曾俊雄

【摘要】本文講述了在循環(huán)數(shù)中尋找卡氏甲數(shù)，用循環(huán)數(shù)表達(dá)卡氏乙數(shù)的方法，給出了卡普列加數(shù)的周期循環(huán)變化規(guī)律，從而揭示了循環(huán)數(shù)的周期現(xiàn)象.

【關(guān)鍵詞】卡普列加數(shù)；卡氏甲數(shù)；卡氏乙數(shù)；廣義卡普列加數(shù)；循環(huán)數(shù)符號

如果既約真分?jǐn)?shù)ba（分母a不含2及5的素因數(shù)）是一個可化為純循環(huán)小數(shù)的分?jǐn)?shù)，例如，59=0.5·，5[]11=0.4·5·，9[]11=0.8·1·，1[]7=0.1·42857·，那么5，45，81，142857等循環(huán)數(shù)與“卡普列加數(shù)”有關(guān)系嗎？首先，我們來看“卡普列加數(shù)”的有關(guān)定義：

定義1 取一個任意自然數(shù)M，將其平方M2切為兩半，并求其和M′.若M′=M，則M即為二階卡普列加數(shù)或二階卡氏甲數(shù)（簡稱卡氏甲數(shù)），M2的運算結(jié)果稱為卡普列加平方數(shù)或二階卡氏乙數(shù)（簡稱卡氏乙數(shù)）.

定義2 若（x）n或[x]n（x為正整數(shù)）表示把x重寫n遍并串聯(lián)在一起的n重數(shù)，則由重復(fù)數(shù)x組成的卡氏甲數(shù)[x]n稱為以x為底數(shù)的n重卡氏甲數(shù)（簡稱n重卡氏甲數(shù)）.例如：

[（81）3]2=8181812=669420|148761，M′=669420+148761=818181=（81）3.

（為了說明方便起見，在中間插入一個豎記號|，表示前半部分與后半部分的界限）

顯然，遵循“定義1”的思路，可以把“二階卡氏甲數(shù)”推廣到“三階卡氏甲數(shù)”“四階卡氏甲數(shù)”……（也叫作廣義卡普列加數(shù)）.例如：

[（81）8]3=5477084898572500|2351615326821940|0353117956423741，

M′=5477084898572500+2351615326821940+0353117956423741=（81）8，

[（5）2]4=554=09|15|06|25，M′=09+15+06+25=55，

其中（81）8，55分別稱為三階、四階卡氏甲數(shù)，[（81）8]3，554的結(jié)果分別稱為三階、四階卡氏乙數(shù).

其次，我們先來研究二階卡氏甲數(shù)的求法.

巧求二階卡氏甲數(shù)

如何求純循環(huán)小數(shù)中以循環(huán)數(shù)為底數(shù)的n重卡氏甲數(shù)呢？首先，我們探討純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)數(shù).以17為例.重復(fù)應(yīng)用普通的除法可得17=0.1·42857· 余3，2，6，4，5，1.下面列出b7（b=1，2，…，6）的余數(shù)和商：

其次，我們來求17的循環(huán)數(shù)142857的平方，并把平方的結(jié)果切成兩半求和（簡稱循環(huán)和）：

1428572=020408│122449，020408+122449=142857.

再把循環(huán)和連續(xù)寫兩遍即142857142857，并把這個數(shù)分成6節(jié)（每兩個數(shù)字分成一節(jié)），依次分別填入表一中的循環(huán)和中.

再次，如果循環(huán)和某一節(jié)中的兩位數(shù)與對應(yīng)的商的一個數(shù)字以及下一個數(shù)字組成的兩位數(shù)相同，那么從這兩位數(shù)開始的循環(huán)數(shù)，就是一重卡氏甲數(shù).如表一循環(huán)和中的1·4·與對應(yīng)的商數(shù)是1及下一個商數(shù)是4，那么從14開始的循環(huán)數(shù)142857就是一重卡氏甲數(shù)，并把“1”填在表一n中的對應(yīng)位置.

最后，余數(shù)從“1”開始，按順時針方向把余數(shù)1，3，2，6，4，5圍成一圈（如圖1），

圖 1然后從“1”開始，按逆時針方向順序依次可得到6個數(shù)（簡稱反向排列）為1，5，4，6，2，3，并把后5個數(shù)依次填在表一n中的對應(yīng)位置上.這樣，由表一可得到另外5個卡氏甲數(shù)，如n=4對應(yīng)的商數(shù)c=285714，則（285714）4就是卡氏甲數(shù).所以，由表一可依次得到6個卡氏甲數(shù)：（142857）1、（428571）5、（285714）4、（857142）6、（571428）2、（714285）3.

由于大部分的既約真分?jǐn)?shù)b[]a的循環(huán)節(jié)長度比較長，循環(huán)數(shù)書寫起來很不方便，所以本文規(guī)定：循環(huán)數(shù)符號b[]aλλ表示b[]a的循環(huán)節(jié)長度表示既約真分?jǐn)?shù)b[]a的最小循環(huán)數(shù).例如，由于2[]7=0.2·85714·的循環(huán)數(shù)是285714，循環(huán)節(jié)長度為6，則循環(huán)數(shù)符號2[]7λ=6表示的數(shù)為285714，即2[]7λ=6=285714.引進了“循環(huán)數(shù)符號”后，前面所求的6個二階卡氏甲數(shù)可以簡寫為：1[]7λ=6

當(dāng)a-1[]2<λ≤a-1，即λ=φ（a）時，既約真分?jǐn)?shù)b[]a只要構(gòu)造一個余數(shù)、商數(shù)表就能求出b[]a的所有循環(huán)數(shù).這樣，利用上面的方法就可以求出n重卡氏甲數(shù)baλn中的b值及n值.當(dāng)然，搜求卡氏甲數(shù)的最主要方法是利用同余式.如911的循環(huán)數(shù)是81，由同余式81×3≡1（mod11），可得卡氏甲數(shù)（81）3.既然利用上面的方法可以獨立求出卡氏甲數(shù)，那么這個卡氏甲數(shù)所對應(yīng)的卡氏乙數(shù)能否獨立求出嗎？

6等都是卡氏甲數(shù)，那么如何求出它們的卡氏乙數(shù)呢？卡氏甲數(shù)與卡氏乙數(shù)有什么關(guān)系呢？我們先來研究（57）λ=63即（714285）3所對應(yīng)的卡氏乙數(shù)：

經(jīng)過計算，可得等式一：[（714285）3]2=510204081632653060204081632653061225.不妨，把這種表達(dá)式稱為卡普列加數(shù)的一般表達(dá)式（以下同）.而2549m=18=510204 081632 653061比卡氏乙數(shù)的前半節(jié)多1，1049m=18=204081 632653 061224比卡氏乙數(shù)的后半節(jié)少1.所以等式一可簡潔表達(dá)為等式二：57λ=632=2549m=6×3-11049m=6×3+1.不妨，把這種表達(dá)式稱為卡普列加數(shù)的混循環(huán)數(shù)表達(dá)式（以下同）.這時混循環(huán)數(shù)表達(dá)式等價于一般表達(dá)式.如果把等式二中的前半節(jié)減去1和后半節(jié)加上1省略不寫，就可得近似的等式：57λ=632=2549m=6×31049m=6×3.不妨把這種表達(dá)式稱為卡普列加數(shù)的純循環(huán)數(shù)表達(dá)式（以下同）.不難發(fā)現(xiàn)，近似等式左邊的分?jǐn)?shù)57和右邊的兩個分?jǐn)?shù)2549，1049的關(guān)系為：57=2549+1049，即1049=57-572，而5[]7恰好是卡氏甲數(shù)57λ=63中底數(shù)中的分?jǐn)?shù).

所以，可以用下面的方法求二階卡氏甲數(shù)（ba）λn所對應(yīng)的卡氏乙數(shù)，即求baλn2的值：

（1）由ba=ba2+ba-b2a2，即ba=b2a2+ab-b2a2，可得卡普列加數(shù)的純循環(huán)數(shù)表達(dá)式：baλn2=b2a2m=nλab-b2a2m=nλ.

（2）由（1）得卡普列加數(shù)的混循環(huán)數(shù)表達(dá)式：

baλn2=b2a2m=nλ-dab-b2a2m=nλ+1（其中1是定值，d是常數(shù)），由卡普列加數(shù)的定義知b2a2m=nλ-d+ab-b2a2m=nλ+1=baλn，再把b2a2m=nλ，ab-b2a2m=nλ，baλn展開代入這個等式，就可以確定d的值（一般d為0或1或2）.

（3）由（2）可以把卡普列加數(shù)的混循環(huán)數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一般表達(dá)式.

例 求卡氏甲數(shù)[（47）λ=6]2所對應(yīng)的卡氏乙數(shù).

解 （1）由47=4272+7×4-4272即47=1649+1249，得純循環(huán)數(shù)表達(dá)式：47λ=622=1649m=6×21249m=6×2.

（2）因為1649m=12=326530 012244其中1649m=12表示1649λ=42中循環(huán)數(shù)前面的12位數(shù)，以下同，（1249）m=12=244897 959183 ，47λ=62=（571428）2=571428571428.

再把上面的展開式代入等式：

1649m=12-d+1249m=12+1=47λ=62，得d=0，

所以，混循環(huán)數(shù)表達(dá)式為：（47）λ=622=1649m=121249m=12+1.

（3）由（2）即得一般表達(dá)式為

[（571428）2]2=5714285714282

=326530 612244 244897 959184.

可見，只要知道以循環(huán)數(shù)為底數(shù)的卡氏甲數(shù)，就一定可以準(zhǔn)確地求出它對應(yīng)的卡氏乙數(shù).當(dāng)然，還可以利用循環(huán)和求出三階、四階……n階卡普列加數(shù).下面給出4個廣義卡普列加數(shù)的循環(huán)數(shù)表達(dá)式（其中（1）（2）等價于一般表達(dá)式，即準(zhǔn)確表達(dá)式）：

（1）19λ=1803=1[]729m=8070[]729m=8010[]729m=80.

（2）27λ=6453=8343m=6×455343m=6×4585343m=6×45.

（3）59λ=17284=6256561m=7288436561m=72818666561m=7283116561m=728.

（4）59λ=11425=312559049m=142285459049m=142·1488959049m=142966759049m=142227059049m=142.上面，列舉了三階、四階、五階的卡普列加數(shù)，那么，到底卡普列加數(shù)有幾階呢？從下面的卡普列加數(shù)三角形表可以看出至少存在10階以19的循環(huán)數(shù)1為底數(shù)的卡普列加數(shù).

表二 卡普列加數(shù)三角形

說明 （1）此表與楊輝三角形有類似之處，楊輝三角形中間的數(shù)，等于與上一行相鄰兩個數(shù)的和，而卡普列加數(shù)三角形中間的數(shù)，則等于與上一行相鄰兩個數(shù)的差（后數(shù)減前數(shù)），每一行第一個數(shù)都是1，從第二行開始，每一行最后一個數(shù)分別是9，92，…，910的值，并且從第三行開始，以最后一個數(shù)作為前面各數(shù)的分母求和，其和都等于1[]9.如，由第三行可得等式一：181+881=19，由第四行可得等式二：1729+7729+73729=19……

（2）由第三行可得二階卡普列加數(shù)：19λ=19+12=181λ′=90881λ′=91，這個等式中的分?jǐn)?shù)就是等式一中的分?jǐn)?shù).又因為19λ=1=1，181λ′=9=012345679，881λ′=9=098765432，

所以這個等式可化為一般表達(dá)式（以下同）：1102=012345679 0 098765432 1.

同理，由第四行、第五行……第十行、第十一行分別可得下面的3階、4階……9階、10階卡普列加數(shù)：

19λ=181+13=1729λ′=8107729λ′=81073729λ′=811，

19λ=1729+14=16561λ′=729066561λ′=7290666561λ′=72906566561λ′=7291，

……

19λ=198+19=199λ′=980199λ′=980…3874204999λ′=981，

19λ=199+110=1910λ′=990（0）990…34867845910λ′=990348678440910λ′=991.

當(dāng)然，由上面的等式還可以得到卡普列加數(shù)周期循環(huán)變化規(guī)律的等式（猜想），如：

19λ=181k+13=1729λ′=81k07729λ′=81k073729λ′=81k1（其中k為正整數(shù)）.

仿照表二可以看出至少存在（p+1）階以1p（p為素數(shù)）的循環(huán)數(shù)為底數(shù)的卡普列加數(shù).

雖然，不是所有的循環(huán)數(shù)，都可以找到卡普列加數(shù)，但大多數(shù)循環(huán)數(shù)都可以找到卡普列加數(shù).因為卡普列加數(shù)是乘方運算中的特例，并且卡普列加數(shù)比素數(shù)多得多.當(dāng)我們求出了內(nèi)循環(huán)卡氏甲數(shù)（指沒有出現(xiàn)周期變化規(guī)律的卡氏乙數(shù)所對應(yīng)的卡氏甲數(shù)），那么可根據(jù)卡普列加數(shù)的周期循環(huán)變化規(guī)律，求出它的外循環(huán)卡氏甲數(shù).下面給出卡普列加數(shù)的周期循環(huán)變化規(guī)律（猜想）：

如果baλnm（m，n是正整數(shù)，λ是循環(huán)節(jié)長度）的純循環(huán)數(shù)表達(dá)式：

baλnm（n

例如，等價于一般表達(dá)式的純循環(huán)數(shù)表達(dá)式：

29λ=1233=8729i=23101729i=2353729i=23，

な僑階卡普列加數(shù)表達(dá)式，其中8729+101729+53729=29，根據(jù)周期循環(huán)變化規(guī)律可猜想：

29λ=181k+233=8729λ′=81k8729i=23101729λ′=81k101729i=2353729λ′=81k53729i=23，也是三階卡普列加數(shù)表達(dá)式.當(dāng)k=1時，上面的等式就是：

29λ=181+233=8729λ′=818729i=23101729λ′=81101729i=2353729λ′=8153729i=23，

這個等式經(jīng)檢驗是成立的，并且是三階卡普列加數(shù)表達(dá)式.

絕大部分的卡普列加數(shù)都可以在循環(huán)數(shù)中找到.可見，循環(huán)數(shù)與卡普列加數(shù)是息息相關(guān)的.不但卡氏甲數(shù)出現(xiàn)了周期性的變化規(guī)律，而且卡氏乙數(shù)也出現(xiàn)了周期性的變化規(guī)律.最后，讓我們一起來繼續(xù)探討循環(huán)數(shù)、卡普列加數(shù)的周期現(xiàn)象及其他方面的應(yīng)用吧！

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