王洪虎，魏國遠(yuǎn)，王家生，閔鳳陽

(長江科學(xué)院河流研究所武漢430010)

1 研究背景

泥沙在水流作用下的沖刷、懸浮、輸移、沉積規(guī)律是河流動力學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，對分析河床演變趨勢、河道治理具有重要意義［1］，泥沙的級配分布是進(jìn)行河床演變、沖淤計(jì)算、模型設(shè)計(jì)等問題研究中的基本參變量。由于寬級配泥沙群體組成不均勻程度較高，不同粒徑的泥沙顆粒運(yùn)動特性不同，且大顆粒泥沙對小顆粒泥沙存在隱蔽效應(yīng)，影響著沖刷過程中細(xì)沙的輸移。中值粒徑及不均勻系數(shù)(多為2種特征粒徑的組合)在描述顆粒級配時存在一定的局限性，級配曲線的描述相對繁瑣且不能量化。

作為一種新的數(shù)學(xué)工具，分形理論很快被應(yīng)用于定量描述顆粒的群體組成特性，并逐漸向河流泥沙研究的領(lǐng)域發(fā)展。趙輝［2］等以武水流域天然河道的53次降雨徑流輸沙過程實(shí)測資料為基礎(chǔ)，分析了泥沙顆粒的級配特性及其分形規(guī)律。王協(xié)康［3］等針對過去床沙粗化試驗(yàn)中依據(jù)推移質(zhì)輸沙量確定粗化穩(wěn)定的不足，利用分維測度提出了2種新的判別方法，即通過計(jì)算分析粗化層及推移質(zhì)級配分維值穩(wěn)定程度而加以識別。武生智［4］等用Weibul1分布模型分析研究沙粒粒徑分布的規(guī)律。對于河流系統(tǒng)中的水流、泥沙運(yùn)動與河床演變等具有自組織相似性(分形)的特性也已經(jīng)得到了廣大學(xué)者的認(rèn)可［5－13］，用分維數(shù)來描述泥沙粒徑分布已顯得更為簡潔和科學(xué)。本文針對寬級配泥沙的分形特性，基于泥沙級配分形維數(shù)，通過多組次的天然沙水槽沖刷試驗(yàn)，研究寬級配泥沙粒徑組成的分形特征，并分析不同流速、不同級配的床沙和推移質(zhì)在不同水流條件下的粒度分維變化，以得出寬級配泥沙的分形特性及其輸移規(guī)律。

2 試驗(yàn)概況

2.1 試驗(yàn)設(shè)備

試驗(yàn)設(shè)備由流量調(diào)節(jié)系統(tǒng)、水流循環(huán)系統(tǒng)、量測及其輔助設(shè)備組成。采用變頻供水控制與計(jì)算機(jī)控制技術(shù)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了變坡、流量、水位的全過程自動控制，尾門水位采用手動尾門和自動尾門雙尾門方式控制，試驗(yàn)水槽布置如圖1所示。

圖1 水槽試驗(yàn)布置簡圖Fig.1 Scheme of the flume test arrangement

2.2 試驗(yàn)?zāi)嗌程匦?/h3>

水槽試驗(yàn)設(shè)計(jì)了3組(A，B，C)不連續(xù)寬級配床沙，1組連續(xù)寬級配床沙(D)，試驗(yàn)設(shè)計(jì)床沙級配曲線見圖2。試驗(yàn)沙采用天然黃沙與卵石配比而成，試驗(yàn)床沙粒徑范圍0.3～30 mm。試驗(yàn)沙粒徑特征參數(shù)見表1，試驗(yàn)沙中值粒徑范圍為3.0 ～16.2 mm。

圖2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)床沙級配曲線Fig.2 Designed grading curve of bed material for the test

表1 水槽試驗(yàn)沙特征參數(shù)Table 1 Characteristic parameters of sediment for the flume test

2.3 試驗(yàn)組次及樣品收集

試驗(yàn)根據(jù)天然沙粒徑組成不同分為A，B，C，D 4個系列，又根據(jù)流量水位不同細(xì)分為A1，A2，A3，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，D1，D2，D3 共 13 組試驗(yàn)，試驗(yàn)組次具體見表2。水槽進(jìn)口鋪長為3m卵石過渡段，卵石粒徑20 mm，試驗(yàn)鋪沙段長21 m，鋪沙厚度6 cm。每組試驗(yàn)，分別在試驗(yàn)開始前和粗化穩(wěn)定后取床沙樣品，定義為初始床沙和末床沙。試驗(yàn)中按一定的時間間隔在槽尾收沙孔處收取推移質(zhì)沙樣，粗化完成后在距水槽尾部約5 m處對床沙進(jìn)行取樣，取樣深度為4 cm，取樣平面尺寸為20 cm×30 cm，將所取沙樣烘干稱重并進(jìn)行級配分析。

表2 試驗(yàn)組次參數(shù)表Table 2 Parameters of different test groups

試驗(yàn)對比了不同流速及不同級配條件下泥沙樣品的分維值變化，這些組次的對比克服了樣品數(shù)量的不足，使得泥沙粒度分形的對比在范圍上得到一定的豐富，同時多組次泥沙樣品的分析也增加了分維值的可靠性。

3 分形分維計(jì)算

3.1 分維值計(jì)算方法

分形(Fractal)是用來描述那些表面看來雜亂無章、變幻莫測而實(shí)質(zhì)上潛在有某種內(nèi)在規(guī)律的幾何圖形或形狀。自然界很多事物的現(xiàn)象在不同尺度上具有相同程度的不規(guī)則性和復(fù)雜性，即自相似性。將這種具有自相似性且有特征長度的圖形稱為分形。描述分形的一個重要參數(shù)是分形維數(shù)，簡稱分維［3］。

泥沙級配是對特定水沙條件及地理?xiàng)l件下形成的混合物的一種量度，其粒度組成是一種沒有特征長度的結(jié)構(gòu)圖形，其分形是建立在一種統(tǒng)計(jì)分布上的，也就是說具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性。根據(jù)分形理論［14］，如果分形存在，則有關(guān)系式

式中:r為顆粒體積的立方根;N(r)表示粒徑大于r的顆粒數(shù)目;D為分維數(shù)。對式(1)求導(dǎo)，可得

在常規(guī)粒度分析中，常用質(zhì)量百分含量累積曲線來反映粒徑級配，由顆粒粒徑大小與頻度的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系——Weibull分布，可得

式中:m(r)為直徑小于r的顆粒累積質(zhì)量;m為總質(zhì)量;α為比例系數(shù);b為冪指數(shù)。對此式求導(dǎo)則有

在假定顆粒密度不變的情況下，顆粒的質(zhì)量與其直徑的立方成正比，即頻度的增量與質(zhì)量的增量滿足以下關(guān)系:

經(jīng)過變量代換，得

所以粒度的分維數(shù)為 D=3－b。這樣，只要在m(r)/m與r的雙對數(shù)坐標(biāo)圖上找出直線段的斜率b值，就可以求得粒度的分維值，圖3為B系列床沙的粒度分維曲線。

3.2 床沙分維值計(jì)算

圖3 B系列床沙粒度分維曲線圖Fig.3 Curves of granularity fractal dimensions of class B bed material

根據(jù)分形理論，以采得的床沙樣品的級配曲線為數(shù)據(jù)源做直線擬合計(jì)算，即可獲得相應(yīng)的床沙分維值及其相關(guān)系數(shù)。本文分別對不同流速下的多組水流試驗(yàn)的初始床沙和末床沙進(jìn)行了分維值計(jì)算，由于篇幅所限，僅列出B系列床沙粒度分維曲線，如圖3所示，其中同系列不同組的初始床沙相同，計(jì)算得各組床沙的分維值，如表3所示。

表3 床沙粒度分維表Table 3 Granularity fractal dimensions of bed materials

由表3可以看出，各組床沙分維值所對應(yīng)相關(guān)系數(shù)都在0.87以上，多數(shù)在0.92以上，D系列則高達(dá)0.984。由此表明，床沙粒徑分布具有統(tǒng)計(jì)自相似性，即分形特性。各系列床沙分維值范圍為2.40～2.71，但差異明顯:A，B，C系列非連續(xù)級配床沙分維值相對較大，而D系列連續(xù)級配床沙分維值相對較小。非連續(xù)級配A，B，C之間，當(dāng)細(xì)沙所占比例較大時床沙分維值相對較大，細(xì)沙所占比例較小時床沙分維值相對較小，且所有初始床沙分維值大于末床沙分維值，這是由于床沙粗化后，細(xì)沙被水流沖走后占床沙的比例變小，大粒徑卵礫石成為床沙主要組成部分，導(dǎo)致粒度分維曲線圖“上揚(yáng)”，b值增大，分維值減小。由此可推得，在非連續(xù)寬級配泥沙中，隨著細(xì)沙所占比例的增大，分維值逐漸變大。

3.3 推移質(zhì)分維值計(jì)算

根據(jù)分形理論，用相同方法進(jìn)一步算出不同組次各推移質(zhì)泥沙樣品分維值及其所對應(yīng)相關(guān)系數(shù)，列出了C和D系列推移質(zhì)典型代表的粒度分維曲線，以顯示連續(xù)級配與非連續(xù)級配樣品粒度分維曲線的差異，如圖4所示。將算得的各推移質(zhì)分維值及其所對應(yīng)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如表4所示。

圖4 推移質(zhì)典型樣品粒度分維曲線圖Fig.4 Curves of granularity fractal dimensions of typical bed load

由表4可以看出，各組次推移質(zhì)樣品粒度分維值所對應(yīng)相關(guān)系數(shù)平均值在0.8以上，D1的平均值高達(dá)0.98，由此表明推移質(zhì)粒度組成具有分形結(jié)構(gòu)，即具有統(tǒng)計(jì)自相似性。A，B，C系列樣品分維值所對應(yīng)相關(guān)系數(shù)相對較小，而D系列樣品分維值對應(yīng)相關(guān)系數(shù)相對較大，這是由于A，B，C系列樣品粒徑組成為非連續(xù)型級配，級配曲線呈“躺椅型”，中間缺失的粒徑形成“平臺”，導(dǎo)致擬合時相關(guān)度偏低的原因。綜合來看，各組次推移質(zhì)樣品分維值在1.6～2.9之間，但差異明顯:連續(xù)型級配D系列樣品分維值平均值相對較大，而非連續(xù)型級配A，B，C系列樣品分維值平均值相對較小。

表4 推移質(zhì)粒度分維表Table 4 Granularity fractal dimensions of bed load

4 分維值變化規(guī)律

4.1 床沙分維值與流速的關(guān)系

在對床沙和推移質(zhì)分維值計(jì)算的基礎(chǔ)之上，本文進(jìn)一步探尋了床沙沖刷流速與沖刷達(dá)到粗化穩(wěn)定后床沙分維值之間的內(nèi)在聯(lián)系。由于設(shè)計(jì)試驗(yàn)沙級配范圍較寬，A，B，C 3組床沙缺失粒徑范圍較大，當(dāng)水流速度較小時僅能起動細(xì)沙，無法觀測到部分卵石的運(yùn)動情況，為了能同時觀察到細(xì)沙與卵石的起動輸移情況，對細(xì)沙與卵石相互影響關(guān)系進(jìn)行分析，故試驗(yàn)設(shè)計(jì)沖刷流速較大。根據(jù)泥沙起動流速公式計(jì)算得相應(yīng)粒徑卵石起動流速，結(jié)合試驗(yàn)實(shí)際情況設(shè)計(jì)試驗(yàn)流速范圍為0.512～1.05 m/s，具體參見圖5和表5。

圖5 床沙粒度分維值與流速關(guān)系圖Fig.5 Granularity fractal dimensions of bed material vs.flow velocity

由圖5和表5可以看出，隨著流速增大非連續(xù)級配A，B，C系列末床沙分維值逐漸變小，而連續(xù)級配D系列末床沙分維值逐漸變大。在2.2中已經(jīng)說明了非連續(xù)寬級配床沙的變化規(guī)律是由于床沙粗化后細(xì)沙所占比例減小，使得粒度分維曲線尾部“上揚(yáng)”導(dǎo)致的分維值變小。對于非連續(xù)寬級配床沙，隨著流速的增大，粗化更加完全，所以粗化后細(xì)顆粒泥沙所占比例逐漸減小，使得分維值逐漸減小;對于連續(xù)寬級配床沙，隨著流速的增大，細(xì)顆粒泥沙被沖走后，使得中間粒徑段的比例增大，而大顆粒卵石比例并沒有大的變化，使得粒度分維曲線中間段“翹起”，b值減小，分維值變大。

表5 床沙分維值與流速關(guān)系表Table 5 Granularity fractal dimensions of bed material vs.flow velocity

4.2 推移質(zhì)分維值與中值粒徑的關(guān)系

將計(jì)算出的各組推移質(zhì)分維值與其所對應(yīng)的中值粒徑作成散點(diǎn)圖，并擬合計(jì)算出兩者之間的關(guān)系式，圖6列出了幾組典型推移質(zhì)分維值與其所對應(yīng)中值粒徑的關(guān)系圖。

圖6 推移質(zhì)粒度分維值與中值粒徑關(guān)系圖Fig.6 Granularity fractal dimensions of bed load vs.median diameter

由圖6可以看出，推移質(zhì)泥沙粒度分維值與中值粒徑擬合的相關(guān)系數(shù)R高達(dá)0.977，二者存在顯著的負(fù)相關(guān)性，即隨著中值粒徑的減小，分維值逐漸增大，雖然不同樣品系列具體的關(guān)系式不同，但兩者之間的負(fù)相關(guān)關(guān)系沒有改變。由于數(shù)量有限，要得出具體的變化規(guī)律還有待進(jìn)一步的深入研究，但是兩者線性關(guān)系的存在，為將來分維值作為泥沙粒度的一個參數(shù)應(yīng)用到泥沙領(lǐng)域的研究中提供了一定的依據(jù)。

5 結(jié)論

(1)床沙和推移質(zhì)粒徑組成具有明顯的統(tǒng)計(jì)自相似性，即具有分形性結(jié)構(gòu)的特征，但相關(guān)性的程度有所不同;連續(xù)型級配與非連續(xù)級配分維值具體變化規(guī)律不同。

(2)不同流速的床沙分維值存在明顯差異，隨著流速增大，非連續(xù)級配床沙粒度分維值逐漸變小，而連續(xù)級配床沙粒度分維值逐漸變大，且初始床沙粒度分維值比末床沙粒度分維值大。

(3)推移質(zhì)粒度分維值與其對應(yīng)的中值粒徑之間存在顯著的負(fù)相關(guān)性。

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