王宗信

本課是江蘇教育出版社數(shù)學(xué)教材7年級(jí)下冊(cè)第11章《圖形的全等》的第3節(jié)《探索三角形全等的條件——邊邊邊》。在此前兩節(jié)課，學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、猜想等，探索到通過“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”可以判定兩個(gè)三角形全等，而且對(duì)“邊邊角”的不確定性和“角角角”的形狀確定、大小不確定也有了一定的認(rèn)識(shí)。那么，只剩下關(guān)于“邊邊邊”是否可以判斷三角形全等的探索了。學(xué)生個(gè)性不同，思維活躍，積極性高，對(duì)全等問題有著迫切的求知欲，而且有了一定的知識(shí)基礎(chǔ)和基本經(jīng)驗(yàn)，可以開展“邊邊邊”的判定探索，這是學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。為了幫助學(xué)生跳一跳并且夠得著，筆者在磨課的過程中不斷調(diào)整，設(shè)計(jì)了一組數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)進(jìn)行操作，結(jié)合例題、習(xí)題、思考題的設(shè)置，由淺入深，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生以研究者的身份在動(dòng)手操作中發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、驗(yàn)證猜想，發(fā)展學(xué)生理性思維、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐動(dòng)手能力，提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，體驗(yàn)成功的喜悅，在“做數(shù)學(xué)”的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)。

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：通過動(dòng)手操作，探索三角形全等的條件——“邊邊邊”，能結(jié)合具體問題和情境進(jìn)行有條理的思考，會(huì)分別用“因?yàn)椤浴被颉耙驗(yàn)椤鶕?jù)……所以……”的表達(dá)方式進(jìn)行簡(jiǎn)單的說理。

過程與方法：從兩個(gè)圖形全等的定義出發(fā)，參與到探索、發(fā)現(xiàn)過程中來，通過生生、師生的合作學(xué)習(xí)，猜想可能的結(jié)論。呈現(xiàn)形式為：“問題情境——探索活動(dòng)——?dú)w納結(jié)論——應(yīng)用”。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式觀察、思考、分析、解決問題，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、分析周圍的事物。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

通過讓學(xué)生探索全等條件的過程，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力；使學(xué)生能夠有條理、清晰地思考并闡述自己的觀點(diǎn)。

教學(xué)過程

（一）實(shí)驗(yàn)探索“SSS”對(duì)三角形形狀及大小的影響

原始設(shè)計(jì)：

數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)：用一根20cm的鐵絲，圍成一個(gè)三角形，怎樣才能使你和其他同學(xué)圍成的三角形全等？

設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)問題的提出有一定挑戰(zhàn)性，教學(xué)時(shí)可以分4人為一組，要求小組內(nèi)的學(xué)生圍出的三角形全等。課前要求每人準(zhǔn)備一根20cm的鐵絲，活動(dòng)時(shí)要求學(xué)生充分討論，設(shè)計(jì)可行的方案，并制作出三角形，然后各組匯報(bào)活動(dòng)結(jié)果，出示全等的4個(gè)三角形。這樣學(xué)生雖可利用“SAS”甚至“AAS”制作全等三角形，但容易“跑題”，同時(shí)制作方法上存在明顯的不足，如角度難以準(zhǔn)確把握。

優(yōu)化后設(shè)計(jì)：

引入：欣賞圖片（圖1），尋找圖中的三角形形狀物體，思考:為什么把它們?cè)O(shè)計(jì)成三角形？

學(xué)生會(huì)回答出三角形具有穩(wěn)定性，教師安排小實(shí)驗(yàn)活動(dòng)進(jìn)一步探究其中的數(shù)學(xué)原理。

實(shí)驗(yàn)一：畫一個(gè)角等于已知角

實(shí)驗(yàn)器具：學(xué)案紙、圓規(guī)、直尺、三角板、量角器、剪刀。

在學(xué)案上給出∠AOB，要求學(xué)生用直尺和圓規(guī)按以下步驟操作實(shí)驗(yàn)（圖2）：

1．以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑用圓規(guī)畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D。

2．任意畫一點(diǎn)O′，畫射線O′A′、以O(shè)′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧C′E，交O′A′于點(diǎn)C′。

3．以C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交弧C′E于點(diǎn)D′。

4．過點(diǎn)D′畫射線O′B′。

5．剪下∠A′O′B′，與∠AOB比較大小，再用量角器量取∠A′O′B′與∠AOB的度數(shù)。

6．連接CD與C′D′。比較△OCD與△O′C′D′的形狀與大小。

思考、討論：為什么∠A′O′B′與∠AOB相等？

設(shè)計(jì)意圖：本活動(dòng)實(shí)際是教材前章節(jié)涉及的“做一做：畫一個(gè)角等于已知角”。放在此處回顧，目的是讓學(xué)生通過再次作圖，提出問題：為什么∠A′O′B′與∠AOB相等？尋找其中的數(shù)學(xué)道理，本活動(dòng)表面上是畫角，實(shí)際上先畫△OCD，再畫△O′C′D′，這兩個(gè)三角形滿足OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′，三邊對(duì)應(yīng)相等，△OCD≌△O′C′D′，所以A′O′B′與∠AOB相等。所以此實(shí)驗(yàn)表面上是畫一個(gè)角與已知角相等，實(shí)質(zhì)是畫一個(gè)等腰三角形與已知等腰三角形全等。

原始設(shè)計(jì)：

實(shí)驗(yàn)二:已知三邊長(zhǎng)畫三角形

按下列畫法，用圓規(guī)和刻度尺畫一個(gè)三角形：

1．畫線段AB=4cm。

2．分別以點(diǎn)A、B為圓心，3cm、2cm的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Ｃ。

3．連接 AC、AB 。

你畫的三角形與其他同學(xué)畫的三角形全等嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過尺規(guī)作圖得到三角形，把三角形作在準(zhǔn)備好的紙上，先猜一猜，再剪下三角形驗(yàn)證，通過討論，歸納得出結(jié)論。

優(yōu)化后設(shè)計(jì)：

實(shí)驗(yàn)操作流程：教師先在黑板上演示（圖3）。

1．畫線段AB=4cm。

2．分別以點(diǎn)A、B為圓心，3cm、2cm的長(zhǎng)為半徑畫圓，兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)，分別記為C１ 、C２ 。

3．連接AC１、BC１得△ABC１ ；連接AＣ２、BＣ２得△ABＣ２。

看完教師演示，學(xué)生在學(xué)案上完成同樣的操作。

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)自己的操作判斷△ABC１與△ABC２是否全等？

生：全等。

師：如何驗(yàn)證△ABC１與△ABC２全等？

師：請(qǐng)把△ABC１沿直線AB折疊，看△ABC１與△ABC２是否重合。

生：折疊，發(fā)現(xiàn)△ABC１與△ABC２重合。

師：用幾何畫板演示、驗(yàn)證，精確作圖，利用幾何畫板的反射功能即翻轉(zhuǎn)180°來驗(yàn)證是否重合。

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：滿足三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

設(shè)計(jì)意圖：由于“實(shí)驗(yàn)一”實(shí)際上是一對(duì)全等的等腰三角形，有一定的特殊性，“實(shí)驗(yàn)二”提供的三角形是一個(gè)普通三角形，具有一般性，較之教材提供的活動(dòng)，本活動(dòng)把畫弧修訂為畫圓，兩個(gè)圓有兩個(gè)交點(diǎn)C１、C２。學(xué)生可以通過翻折或同學(xué)間比對(duì)，發(fā)現(xiàn)所畫的三角形是全等的，再結(jié)合幾何畫板的驗(yàn)證，給出結(jié)論。

板書課題：全等三角形的判定（3）

板書：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“邊邊邊”或“SSS”。

給出圖形和說理格式。給出條件的符號(hào)語言、圖形語言和文字語言的不同表達(dá)方式。讓學(xué)生分清因果關(guān)系，發(fā)展初步的推理能力，培養(yǎng)學(xué)生思考和表達(dá)能力。

實(shí)驗(yàn)三：三角形的穩(wěn)定性實(shí)物實(shí)驗(yàn)

原始設(shè)計(jì)：

多媒體演示、操作，讓學(xué)生自帶三角形和四邊形來操作，在實(shí)踐中鼓勵(lì)學(xué)生思考：三角形為什么具有穩(wěn)定性，有什么辦法讓四邊形也具有穩(wěn)定性？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過探索和思考，在逐步解答問題的過程中建立推理的意識(shí)和把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形的轉(zhuǎn)化思想。

優(yōu)化后設(shè)計(jì)：

再次回顧開始給出的照片和“實(shí)驗(yàn)一”，指出：如果一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)度確定，那么這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定。這種性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。

出示教師自制教具，用扁平的雪糕棒制作的三角形、四邊形，連接處用圖釘固定。發(fā)給每個(gè)小組一套雪糕棒制作的三角形和四邊形，探索三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性。

設(shè)計(jì)意圖及教學(xué)過程回顧：設(shè)計(jì)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的穩(wěn)定性的教學(xué)時(shí)，我動(dòng)了一番腦筋，課前通知學(xué)生撿雪糕棒，課上我發(fā)給學(xué)生圖釘，讓學(xué)生把三根雪糕棒用三個(gè)圖釘固定成一個(gè)三角形（檢驗(yàn)三角形的穩(wěn)定性），用四根雪糕棒和四個(gè)圖釘固定成一個(gè)四角形（檢驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性），然后我提出問題：如何把四邊形穩(wěn)定住呢？學(xué)生能夠想到加一根木棒（添對(duì)角線），把四邊形變成兩個(gè)三角形。我肯定了學(xué)生的想法，但是提出了一個(gè)要求：只多給一個(gè)圖釘，請(qǐng)把四邊形固定住。其實(shí)，四邊形之所以不穩(wěn)定，因?yàn)殡m然邊長(zhǎng)確定但角度不能確定，在四邊形四條邊長(zhǎng)確定的前提下，只要固定四邊形的一個(gè)角（兩個(gè)圖釘可以固定一個(gè)角），四邊形就確定了。通過分析、討論、探索和教師的提示，學(xué)生基本上明白了操作的數(shù)學(xué)道理。

結(jié)論：穩(wěn)定性是三角形所特有的，如果三邊的長(zhǎng)度確定了，那么三個(gè)角的度數(shù)就隨之確定。其他的多邊形一般不具有這個(gè)性質(zhì)。

（二）三角形全等條件（ＳＳＳ）的應(yīng)用

1.出示例題

例１：（1）如圖4，若AB=DC，AC=DB，則△ABC與△DCB全等嗎？為什么？

（2）AB與DC的交點(diǎn)記為O點(diǎn)，問圖中還有三角形全等嗎？它們是？如何說明？

（3）△OBC是特殊三角形嗎？（等腰三角形）如何說明？

學(xué)生討論，師生共同分析，共同完成解答。

解：△ABC≌△DCB。

因?yàn)锳B=DC，AC=DB，BC=CB。 根據(jù)“SSS”， △ABC≌△DCB。

所以 ∠A=∠D，又∠AOC=∠DOB， AC=DB。

根據(jù)“AAS”，△AOC≌△DOB 。

所以O(shè)C=OB，所以△OBC是等腰三角形。

設(shè)計(jì)意圖及教學(xué)過程回顧：此例由課后的“練一練”改編而來，原題只有第一問，第二、三問是筆者補(bǔ)充的，這樣層次性更強(qiáng)。此例還可以充分開發(fā)，組成問題串：固定一個(gè)三角形，另一個(gè)三角形沿著從左向右的方向平移（或從右向左方向平移，進(jìn)一步探究）；還可以固定一個(gè)三角形，把另一個(gè)三角形翻轉(zhuǎn)，然后從一個(gè)方向向另一個(gè)方向平移，進(jìn)行探索；最后，教師用幾何畫板拖動(dòng)一下，充分展示數(shù)學(xué)味，進(jìn)行變式訓(xùn)練。

例２：工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖5，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB 的平分線。為什么？

２．課堂練習(xí)

原始設(shè)計(jì)：

（1）如圖6，點(diǎn)A、C、D、F在同一直線上，AB=FE，BC=ED，AD=FC，試說明△ABC≌△FED。

（2）如圖7，方格紙中△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）上，請(qǐng)你在圖中再畫1個(gè)格點(diǎn)三角形ABC，且使△ABC與△DEF全等。

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)1直接利用SSS來判定△ABC與△FED全等；練習(xí)2是練習(xí)用格點(diǎn)圖形確定三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而通過SSS判定三角形全等。

優(yōu)化后設(shè)計(jì)：

（1）已知：如圖6，點(diǎn)A、C、D、F在同一直線上，AB=FE，BC=ED，要使△ABC≌△FED，可以添加條件_________。

（2）如圖7，方格紙中△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)（格點(diǎn)）上，請(qǐng)你在圖中再畫一個(gè)格點(diǎn)三角形ABC，且使△ABC與△DEF全等。你還能找到這樣的格點(diǎn)嗎？這樣的格點(diǎn)共有幾個(gè)？

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)1變?cè)瓉淼膯我凰伎紴殚_放思考，給出兩條邊對(duì)應(yīng)相等，若使△ABC與△FED全等不僅可以利用SSS來探索，還可以嘗試SAS來探索；練習(xí)2設(shè)計(jì)成問題串，引導(dǎo)學(xué)生逐步拓展探究，養(yǎng)成良好的探究習(xí)慣和數(shù)學(xué)思考能力。

教學(xué)反思

筆者在17年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)生涯中有過6次關(guān)于三角形全等判定的教學(xué)經(jīng)歷，在這次磨課的過程中，依然有很多新體會(huì)。在以往的三角形全等的判定中，主要是以自己的講授為主，在黑板上用作圖的方法得到滿足三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，之后開始大量的配套練習(xí)，學(xué)生也能很好地掌握，但是，很少主動(dòng)參與。

本節(jié)課將著眼點(diǎn)放在如何引導(dǎo)學(xué)生獲得知識(shí)、探究知識(shí)上。在原有的知識(shí)基礎(chǔ)上，借助學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考，讓學(xué)生動(dòng)手做——先做后想或先想后做，使學(xué)生在“做”中感受和體驗(yàn)，主動(dòng)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，揭示具體“事例”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程充分?jǐn)?shù)學(xué)化。同時(shí)將過程性評(píng)價(jià)和形成性評(píng)價(jià)相結(jié)合，注重學(xué)生是否積極主動(dòng)地參與課堂活動(dòng)，是否能有條理地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，能否自發(fā)地綜合應(yīng)用。

為突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，提高課堂效率。本節(jié)課采用啟發(fā)、引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合，并輔以多媒體演示的教學(xué)組織形式。本課設(shè)計(jì)有三大突出之處，一是充分利用信息技術(shù)，結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，準(zhǔn)確把握信息技術(shù)與數(shù)學(xué)學(xué)科的整合點(diǎn)，利用PPT、幾何畫板軟件制作了CAI課件，對(duì)課堂教學(xué)的順利實(shí)施具有很好的輔助作用。特別是使用幾何畫板軟件的拖動(dòng)協(xié)助探究，完善學(xué)生的探究過程，解釋了尺規(guī)作圖的數(shù)學(xué)原理。二是充分進(jìn)行了變式訓(xùn)練，一題多變、一圖多動(dòng)、動(dòng)靜結(jié)合，組成問題串，幫助學(xué)生理解動(dòng)態(tài)問題，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)探究能力。三是對(duì)三角形穩(wěn)定性及四邊形的穩(wěn)定性的探究，充分挖掘?qū)W生身邊的素材，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（作者單位：中國礦業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)）