(dāng)考生完成預(yù)先設(shè)定試題量，便終止測試，其不足之處在于試題量的選擇難以兼顧不同特質(zhì)考生。二是不定長法，通過計(jì)算最后兩次考生特質(zhì)之差來決定測驗(yàn)是否終止。如下式所示：

SE（）=1Ii（θ）=1∑ni=1Ii（θ）≤ε。

該方法的不足之處在于，如果對考生特質(zhì)之差的估計(jì)誤差嚴(yán)格，便可能增加測驗(yàn)長度，導(dǎo)致低效。

在終止條件的設(shè)定上，綜合了最大測驗(yàn)題數(shù)與不定長法。首先結(jié)合學(xué)生能力和專業(yè)特點(diǎn)，將固定長度設(shè)置為平均30道題目左右。測驗(yàn)長度以nk表示，每層題庫測試信息量以Ik表示，如下式：

Ik=I1+I2+…+In。

各層信息量比例遞增分配，只要Ik與nk有一個(gè)抵達(dá)預(yù)定值，即可判定滿足終止條件，能力測試結(jié)束。

三、結(jié)語

在闡述分層次教學(xué)的理論依據(jù)基礎(chǔ)上，結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，以高職院校數(shù)學(xué)分析課程為例，論述了根據(jù)學(xué)生個(gè)體差異而構(gòu)建的新型教學(xué)模式。在實(shí)踐中引入題庫分層法，以被試者能力值與難度值之差的絕對值作為選題策略，引入極大似然估計(jì)法直接對被試者的能力進(jìn)行精確估計(jì)，以測試信息總量與測試長度結(jié)合來制定測試的終止規(guī)則，從而優(yōu)化IRT自適應(yīng)考試模型，為層次不同的學(xué)生構(gòu)建更加適應(yīng)其個(gè)性特點(diǎn)和知識(shí)需求的教學(xué)模式，具有較好的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

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Application of layered teaching in mathematical analysis

CAO Xiaoyang

（Dazhou Vocational and Technical College， Dazhou 635001， Sichuan Province， P. R. China）

Abstract： The traditional teaching model ignored the difference of students personality. The layered teaching mode can make students learn something even their cognitive ability and personality were in different levels. Theories of layered teaching were introduced in the paper. Taking mathematical analysis course in vocational and technical colleges as an example， I presented a new teaching mode according to students personality and analyzed the IRT test model adopting a hierarchical method to optimize the critical segments of computerized adaptive testing mode.

Keywords：mathematical analysis； layered teaching； teaching methods； teaching strategy

（編輯周沫）