張爾光

【摘要】本文以數(shù)學(xué)矩陣（方陣和三角矩陣）表達(dá)正整數(shù)的方冪，從其反映出來的規(guī)律中發(fā)現(xiàn)“xn+yn=zn”成立的必須具備的必要條件，證明到在“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）=z2×zn-2”方陣等式中不具備“xn+yn=zn（n≥3）”成立的必須具備的必要條件，既不存在“xn÷x2=zn-2（含yn÷y2=zn-2）”（即不存在“xn方陣+yn方陣=zn方陣”），也不存在“xn÷zn-2=x2（含yn÷zn-2=y2）”（即也不存在“xn-2個(gè)x2方陣+yn-2個(gè)

y2方陣=zn-2個(gè)z2方陣”），所以費(fèi)馬定理成立.

【關(guān)鍵詞】正整數(shù)；方冪；方陣；費(fèi)馬定理；必要條件

緒言與結(jié)論

本文說的整數(shù)是指正整數(shù)，論證的是正整數(shù)的“xn+yn=zn”方程式.

1670年，費(fèi)馬的兒子在清理其父遺著時(shí)發(fā)現(xiàn)了費(fèi)馬定理.325年之后，1995年英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯與其學(xué)生理查·泰勒應(yīng)用橢圓曲線的原理對費(fèi)馬定理作出了證明.筆者認(rèn)為，費(fèi)馬定理是一個(gè)關(guān)于整數(shù)方冪之間關(guān)系的方程式命題，一方面，應(yīng)用整數(shù)方冪方陣的原理對其作出證明，這似乎更合乎該命題的題意；另一方面，記得我在念高中的時(shí)候，一位數(shù)學(xué)老師曾說過，一道代數(shù)方程式不只一個(gè)解法，應(yīng)有兩個(gè)以上的多個(gè)解法.基于這個(gè)觀點(diǎn)，筆者嘗試以整數(shù)方冪方陣的原理，從費(fèi)馬定理不成立的必要條件的角度，對費(fèi)馬定理進(jìn)行論證.

筆者研究結(jié)果表明，任何一個(gè)整數(shù)（n>1）的2次冪均可表為一個(gè)由“1”組成的方陣，任何一個(gè)整數(shù)的n（≥3）次冪均可表為一個(gè)由“該整數(shù)的n-2次冪（即nn-2）”組成的方陣，也可表為一個(gè)由nn-2個(gè)由“1”組成的方陣組成的方陣群.兩個(gè)整數(shù)2次冪相加之和等于另一個(gè)整數(shù)的2次冪（即x2+y2=z2）成立，是在于x2，y2，z2三者方陣的組成元素相同、方陣數(shù)相同（即均為一個(gè)由“1”組成的方陣）.費(fèi)馬關(guān)于“不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于2的整數(shù)的方冪，表為兩個(gè)整數(shù)的同次方冪之和（即xn+yn≠zn）”的定理之所以成立，是在于任何一個(gè)次數(shù)大于2的整數(shù)的方冪表為一個(gè)方陣時(shí)，其組成的元素各不相同，xn，yn兩者方陣不可能轉(zhuǎn)換為與zn方陣同一元素組成的方陣，即任何一個(gè)次數(shù)大于2的整數(shù)的方冪除以該整數(shù)的2次冪，不可能等于另一個(gè)整數(shù)的同次方冪減去2次冪，亦即xn÷x2≠zn-2（含yn÷y2≠zn-2），不存在“xn方陣+yn方陣=zn方陣”.同理，如將xn，yn，zn三者方陣分別表為一個(gè)由nn-2個(gè)由“1”組成的方陣組成的方陣群，雖然其方陣群的各個(gè)方陣的組成元素相同，但其方陣群的方陣數(shù)各不相同，不存在xn÷zn-2=x2（含yn÷zn-2=y2），即不存在“xn-2個(gè)x2方陣+yn-2個(gè)y2方陣=zn-2個(gè)z2方陣”.所以，“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）≠z2×zn-2”成立.

一、“xn+yn=zn”方程式中的一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象

在整數(shù)的“xn+yn=zn”方程式中，如將xn，yn，zn三者的次數(shù)由1至2、至3的等式做分析，不難發(fā)現(xiàn)其存在的一種數(shù)學(xué)現(xiàn)象.

事實(shí)告訴我們，當(dāng)xn，yn，zn三者的次數(shù)為1（即n=1）時(shí)，即在“x+y=z（z≥2）”方程式中，任何一個(gè)z（即大于2的整數(shù)）均可表為兩個(gè)整數(shù)相加之和，反之，任何兩個(gè)整數(shù)相加之和均可表為另一個(gè)整數(shù).因此，“x+y=z（z≥2）”成立.

事實(shí)還告訴我們，xn，yn，zn三者的次數(shù)為2（即n=2）時(shí)，即在“x2+y2=z2（z≥2）”方程式中，不可能做到任何一個(gè)大于2的整數(shù)平方（即z2）均可表為兩個(gè)整數(shù)平方相加之和，比如62，72，82不可能表為一個(gè)整數(shù)平方加另一個(gè)整數(shù)平方；反之，也不可能做到任何一個(gè)整數(shù)平方加一個(gè)整數(shù)平方等于另一個(gè)整數(shù)平方，比如“22+32”、“32+52”、“42+52”，其和不可能等于另一個(gè)整數(shù)平方.因此，在“x2+y2=z2（z≥2）”方程式中，只是存在部分一個(gè)整數(shù)平方（即z2）可表為兩個(gè)整數(shù)平方相加之和，只是存在部分一個(gè)整數(shù)平方加一個(gè)整數(shù)平方等于另一個(gè)整數(shù)平方.所以，“x2+y2=z2（z≥2）”成立.

事實(shí)和費(fèi)馬定理告訴我們，xn，yn，zn三者的次數(shù)為3（即n>2）時(shí)，即在“x3+y3=z3（z≥2）”方程式中，任何一個(gè)整數(shù)三次方（即z3）均不可能表為兩個(gè)整數(shù)三次方相加之和，反之，任何兩個(gè)整數(shù)三次方相加不可能等于另一個(gè)整數(shù)三次方.因此，“x3+y3=z3（z≥2）”不成立.

從以上事實(shí)看出，在整數(shù)的“xn+yn=zn”方程式中，當(dāng)xn，yn，zn三者的次數(shù)為1（即n=1）時(shí)，完全成立；當(dāng)xn，yn，zn三者的次數(shù)為2（即n=2）時(shí)，部分成立；當(dāng)xn，yn，zn三者的次數(shù)為3（即n>2）時(shí)，完全不成立.冪的次數(shù)僅是從1至2、至3的遞升，其結(jié)果就發(fā)生了“完全成立→部分成立→完全不成立”如此截然不同的質(zhì)的變化.這種數(shù)學(xué)現(xiàn)象隱藏著其中的奧秘.對此，如以數(shù)學(xué)矩陣的表達(dá)方式去研究它，從中發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律性，這對于進(jìn)一步認(rèn)識和另辟蹊徑破解費(fèi)馬定理，是有積極意義的.

二、“x+y=z（z≥2）”矩陣等式的共同特征

圖 1我們知道，任何一個(gè)整數(shù)都可表為一個(gè)由“1”組成的行陣（或列陣），如圖1所示.

我們知道，在“x+y=z（z≥2）”等式中，任何一個(gè)z（即大于2的整數(shù)）均可表為兩個(gè)整數(shù)相加之和，如用矩陣表示，均可表為一個(gè)由“1”組成的行陣加另一個(gè)由“1”組成的行陣.

從例證1至例證3看出，在“x+y=z（z≥2）”行陣等式中具有兩個(gè)共同特征，其一，x、y、z三個(gè)行陣均為由“1”組成，其組成元素相同；其二，1個(gè)完整的z行陣是由1個(gè)完整的、小于z的行陣加另1個(gè)完整的、小于z的行陣組成，x、y、z三者行陣數(shù)相同.

三、“x2+y2=z2（z≥2）”矩陣等式的共同特征

1.任何一個(gè)整數(shù)平方均可表為一個(gè)由“1”組成的方陣或三角矩陣

筆者在《地圖與數(shù)學(xué)的組合、排列及三角矩陣》一文（見《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2011年第19期）中，經(jīng)做圖證明得出結(jié)論：任何一個(gè)整數(shù)（n>1）的2次冪均可表為一個(gè)由“1”組成的方陣，而且這個(gè)方陣既可表為一個(gè)由“1”組成的三角矩陣，也可表為兩個(gè)由“1”組成的三角矩陣，見圖5.

根據(jù)整數(shù)的2次冪的方陣和三角矩陣的規(guī)律，遵循組合數(shù)“循序逐增”的基本原理，整數(shù)的2次冪的三角矩陣和方陣可以圖6來表示.其定理為：n2=C2n+C2n+1.

圖6 n2的三角矩陣和方陣圖

2.“x2+y2=z2（z≥2）”矩陣等式的共同特征

我們知道，在整數(shù)的“x2+y2=z2”等式中，是部分成立.對這部分成立的“x2+y2=z2”等式如用矩陣等式表達(dá)出來，并做分析，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)其共同特征.

例證1 32+42=52的方陣和三角矩陣等式，見圖7、圖8.

例證2 62+82=102的方陣和三角矩陣等式，見圖9、圖10.

從例證1、例證2看出，在“x2+y2=z2（z≥2）”方陣（三角矩陣同）等式中具有兩個(gè)共同特征，其一，x2，y2，z2三者方陣均為由“1”組成，其組成的元素相同；其二，三者方陣均為1個(gè)完整的方陣，即1個(gè)完整的z2方陣是由1個(gè)完整的、小于z2的方陣加另1個(gè)完整的、小于z2的方陣組成，三者陣數(shù)相同.

“方陣（三角矩陣）的組成元素相同”和“x2，y2，z2三者陣數(shù)相同”，這就是成立的“x2+y2=z2”方陣（三角矩陣）等式的共同特征，也是“x2+y2=z2”能夠成立的兩個(gè)必要條件.此兩個(gè)必要條件缺一不可.

根據(jù)“n2=C2n+C2n+1”定理，“x2+y2=z2”可置換為：（C2x+C2x+1）+（C2y+C2y+1）=（C2x+C2z+1）.

四、整數(shù)n（≥3）次冪的方陣的規(guī)律

研究結(jié)果表明，任何一個(gè)整數(shù)的n（≥3）次冪均可表為一個(gè)由“該整數(shù)的n-2次冪”組成的方陣，也可表為一個(gè)由“該整數(shù)的n-2次冪”組成的三角矩陣，還可表為兩個(gè)由“該整數(shù)的n-2次冪”組成的三角矩陣.

例證1

整數(shù)2的3次冪、4次冪、5次冪的方陣和三角矩陣（見圖11）.

整數(shù)3的3次冪、4次冪、5次冪的方陣和三角矩陣（見圖12）.

整數(shù)4的3次冪、4次冪、5次冪的方陣和三角矩陣（見圖13）.

根據(jù)整數(shù)的n（≥3）次冪的方陣和三角矩陣的規(guī)律，遵循組合數(shù)“循序逐增”的基本原理，整數(shù)的n次冪的三角矩陣和方陣可以下圖來表示：

圖14 nn的三角矩陣和方陣

其定理為：nn=（C2n+C2n+1）×nn-2（式中整數(shù)n≥2，方冪n≥3）.

根據(jù)“n2=C2n+C2n+1”定理，nn=（C2n+C2n+1）×nn-2又可表為：nn=n2×nn-2.此定理表明，由“nn-2”組成的nn方陣亦可轉(zhuǎn)換為由若干以“1”為元素組成的方陣組成的方陣群.如24，可表為：

五、費(fèi)馬定理的另一種表述

四川科學(xué)技術(shù)出版社于1985年出版的《古今數(shù)學(xué)趣話》一書的《能下金蛋的母雞——“費(fèi)馬猜測”古今談》對費(fèi)馬定理的原本內(nèi)容是這樣表述的：“不可能把一個(gè)整數(shù)的立方表為兩個(gè)整數(shù)的立方和，也不可能把一個(gè)整數(shù)的四次冪表為兩個(gè)整數(shù)的四次冪和.一般來說，不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于2的整數(shù)的方冪，表為兩個(gè)整數(shù)的同次方冪之和.”用現(xiàn)代的專業(yè)用語來說，就是當(dāng)n>2時(shí)，不定方程：

xn+yn=zn不存在正整數(shù)解.

根據(jù)上文求證到的“任何一個(gè)整數(shù)的n（≥3）次冪均可表為一個(gè)由‘該整數(shù)的n-2次冪組成的方陣”的結(jié)論，費(fèi)馬定理可以下面文字來表述：

不可能把一個(gè)整數(shù)的立方的方陣表為兩個(gè)整數(shù)的立方的方陣，也不可能把一個(gè)整數(shù)的四次冪的方陣表為兩個(gè)整數(shù)的四次冪的方陣.一般來說，不可能把任意一個(gè)次數(shù)大于2的整數(shù)的方冪的方陣，表為兩個(gè)整數(shù)的同次方冪之方陣.其不定方程為：

[（C2x+C2x+1）×xn-2]+[（C2y+C2y+1）×yn-2]=（C2z+C2z+1）×zn-2.

不存在正整數(shù)解.

已知n2=C2n+C2n+1，那么，費(fèi)馬定理又可表為：

（x2×xn-2）+（y2×yn-2）=z2×zn-2不存在正整數(shù)解.

六、對“xn+yn≠zn”（n≥3）的證明

研究結(jié)果表明，“xn+yn=zn”（n≥3）之所以不成立，是在于將xn，yn，zn表為整數(shù)的方冪的方陣時(shí)，這3個(gè)整數(shù)的方冪的方陣不同時(shí)具備“方陣的組成元素相同”和“方陣的個(gè)數(shù)相同”這兩個(gè)必要條件，只是具備其中的一個(gè)必要條件.

1.xn方陣+yn方陣≠zn方陣：在于“方陣的個(gè)數(shù)相同”而“方陣的組成元素不相同”

例證1 以33+43≠53為例.

已知：x3=33=33-2×32，y3=43=43-2×42，z3=53=53-2×52.

那么，33+43≠53則為（33-2×32）+（43-2×42）≠53-2×52.

其方陣等式如圖15所示.

從上圖看出，33+43≠53，是在于x3，y3，z3三者方陣，雖然方陣的個(gè)數(shù)相同（均為1個(gè)），但組成方陣的元素各不相同，x3方陣的組成元素是33-2，y3方陣的組成元素是43-2，z3方陣的組成元素是53-2.假如將x3，y3兩個(gè)方陣的組成元素改換為同是z3方陣的組成元素“53-2”，那么，其方陣等式如圖16所示.

顯然，圖16的方陣等式是成立的.但是，此方陣53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2

已是“53-2×32”的方陣，并非是“33-2×32”的方陣；此方陣53-2 53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2 53-2

53-2 53-2 53-2 53-2

已是“53-2×42”的方陣，并非是“43-2×42”的方陣.

可見，33+43≠53是在于其3個(gè)方陣的組成方陣元素各不相同.

例證2 以34+44≠54為例.

已知：x4=34=34-2×32，y4=44=44-2×42，z4=54=54-2×52.

那么，34+44≠54則為（34-2×32）+（44-2×42）≠54-2×52.

其方陣等式如圖17所示.

從上圖看出，34+44≠54，是在于x4，y4，z4三者方陣的組成元素各不相同，如將這x4，y4兩個(gè)方陣的組成元素改換為同是z4方陣的組成元素“54-2”，那么，其方陣等式如圖18所示.

顯然，此方陣等式是成立的.但其表達(dá)的是“（54-2×32）+（54-2×42）=54-2×52”，并非是“（34-2×32）+（44-2×42）≠54-2×52”.

例證3 以63+83≠103為例.

已知：x3=63=63-2×62，y3=83=83-2×82，z3=103=103-2×102.

那么，63+83≠103則為（63-2×62）+（83-2×82）≠103-2×102.

其方陣等式表為：

從上圖看出，63+83≠103，是在于x3，y3，z3三者方陣的組成元素各不相同.如將上方陣等式的x3，y3兩個(gè)方陣的組成元素改換為同是z3方陣的組成元素“103-2”，那么，其方陣等式如圖20所示.

顯然，此方陣等式是成立的.但其表達(dá)的是“（103-2×62）+（103-2×82）=103-2×102”，并非是“（63-2×62）+（83-2×82）≠103-2×102”.

從例證1至例證3的方陣等式可知，如使“xn+yn=zn”（n≥3）成立，在小于zn方陣的方陣中，必須存在兩個(gè)可轉(zhuǎn)換為同是zn方陣的組成元素“zn-2”組成的方陣：一個(gè)是可轉(zhuǎn)換為“zn-2×x2”的方陣，另一個(gè)是可轉(zhuǎn)換為“zn-2×y2”的方陣.整數(shù)n次冪的除法法則和事實(shí)告訴我們，只存在xn÷x2=xn-2（含yn÷y2=yn-2）等式，絕不會(huì)有xn÷x2=zn-2（含yn÷y2=zn-2）的計(jì)算結(jié)果.因此，在小于zn方陣的方陣中，絕不可能存在可轉(zhuǎn)換為同是zn方陣的組成元素“zn-2”組成的方陣，亦即不存在“xn方陣+yn方陣=zn方陣”.所以，費(fèi)馬定理成立，此證.

2.xn-2個(gè)x2方陣+yn-2個(gè)y2方陣≠zn-2個(gè)z2方陣：在于“方陣的組成元素相同”而“方陣的個(gè)數(shù)不相同”

根據(jù)“nn=n2×nn-2”的定理，現(xiàn)將上文的例證1、例證2的方陣等式轉(zhuǎn)換為同由“1”組成的方陣等式進(jìn)行證明.

從上圖看出，33+43≠53，是在于x3，y3，z3三者方陣群的方陣個(gè)數(shù)不相同.如將x3，y3兩者方陣群的方陣個(gè)數(shù)改換為同是z3方陣群的方陣個(gè)數(shù)“53-2”，那么，其方陣等式如圖22所示.

從上圖看出，34+44≠54，是在于x4，y4，z4三者方陣群的方陣個(gè)數(shù)不相同.如將x4，y4兩者方陣群的方陣個(gè)數(shù)改換為同是z4方陣群的方陣個(gè)數(shù)“54-2”，那么，其方陣等式如圖24所示.

顯然，此方陣等式是成立的.但其表達(dá)的是“（32×54-2）+（42×54-2）=52×54-2”，并非是“（32×34-2）+（42×44-2）≠52×54-2”.

從例證1、例證2的方陣等式可知，如使“xn+yn=zn”（n≥3）成立，在小于zn方陣群的方陣群中，必須存在兩個(gè)可轉(zhuǎn)換為其方陣個(gè)數(shù)與zn方陣群的方陣個(gè)數(shù)相同的方陣群：一個(gè)是可轉(zhuǎn)換為“x2×zn-2”的方陣群，另一個(gè)是可轉(zhuǎn)換為“y2×zn-2”的方陣群.整數(shù)n次冪的除法法則和事實(shí)告訴我們，只存在xn÷xn-2=x2（含yn÷y2=yn-2）等式，絕不會(huì)有xn÷zn-2=x2（含yn÷zn-2=y2）的計(jì)算結(jié)果.因此，在小于zn方陣群的方陣群中，絕不可能存在可轉(zhuǎn)換為“x2×zn-2”（含yn×zn-2）的方陣群，亦即不存在“xn-2個(gè)x2方陣+yn-2個(gè)y2方陣=zn-2個(gè)z2方陣”.所以，費(fèi)馬定理成立，此證.

綜上所證，得出結(jié)論：“xn+yn=zn”（n≥3）之所以不成立，是在于將xn，yn，zn表為整數(shù)的方冪的方陣時(shí)，三者方陣不同時(shí)具備“方陣的組成元素相同”和“方陣的個(gè)數(shù)相同”這兩個(gè)必要條件，只是具備其中的一個(gè)必要條件.

事實(shí)上，根據(jù)“xn方陣+yn方陣=zn方陣”必須具備的兩個(gè)必要條件和費(fèi)馬定理給出的“同次方冪”的原則，用逆向思維方式去思考，不難發(fā)現(xiàn)，對費(fèi)馬定理的證明，其實(shí)就是對“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）≠z2×zn-2”作出證明.現(xiàn)證明如下：

將“（x2×xn-2）+（y2×yn-2）=z2×zn-2”轉(zhuǎn)換為：

[（x2×xn-2）+（y2×yn-2）]÷zn-2=z2.

那么，得[（x2×xn-2）÷zn-2]+[（y2×yn-2）÷zn-2]=z2.

∵zn-2>xn-2，∴（x2×xn-2）÷zn-2

同理∵zn-2>yn-2，∴（y2×yn-2）÷zn-2

可見，在小于z的整數(shù)的n（≥3）次冪的方陣中，不存在可轉(zhuǎn)換為“x2×zn-2的方陣”和“y2×zn-2的方陣”的同次冪方陣，即（x2×xn-2）+（y2×yn-2）≠z2×zn-2.所以，費(fèi)馬定理成立，此證.