施莉莉

【摘要】一題多解是鍛煉學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生潛能的有效武器之一.當(dāng)下的學(xué)生太過拘泥于所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案，習(xí)慣于“拿來主義”，長此以往必將“暗流洶涌”，功虧一簣.本文通過三個方面并結(jié)合實例講述怎樣引導(dǎo)學(xué)生樂于一題多解.

【關(guān)鍵詞】放開手；沉住氣；搭平臺

哲學(xué)博士余瀟楓教授認(rèn)為：“每一名學(xué)生的腦袋都是一個‘發(fā)電機，教育的本質(zhì)是引出和激發(fā)學(xué)生的潛能.無論做什么事，都應(yīng)該三思，即前思、反思和當(dāng)下思.”余教授的話一針見血地指出，激發(fā)三思，可使課堂教學(xué)更具想象力.當(dāng)今社會，有些學(xué)生的思想猶如籠中鳥，無法自由翱翔，作為教師應(yīng)改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，激發(fā)學(xué)生的思維，積極引導(dǎo)學(xué)生進行一題多解.

一、放開手讓學(xué)生去體驗思考的樂趣

蘇霍姆林斯基說：“在學(xué)生的腦力勞動中，擺在第一位的不是記住別人的思想而是讓學(xué)生本人進行思考.”而我們老師卻常常會越俎代庖，事無巨細，總想把所有的知識一字不落地裝進學(xué)生的腦袋，覺得這樣才算完成了教學(xué)目標(biāo).殊不知，這樣學(xué)生只能被動地學(xué)習(xí)，課堂上學(xué)生毫無激情，不敢多說一句，刻板沉悶，學(xué)生無半點思維的空間.

“一千個讀者心中就有一千個哈姆雷特.”教師應(yīng)該放開手，改變唯我獨尊、唯教參獨尊、唯標(biāo)準(zhǔn)答案獨尊的老思路，留給學(xué)生更多認(rèn)真品味、用心揣摩、獨立思考的空間.

如在介紹完兩角和與差的三角函數(shù)后，我給學(xué)生準(zhǔn)備了這么一道題：已知在△ABC中，滿足tanA+tanB+3=3tanAtanB（*），且sinAcosA=3[]4，判斷△ABC的形狀.

學(xué)生甲分析：利用變形公式tanA+tanB=tan（A+B）·（1-tanAtanB）易得（1-tanAtanB）[tan（A+B）+3]=0，則1-tanAtanB=0或tan（A+B）+3=0，而當(dāng)1-tanAtanB=0時，代入（*）得tanA+tanB=0，又因在△ABC中，易得A+B=π，所以矛盾.那就只能tan（A+B）+3=0，利用誘導(dǎo)公式可知C=60°.再將sinAcosA=3[]4兩邊平方得sin2Acos2A=3[]16，后用sin2A+cos2A=1進行轉(zhuǎn)化易得cos2A=3[]4或1[]4，因為sinAcosA=3[]4>0，00得cosA>0，cosA=3[]2或1[]2得A=30°或60°，當(dāng)A=30°時B=90°，矛盾，當(dāng)A=60°時B=60°，此三角形是等邊三角形.這時有的學(xué)生嘖嘖稱贊，也有學(xué)生認(rèn)為這種方法容易做錯，當(dāng)中有好多“地雷”，如容易將1-tanAtanB=0約掉，想不到用sin2A+cos2A=1轉(zhuǎn)化等.我很欣喜我的學(xué)生能用辯證的觀點去看待問題，能對如此精致的答案說“不”，那代表他們會想著去探求更適合自己的方法.

學(xué)生乙分析：利用兩角和的正弦，讓sinAcosA=3[]4的兩邊同時乘以2，得sinAcosA+sinAcosA=3[]4，sin（A+A）=3[]2=sin2A，易得A=30°或60°，后回代入（*）解出tanB，再求出B，也可得此三角形是等邊三角形.課堂里又開始議論紛紛.“這種方法更贊.”“回代入（*）避免了繁雜的運算.”“想不到兩邊乘以2，方法的技巧性好像太強了”……我非常驚喜于學(xué)生的表現(xiàn)，我不急于向?qū)W生解釋為何兩邊乘以2，事實上學(xué)了倍角公式的正弦后就能迎刃而解.我驚喜，因他們能不入俗套，想到回代的方法，更驚喜，他們對倍角的正弦公式來歷有了不同的演繹.這些驚喜絕不可能來自于所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案，而應(yīng)該得益于學(xué)生積極且活躍的思維.我越來越期待他們更精彩的表現(xiàn).

學(xué)生丙分析：利用熟悉的弦化切，將sinAcosA=3[]4變形為sinAcosA[]sin2A+cos2A=3[]4，等式左邊分子和分母同時除以cos2A，易得新方程tanA[]tan2A+1=3[]4，可直接解出tanA，回代入（*）求出tanB，經(jīng)檢驗后得等邊三角形.教室內(nèi)突然間出奇的安靜，他們還在嘗試.“解這個新方程有點難啊.”有人在竊竊私語，“但這種弦化切的方法容易想到！”

學(xué)生丁分析：能否將sinAcosA=3[]4中的3[]4直接拆成1[]2×3[]2，變形得sinAcosA=sin60°cos60°，A=60°呢？教室內(nèi)沸騰了，“這樣解題有缺陷.”“拆法不唯一吧.”……此刻下課鈴聲已響起，但同學(xué)們?nèi)栽谕业赜懻?，激烈地爭辯.

其實只要老師能進行有效的提問，營造寬松而和諧的課堂氛圍，最大限度地讓學(xué)生去探索，尊重學(xué)生的思路，反而有利于激發(fā)學(xué)生的積極思維使他們敢于主動體驗思考的樂趣.

二、沉住氣讓學(xué)生感悟攻克的艱辛

古人云：“天將降大任于是人也，必先苦其心志，勞其筋骨，餓其體膚，空乏其身，行拂亂其所為，所以動心忍性，增益其所不能.”上帝給你的禮物越大，用來包裹的問題就越大.想讓學(xué)生得到更大的成功，必先讓學(xué)生去感悟攻克的艱辛.

攻克問題的過程是一個親身實踐的過程.它能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，增強學(xué)生的自信心，提高團結(jié)協(xié)作能力，增加一題多解的可能性，有利于學(xué)生的自身發(fā)展.

如蘇教版必修5數(shù)列章節(jié)中的例題：某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時盤芯直徑40 mm，滿盤時直徑120 mm.已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1 mm，問：滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約是多少米（精確到1 m）？

課本給出的詳細答案是：衛(wèi)生紙的厚度為0.1 mm，可以把繞在盤上的衛(wèi)生紙近似地看作是一組同心圓，然后分別計算各圓的周長，再求總合.

由內(nèi)向外各圈的半徑分別為20.05，20.15，…，59.95.

因此，各圈的周長分別為40.1π，40.3π，…，119.9π.

因為各圈半徑組成首項為20.05，公差為0.1的等差數(shù)列，設(shè)圈數(shù)為n，則59.95=20.05+（n-1）×0.1，所以n=400.

顯然，各圈的周長組成一個首項為40.1π，公差為0.2π，項數(shù)為400的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，得S=400×40.1π+400×（400-1）[]2×0.2π=32000π（mm）.

答：滿盤時衛(wèi)生紙的長度約為100 m.

分析 該種解法容易將數(shù)列的首項和末項弄錯，導(dǎo)致全盤皆輸.

而數(shù)列對學(xué)生而言本就是難點，于是我將全班分成六組，任務(wù)是利用課余尋求新方法解決該題，并每天檢查他們的進展.其間有的組從家里帶來了卷筒紙仔細觀察，有的組展開量了一下發(fā)現(xiàn)一般的卷筒紙長度大概都是100米左右，有的組跑來求給一點提示.“仔細觀察觀察，充分發(fā)揮你們的空間想象力吧！”我滿懷信心地說.時間一天天過去了，看著他們把卷筒紙展開又卷起，“呀，第二組的圓柱體越來越瘦了嘛.”我打趣道.“卷紙被人拿去上廁所了.”“不是卷紙，是長方體吧？”同學(xué)們七嘴八舌，笑聲一片.“前些天，有人向我要提示，現(xiàn)在好像沒必要了，你們都已看出圓柱體和長方體了，進展很快??！”他們一開始還面面相覷，后來有人恍然大悟：“體積相等.”我知道他們已明白我話中的玄機了.第二天，他們給了我答案.

學(xué)生分析 （如圖）利用卷筒紙展開前后的體積相等.展開前的體積=大圓柱的體積-小圓柱的體積，展開后成長方體.設(shè)卷筒紙的高為h（mm），滿盤時衛(wèi)生紙的總長度為x（mm），易知大圓柱的體積-小圓柱的體積=π×602×h-π×202×h，長方體體積=x×0.1×h，由題意得π×602×h-π×202×h=x×0.1×h，x≈100（m）.

雖為了得到答案花了那么長時間，但同學(xué)們學(xué)會了實驗、觀察、共同協(xié)作，他們得到的不僅僅是“答案”，更會明白只有永不止步進行艱辛的攀登才會看到最美好的風(fēng)景.

三、搭平臺提升學(xué)生創(chuàng)新的欲望

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾強調(diào)：“注重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生從客觀現(xiàn)象找出數(shù)學(xué)問題的能力，進行再創(chuàng)造.”創(chuàng)新思維有助于學(xué)生個性優(yōu)勢的充分發(fā)揮，掙脫固有思維的束縛.

教師應(yīng)積極地為學(xué)生搭建平臺，給學(xué)生預(yù)留好起點和跳板，注意新舊知識的銜接，層層誘導(dǎo)，提升學(xué)生創(chuàng)新的欲望.

如2011年理科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)全國卷）第13題：若變量x，y滿足約束條件3≤2x+y≤9，

6≤x-y≤9，則z=x+2y的最小值為多少？

分析：這是一道典型的線性規(guī)劃題.作出可行域如圖陰影部分所示，由y=-2x+3，

y=x-9，解得A（4，5）.當(dāng)直線過A點時取最小值，將A（4，5）代入，得zmin=4+2×（-5）=-6.

我特意先讓學(xué)生在草稿紙上畫出可行域后，互相交流一下畫圖的感想.普遍反映是坐標(biāo)軸上標(biāo)的數(shù)字太大，畫出的平行四邊形又太小，畫圖花的時間太長.而后我引入變題：已知不等式組3≤a≤9，

6≤b≤9，

a+b的范圍是多少？“9≤a+b≤18.”同學(xué)們異口同聲道.他們都覺得過分簡單.我又追問：“若設(shè)2x+y=a，x-y=b后，這樣的a，b與z會有聯(lián)系嗎？”一番思考后，學(xué)生分析：設(shè)z=m（2x+y）+n（x-y），易知m=1，n=-1.即z=a-b，易得zmin=3+（-9）=-6.我開始拋“繡球”，“若今年輪到你去出高考試卷，編一道涉及此知識點的考題吧！”從他們躍躍欲試的興奮表情看得出，等待我的應(yīng)該是“八仙過海，各顯神通”.

適度的平臺提升了學(xué)生自行找到答案的能力，并讓學(xué)生的思維上升到一定的高度，必然能使學(xué)生看得更遠，想得更深.

尋求一題多解的過程固然艱辛，但人生路上我們也可能會無數(shù)次被自己的決定或碰到的逆境擊倒、欺凌、碾壓.“寶劍鋒從磨礪出.”只要我們記住蜘蛛不會飛翔，但它照樣可以把網(wǎng)結(jié)在空中，奇跡永遠會為執(zhí)著者敞開一扇門.