包立新 鄒毅松

摘要：在橋梁工程課程教學(xué)中，拱橋主拱圈和吊橋主纜的懸鏈線方程的推導(dǎo)是教學(xué)難點之一。在教材中，這兩部分內(nèi)容是在不同章節(jié)里逐一講解，教學(xué)效果較差，而且缺乏對這兩種懸鏈線方程的比較，學(xué)生難以理解。文章從拱橋和吊橋的受力特點出發(fā)，對這兩種懸鏈線方程進行了推導(dǎo)和剖析，通過比較分析幫助學(xué)生深刻理解其內(nèi)容，提高學(xué)生運用力學(xué)知識解決橋梁工程的實際問題，增強學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：拱橋；吊橋；懸鏈線方程；橋梁工程

中圖分類號：TU2797+2；G6420 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1005-2909(2012)04-0059-03

在橋梁工程教學(xué)中，拱橋部分在拱橋計算章節(jié)里講述，分析拱橋主拱圈在恒載作用下的3種不同的合理拱軸線，即圓弧線、拋物線和懸鏈線。橋梁工程拱橋部分對主拱圈合理拱軸線選用懸鏈線方程進行了詳細推導(dǎo)，其推導(dǎo)過程是學(xué)習(xí)的難點。同樣，在懸索橋教學(xué)中，懸索橋主纜線型方程在空纜時也為懸鏈線方程，其推導(dǎo)過程也是學(xué)習(xí)的難點。教學(xué)中由于課堂時間的限制，授課的時間不同，且由不同教師講授，沒有剖析這兩種方程的不同點。對這兩種方程推導(dǎo)過程進一步剖析，幫助學(xué)生理解，從辨別、分析中學(xué)習(xí)，提高學(xué)生獨立思考的能力。

一、拱橋主拱圈懸鏈線方程的推導(dǎo)

基本假設(shè)：自重作用下主拱圈任意截面彎矩為零，只承受軸向壓力；拱上填料及主拱圈材料均勻一致；自重恒載沿水平方向呈線性連續(xù)分布［1-2］。

以上假定可以在圖1坐標(biāo)系下，得出如下結(jié)論。

式中： А芃璲為半拱恒載對拱腳截面的力矩；H玤為拱的恒載水平推力（不考慮彈性壓縮）；f為拱的計算矢高； M瓁為任意截面以右的全部恒載對該截面的彎矩值； y1為以拱頂截面為坐標(biāo)原點，拱軸線上任意點的豎向坐標(biāo)。

由假定（3）有：

g瓁=g璬+γy1(3)

式中：g瓁為玿截面處恒載集度； g玠為拱頂處恒載集度； Е錨為拱上材料容重（為一常數(shù)）。

當(dāng)y1=f時：

g璲=g玠+γf(4)

式中：g璲為拱腳截面恒載集度。

高等建筑教育

2012年第21卷第4期

包立新，等 拱橋與吊橋懸鏈線方程比較

令m=g璲g玠г

Е=g璲－g玠玣=g玠玣(m－1)(5)

式中：玬為拱軸系數(shù)。

對（2）式進行兩次求導(dǎo)得：

И玠2y1玠玿2=1H玤玠2M瓁玠瓁=g瓁H玤(6)

令x=l1εВ并將（3）代入（6)得：

И玠2y1玠ε2=l21g玠獺玤［1+(m－1)y1f］(7)

令k2=l21g玠獺玤玣(m－1)，г潁6）式的解為：

y1=f(m－1)(玞hkε－1)(8)

式（8）即為圖1坐標(biāo)下合理拱軸線一般方程，當(dāng)x=l1、ИЕ=1?、獃1=fв校

И玞h玨=mВ即k=玞h－1m=玪n(m+m2－1)

實際上設(shè)計中總是先確定一個玬值，再根據(jù)方程（8）確定拱軸線坐標(biāo)，再由式（1）-（4）求解在拱圈任意截面的內(nèi)力。

從以上推導(dǎo)過程看：若要獲得一個有合理拱軸線的拱，只要把拱橋設(shè)計成一個實腹式的懸鏈線拱即可。然而事實上不可能做到這一點，這是為什么呢？因為拱軸線方程的建立與推導(dǎo)均是基于以上的3個假定，其中假定（2）要保持拱上填料與主拱圈材料均勻一致，一般來說拱上填料的容重較拱圈材料的容重輕；另外，假定（3）要求保證所有恒載自重沿水平方向呈線性分布，實際工程中只有在跨徑小于20 m的小跨拱橋中才做成實腹式的，有可能實現(xiàn)這一假定，對于大跨拱橋（跨徑大于20 m）做成空腹式更經(jīng)濟［3］。實際工程設(shè)計中一般不滿足假定的（2）、（3）兩個條件，無法獲得一條理想的合理拱軸線（只受壓，不受彎）。但是事實上拱橋的主拱圈是可以承擔(dān)一定的彎矩的，我們不必找到一條只受壓的拱軸線，設(shè)計出的橋梁才更經(jīng)濟、適用,只要拱圈材料強度滿足規(guī)范要求即可。拱上填料與拱圈材料有所不同，即使跨徑小于20 m的拱橋可以用同一種材料形成，也很難保證恒載集度呈線性變化。對一些更小跨徑的拱橋或涵洞來說，采用圓弧拱而沒有采用懸鏈線拱是為了更方便施工，受力上也完全滿足要求。

工程應(yīng)用中，安全與經(jīng)濟因素應(yīng)并重，這就迫使大跨度拱橋采用空腹式，只有小跨徑拱橋或涵洞才采用實腹式，拱軸線也沒有刻意追求合理拱軸線。

在吊橋的教學(xué)中還會遇上另外一種形式的懸鏈線，即主纜自重作用下的懸鏈線方程。

二、懸索橋主纜懸鏈線方程的推導(dǎo)

基本假設(shè)：索是柔性的，忽略其自身的抗彎剛度；索在彈性范圍內(nèi)工作，滿足虎克定律；忽略加勁梁自身的抗彎剛度［4-5］。

根據(jù)以上假定，在圖2的坐標(biāo)系下，如果忽略索的伸長對索自重集度的影響，則索的懸鏈線方程推導(dǎo)如下。

由力的平衡條件可得：

А苮=0H1=H2=H(9)

А苰=0И玠玽=v2－v1=－q?玠玸В

即И玠玽玠玿=－玠玸玠玿?q(10)

由幾何條件可得：

v1=H?玠玸玠玿ВИ玠玸=玠珁2+玠玿2(11)

將(11)代入(10)得:

H?玠2y玠玿2+q?1+玠珁玠玿2=0(12)

兩次積分,并引入邊界條件:x=0時,y=0;x=l時,y=cУ

y=Hq玞hα－玞h2β?xl－α(13)

Е聯(lián)=玸h－1βc/l玸hβ+β, Е=ql2H (14)

S=2Hq玸hβ玞hα－β,ЕS=HS/l2獷A,

S0=S－ΔS(15)

V1=H?玸hαV2=q2c?玞thβ－1(16)

式中：玵為索沿弧長方向的每延米自重，忽略有應(yīng)力時引起的改變；L為主纜跨徑；c為主纜兩端的高差；EA為主纜軸向剛度；S為主纜索長；S0為主纜無應(yīng)力索長。

從以上推導(dǎo)看，吊橋主纜的受力與拱橋拱圈的受力剛好相反。在豎向力作用下，主纜產(chǎn)生水平拉力，拱圈產(chǎn)生水平壓力。這就決定了二者使用的材料不同。拱圈可以用抗壓強度高的圬工材料，而懸索橋的主纜常由抗拉強度高的高強鋼絲組成。高強鋼絲本身也只能承受拉力，而不能承受壓力和彎矩。所以懸索橋主纜線型是通過本身重度沿弧長方向均勻分布推導(dǎo)出來，與拱橋假定的沿水平方向恒載集度呈線性分布不一樣，得出的方程表達形式也不一樣，盡管它們都稱之為懸鏈線方程。在工程應(yīng)用中主纜的懸鏈線方程是真實存在的，而主拱的合理拱軸線是不存在的。但是，懸索橋主纜在吊索及自身重量的共同作用下最終是一條組合曲線—分段懸鏈線，即在兩吊桿之間為懸鏈線，在吊桿處有尖點，組合曲線在此處不可導(dǎo)。

三、結(jié)語

拱橋懸鏈線拱軸線方程是基于豎向荷載沿水平方向呈直線性分布而得出的，其實際拱圈是可以承擔(dān)彎矩的，是壓彎構(gòu)件，實際拱橋壓力線與選用的合理拱軸線（可以是懸鏈線）不重合,這既保證拱圈的安全，也可以使設(shè)計的拱橋更經(jīng)濟、美觀。

懸索橋的主纜是懸鏈線方程是基于豎向荷載沿著弧向呈均勻分布而得出的，其實際線型是分段懸鏈線，主纜是在兩吊桿之間的懸鏈線是真實存在的，主纜只承拉力，不能承受彎矩。

學(xué)生可以自己推導(dǎo)出：在沿水平方向呈均布的荷載作用下，拱圈與主纜的線型是一樣的，都是二次拋物線。學(xué)生運用力學(xué)、數(shù)學(xué)知識解決工程問題，增加了對橋梁工程學(xué)習(xí)的興趣。お

參考文獻：

［1］ 顧懋清，石紹甫.拱橋［M］.北京:人民交通出版社,1996.

［2］ 周水興.橋梁工程［M］.2版.重慶:重慶大學(xué)出版社,2011.

［3］ 鄒昀,王中華,華淵.土木工程專業(yè)課程體系的改革和實踐［J］.高等建筑教育，2007,16(3):72-74.

［4］ H.M.Irvine.Structure of Cables［M］. Cambridge, Massachusetts, and London,England:The MIT Press,1984.

［5］ PREM KRISHNA.Cable-suspended roofs［M］. New york:McGraw-Hill Book Company,Louis,1978.

お

Comparison of two catenary equations of arch bridge and suspension bridge

BAO Lixin,ZOU Yisong

（School of Civil Engineering and Architecture, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, P. R. China）

Abstract： In the teaching of bridge engineering, the catenary equation deduction of the main arch circle of arch bridge and the main push-towing rope of suspension bridge is one of difficulty. This part of content is explained one by one in different chapter, is less effective, and lack of the comparison between the two catenary equations, student is hard to understand.With the stress characteristic of this two bridge types, the paper analyses the two catenary equations to help the students understand this part of content and improve the students ability solving actual problem with mechanics knowledgeof bridge engineering, strengthen learning interest.

Keywords：arch bridge; suspension bridge; catenary equation; bridge engineering

ぃū嗉 詹燕平）