吳立春，倪志輝

(1.重慶第二師范學(xué)院，重慶400067;2.重慶交通大學(xué)西南水運(yùn)工程科學(xué)研究所，重慶400016)

近年來，一些研究已經(jīng)初步證明了水系分形性質(zhì)的存在。陳彥光，等［1］探討了水系分維計(jì)算方法的差異;姜永清，等［2］分析了黃土高原水系horton級(jí)比數(shù)和分形特征;朱曉華，等［3-5］應(yīng)用網(wǎng)格法計(jì)算并探討了中國(guó)水系的盒維數(shù)及其關(guān)系，中國(guó)不同區(qū)域水系分維與山系、斷層系分維的關(guān)系;李后強(qiáng)，等［6］曾導(dǎo)出水系分形維數(shù)與水系級(jí)別的關(guān)系;王秀春，等［7］運(yùn)用GIS模擬計(jì)算徑河流域的分維特征并分析其生態(tài)意義;馬宗偉，等［8］認(rèn)為河流水系形態(tài)特征可以通過河流的分形特征來反映;倪志輝，等［9］基于分形理論對(duì)水流摻混長(zhǎng)度進(jìn)行了計(jì)算分析。

目前針對(duì)長(zhǎng)江重慶主城段長(zhǎng)度的分形特征的研究還很少，并且還處于理論探索分析階段。而重慶位于長(zhǎng)江上游，地理位置優(yōu)越，戰(zhàn)略地位重要，水系發(fā)達(dá)，港口密布，是長(zhǎng)江上游最大的港口城市。因此，長(zhǎng)江重慶段長(zhǎng)度分維數(shù)的測(cè)量可充分發(fā)揮長(zhǎng)江“黃金水道”作用，將更好的發(fā)揮重慶的水運(yùn)優(yōu)勢(shì)，具有重要的戰(zhàn)略和現(xiàn)實(shí)意義。筆者主要研究長(zhǎng)江重慶主城段河流長(zhǎng)度的分形維數(shù)及其與洪水的關(guān)系。

1 研究方法

1.1 分形模型的建立

按照 Mandelbrot［10］的定義，分形是指其組成部分以某種方式與整體相似的形體。分形分布滿足式(1)關(guān)系式:

式中:s為歐氏長(zhǎng)度;y為度量尺碼;D為分形維數(shù);A為一個(gè)比例常數(shù)。

對(duì)式(1)兩端取自然對(duì)數(shù)，得:

再把lns和lny分別繪于xy軸的坐標(biāo)上，用最小二乘法來擬合該直線，它的斜率取 -D。這樣可以求出它的分維值D。

一般情況下D為常數(shù)，這種分形可稱為常維分形。若D與特征線度呈函數(shù)關(guān)系，則稱之為變維分形。事實(shí)上，自然界中嚴(yán)格滿足常維分形形式的現(xiàn)象是不存在的，大量的復(fù)雜現(xiàn)象需用變維分形來描述。

筆者采用由累計(jì)和序列獲得的分維模型，稱為“累計(jì)和分形”［11-12］。該方法是:對(duì)于任意函數(shù)關(guān)系u=f(y)都可以轉(zhuǎn)換成為常維分形u=Ay-D的形式，也就是將數(shù)據(jù)進(jìn)行一系列地變換，使變換后的數(shù)據(jù)能用常維分形來處理，即通過構(gòu)造1階、2階、3階…累計(jì)和序列分別建立各階累計(jì)和的分段變維分形模型，最后選擇效果最好的變換并確定其相應(yīng)的常維分形參數(shù)。

該方法的具體步驟如下:

1)確定原始數(shù)據(jù)對(duì)(Ni，ri)，其中按r從小到大的順序排列，i=1，2，…，n。這些數(shù)據(jù)對(duì)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)上是一個(gè)個(gè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)，利用式(3)計(jì)算相鄰兩點(diǎn)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中所連接線段的斜率的相反數(shù)，即分段變維的分維數(shù)Di，i+1，這些分維數(shù)一般變化較大，沒有規(guī)律。

2)構(gòu)造各階累計(jì)和。以(N1，N2，N3，…)等為基本序列，按下面的規(guī)則構(gòu)造各階累計(jì)和:

式中:S1，S2，S3，…為指 1，2，3，…，n 累計(jì)和序列;N=1，2，3，…，n。

3)建立各階累計(jì)和的分段變維分形模型。以一階累計(jì)和為例，利用式(4)計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)(S1i，ri)和(S1i+1，ri+1)，及在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中的斜率的相反數(shù)D1i，i+1，即一階累計(jì)和的分段變維分形的分維數(shù)。根據(jù)n個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)，可以得到n-1條線段的分段變維分形的分維數(shù)，稱之為分維數(shù)序列。用DNi，i+1表示N階累計(jì)和的分段變維分形的分維數(shù)序列，N=1，2，…，n;i=1，2，…，n-1。

4)確定效果較好的變換并確定相應(yīng)的常維分形參數(shù)。

1.2 分形維數(shù)的計(jì)算

筆者采用實(shí)測(cè)的2007年長(zhǎng)江重慶段地形圖為資料(圖1)。

按照式(2)進(jìn)行分析計(jì)算，得雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)(圖2)，可以看出，數(shù)據(jù)點(diǎn)明顯不是直線，說明長(zhǎng)江重慶段河流長(zhǎng)度呈變維分形關(guān)系。因此，必須對(duì)其進(jìn)行變換處理，建立變維分形模型。故筆者采用累計(jì)和變維分形方法計(jì)算，左岸計(jì)算過程見表1。

圖2 長(zhǎng)江重慶主城段原始分段分維序列Fig.2 The original sub-dimensional fractal sequence of Chongqing city of Yangtze Rive

表1 長(zhǎng)江重慶主城段左岸分段變維維數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 1 Result of sub-dimensional fractal dimension of Chongqing city of Yangtze River left bank

右岸計(jì)算過程同左岸，相關(guān)計(jì)算結(jié)果見表2及圖3。

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)直線相關(guān)方程及2階累計(jì)和分維值計(jì)算結(jié)果Table 2 The second-order accumulated fractal dimension of the measured

圖3 長(zhǎng)江重慶段2階累計(jì)和分段分維序列Fig.3 Second-order accumulated variable-dimensional fractal sequence of Chongqing city of Yangtze River

從圖3可明顯看出，通過2階累計(jì)和分維變換后，數(shù)據(jù)點(diǎn)與直線吻合得很好，說明長(zhǎng)江重慶段河流分維呈2階累計(jì)和分形關(guān)系。經(jīng)計(jì)算，左岸分維值 D2=-1.049 5，相關(guān)系數(shù) R=0.999 7，右岸分維值 D2=-1.087 5，相關(guān)系數(shù) R=0.999 4。由此可得出，長(zhǎng)江重慶主城段河流長(zhǎng)度具有二階分維特性。

2 長(zhǎng)江重慶段河流分形維數(shù)與洪水的關(guān)系

河流長(zhǎng)度的分維反映了河道彎曲程度的大小［13］，河流長(zhǎng)度的分形維數(shù)越大，河流越蜿蜒曲折;反之，河流越平直。對(duì)一條河流來講，不同河段的彎曲程度是不同的，河流長(zhǎng)度的分維值也是不同的;就洪水來說，不同河段發(fā)生洪水的可能性、洪水的強(qiáng)度是不同的。因此，計(jì)算整個(gè)河段長(zhǎng)度的分維值意義不大，應(yīng)該把河流分段，計(jì)算出不同河段的分維值，找出各河段分維值與洪水間的關(guān)聯(lián)。

從定性上分析，河流各河段洪水發(fā)生的可能性和各河段長(zhǎng)度的分維有一定的關(guān)聯(lián)性。河段越曲折，河段長(zhǎng)度的分維值越大，河流的泄洪能力越差，洪水發(fā)生的可能性和洪水的強(qiáng)度越大。為了從定量上分析河段長(zhǎng)度分維與洪水的關(guān)系，筆者將以長(zhǎng)江重慶主城段河道為例，通過定量計(jì)算河流長(zhǎng)度分維與統(tǒng)計(jì)實(shí)測(cè)水位數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，來探討河流長(zhǎng)度分維與洪水的關(guān)系。

2.1 長(zhǎng)江重慶段河流各河段長(zhǎng)度分形維數(shù)的計(jì)算

筆者將長(zhǎng)江重慶段分為6個(gè)河段:長(zhǎng)江上游—李家沱長(zhǎng)江大橋、李家沱長(zhǎng)江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長(zhǎng)江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長(zhǎng)江大橋、石板坡長(zhǎng)江大橋—大佛寺長(zhǎng)江大橋及大佛寺長(zhǎng)江大橋—長(zhǎng)江下游，并按左、右兩岸分開計(jì)算得到各河段長(zhǎng)度的分形維數(shù)及相關(guān)系數(shù)(表3)。

從表3可以看出，長(zhǎng)江重慶段各河段長(zhǎng)度的分形維數(shù)，其相關(guān)系數(shù)均在98%以上，這說明長(zhǎng)江重慶段河流長(zhǎng)度具有很好的分維特征，得到的分形維數(shù)能夠很好的反映長(zhǎng)江重慶段河道的特征。表3中，李家沱長(zhǎng)江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長(zhǎng)江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長(zhǎng)江大橋3個(gè)河段左岸的分形維數(shù)依次增大，分別為:-1.388 7，-1.030 6，-0.989 0;上述 3 個(gè)右岸河段長(zhǎng)度的分形維數(shù)也依次增大，分別為:-1.451 0，-0.995 6，-0.984 2。分形維數(shù)的大小反應(yīng)了河流彎曲程度大小，分形維數(shù)越大，河流越彎曲，所以可以得到李家沱長(zhǎng)江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長(zhǎng)江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長(zhǎng)江大橋3個(gè)河段河道的彎曲程度越來越大。

表3 長(zhǎng)江分段左右岸實(shí)驗(yàn)計(jì)算結(jié)果Table 3 The Result of Yangtze River left＆right bank

2.2 長(zhǎng)江重慶段河流長(zhǎng)度的分形維數(shù)與洪水關(guān)系

根據(jù)資料計(jì)算出，李家沱長(zhǎng)江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長(zhǎng)江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長(zhǎng)江大橋3個(gè)河段左右兩岸的高水位2階累計(jì)和分維值(表3)。從表中可以得到在同一觀測(cè)站水位越高，分維值越大。參考重慶海關(guān)水文站的水位流量關(guān)系(表4)，可以得出，在同一觀測(cè)站流量越大，水位越高。因此，在同一觀測(cè)站流量越大，水位越高，分維值越大，反過來講，分維值越大，水位越高，并且流量也越大，洪水就表現(xiàn)得越明顯。這正印證了河流各河段洪水發(fā)生的可能性和各河段長(zhǎng)度的分維值之間的關(guān)系:河段越曲折，河段的分維值越大，河流的泄洪能力越差，洪水發(fā)生的可能性和洪水的強(qiáng)度越大。

表5 重慶海關(guān)水位站水位-流量關(guān)系線(黃海高程)Table 5 The water level-discharge line in Chongqing Haiguan station(Yellow Sea Elevation)

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3 結(jié)論

筆者以長(zhǎng)江重慶主城段實(shí)測(cè)資料為例，從分形標(biāo)度的角度出發(fā)去探討河道的分形特征。研究結(jié)果表明:

1)長(zhǎng)江重慶主河段存在變維分形現(xiàn)象，具有2階分維特性，左岸分維值為-1.049 5，右岸分維值為 -1.087 5。

2)分維數(shù)可以反映河道的彎曲程度，李家沱長(zhǎng)江大橋—鵝公巖大橋、鵝公巖長(zhǎng)江大橋—菜園壩大橋、菜園壩大橋—石板坡長(zhǎng)江大橋3個(gè)河段的分維數(shù)依次增大，河道的彎曲程度也依次增大。

3)在同一河段分維值越大水位越高，洪水就越表現(xiàn)明顯。因此，河道的分形維數(shù)可以作為洪水預(yù)測(cè)的一個(gè)定量指標(biāo)，河道的分形維數(shù)越大，洪水發(fā)生的可能性越大。但是，由于影響洪水產(chǎn)生的因素很多，如水位、含沙量等，所以河道的分形維數(shù)只能作為預(yù)測(cè)洪水的指標(biāo)之一，應(yīng)該找出更多的預(yù)測(cè)指標(biāo)來更快、更準(zhǔn)的預(yù)測(cè)洪水的發(fā)生。

［1］陳彥光，劉繼生.水系結(jié)構(gòu)的分形與分維——Horton水系定律的模型重建及其參數(shù)分析［J］.地球科學(xué)進(jìn)展，2001，16(2):178-183.Chen Yanguang，Liu Jisheng.Fractals and fractal dimensions of structure of river systems:Models reconstruction and parameters interpretation of Horton＇s laws of network composition［J］.Advances in Earth Sciences，2001，16(2):178-183.

［2］姜永清，邵明安，李占斌，等.黃土高原水系的Horton級(jí)比數(shù)和分形特征［J］.山地學(xué)報(bào)，2002，20(2):206-211 .Jiang Yongqing，Shao Mingan，Li Zhanbin，et al.Hortons order ratios of water course network of drainage basin and their fractal characters in the loess plateau［J］.Journal of Mountain Research，2002，20(2):206-211.

［3］朱曉華，蔡運(yùn)龍.中國(guó)水系的盒維數(shù)及其關(guān)系［J］.水科學(xué)進(jìn)展，2003，14(6):731-736.Zhu Xiaohua，Cai Yunlong.The box dimensions of the relationship of the Chinese River［J］.Advances in Water Science，2003，14(6):731-736.

［4］朱曉華，蔡運(yùn)龍.中國(guó)大陸山系、斷層系與水系的空間維數(shù)及其關(guān)系探討［J］.山地學(xué)報(bào).2003，21(3):311-317.Zhu Xiaohua，Cai Yunlong.Spatial dimensions of the relationship between Chinese mainland mountain ranges，fault systems and water systems and their comparative study［J］.Journal of Mountain Research，2003，21(3):311-317.

［5］Zhu Xiaohua.Coastline fractal dimension methods and their comparative study［J］.Journal of Oceanography of Huanghai＆ Bohai Seas，2002，20(2):31-36.

［6］李后強(qiáng)，程光鋪.分形與分維［M］.成都:四川教育出版社，1990:1-10.

［7］王秀春，吳姍，畢曉麗，等.徑河流域水系分維特征及其生態(tài)意義［J］.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，40(3):364-368.Wang Xiuchun，Wu Shan，Bi Xiaoli，et al.Characteristics of fractal dimension on diameter river basin water system and ecological significance［J］.Journal of Beijing Normal University:Natural Science，2004，40(3):364-368.

［8］馬宗偉，許有鵬，李嘉峻.河流形態(tài)的分維及與洪水關(guān)系的探討［J］.水科學(xué)進(jìn)展，2005，16(4):531-534.Ma Zongwei，Xu Youpeng，Li Jiajun.The fractal dimension of river morphology and flood discussion［J］.Advances in Water Science，2005，16(4):531-534.

［9］倪志輝，吳立春，舒小紅.基于分形理論的挾沙水流混摻長(zhǎng)度分析［J］.人民黃河，2009，31(9):32-33.Ni Zhihui，Wu Lichun，Shu Xiaohong.The mixed length of the sediment-laden flow based on fractal theory［J］.Yellow River，2009，31(9):32-33.

［10］Mandelbrot B B.How long is the coast of Britain?Statisticalselfsimilarity and fractional dimension［J］.Science，1967，156(3775):636-638.

［11］倪志輝.長(zhǎng)江黃河垂線流速分布的分形研究［J］.人民長(zhǎng)江，2008，39(18):17-19.Ni Zhihui.Fractal study on the vertical distribution in Yangtze River and Yellow River［J］.Yangtze River，2008，39(18):17-19.

［12］倪志輝，張緒進(jìn)，胥潤(rùn)生.長(zhǎng)江黃河含沙量垂線分布的分形研究［J］.人民長(zhǎng)江，2011，42(19):73-76.Ni Zhihui，Zhang Xujin，Xu Runsheng.Fractal study on the vertical concentration distribution of sediment flow in Yangtze River and Yellow River［J］.Yangtze River，2011，42(19):73-76.

［13］馮平，馮焱.河流形態(tài)特征的分維計(jì)算方法［J］.地理學(xué)報(bào)，1997，52(4):324-330.Feng Ping，F(xiàn)eng Yan.Fractal dimension calculation method of morphological.characteristics in rivers.Journal of Geography，1997，52(4):324-330.