摘 要： 波利亞的“解題理論”體現(xiàn)了他對(duì)解題方法及解題思維過(guò)程的深刻研究，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，推動(dòng)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育都有著重要的啟示作用。
　　關(guān)鍵詞： 波利亞 解題思想 學(xué)習(xí)習(xí)慣 創(chuàng)新意識(shí)
　　
　　解題是數(shù)學(xué)的核心，是創(chuàng)造性思維方法學(xué)研究中不可缺的課題，中外許多學(xué)者在解題理論和解題訓(xùn)練，特別是創(chuàng)造性解題訓(xùn)練方面都作出許多貢獻(xiàn)，其中最為突出的代表就要數(shù)波利亞了。
　　喬治·波利亞（1887—1985）美籍匈牙利人，20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家，年輕時(shí)期于布達(dá)佩斯、維也納、格廷根、巴黎等地攻讀數(shù)學(xué)、物理、哲學(xué)。1912年于布達(dá)佩斯大學(xué)獲哲學(xué)博士學(xué)位，1914年在蘇黎世著名的瑞士聯(lián)邦理工學(xué)院任教，1940年移居美國(guó)，自1942年起一直擔(dān)任美國(guó)斯坦福大學(xué)教授。波利亞十分熱心教育，重視從小培養(yǎng)學(xué)生的理解能力和解題能力。他致力于解題研究，為了回答“一個(gè)好的解法是如何想出來(lái)的”這一令人困惑的問(wèn)題，他專門研究了解題的思維過(guò)程，并把研究結(jié)果寫成《怎樣解題》一書。
　　1.波利亞“解題表”的主要思想
　　《怎樣解題》的中心思想即談解題過(guò)程中怎樣誘發(fā)靈感，具體核心部分就是他分解解題的思維過(guò)程得到的“怎樣解題表”，這張表給出了一個(gè)完整的解題過(guò)程一般包含的四大步驟［１］。
　　1.1弄清問(wèn)題。
　　弄清問(wèn)題即審題，是解題的基礎(chǔ)。因?yàn)橹挥姓_理解了題意，才能正確地樹(shù)立解題的思維方法，找出解題途徑。在這一步，解題者必須了解問(wèn)題的文字?jǐn)⑹?，弄清題目的已知條件是什么，未知條件是什么，題目要求的是什么。然后通過(guò)觀察、分析、畫圖等把文字、圖形、符號(hào)等發(fā)出的信息正確的接收下來(lái)，把條件的各個(gè)部分分開(kāi)，充分挖掘題設(shè)的內(nèi)涵，判清題型，審清問(wèn)題。
　　1.2擬訂計(jì)劃。
　　擬訂計(jì)劃即探索解題的途徑，這是解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。當(dāng)我們審清了問(wèn)題之后，熟悉的問(wèn)題有一定的解題套路，不需要太多的思考，而對(duì)于不熟悉的題目，千萬(wàn)不要急于動(dòng)筆演算，而是要在頭腦中從整體上設(shè)計(jì)好一個(gè)解題思路，稍進(jìn)一步的問(wèn)題，需要有一點(diǎn)變化。正如波利亞表中所說(shuō)：你是否見(jiàn)過(guò)形式上稍有不同的題目？你是否知道與此有關(guān)的題目？是否知道用得上的定義、定理、公式等？是否可以引進(jìn)輔助元素？是否可以先解一個(gè)有關(guān)的或較容易的、較一般的題目?
　　總之，一個(gè)正確的解題思路的形成過(guò)程是復(fù)雜的，它涉及解題者的知識(shí)因素、解題經(jīng)驗(yàn)和解題能力。不過(guò)，從思維角度看，都是按照由果索因或由因?qū)ЧM(jìn)行的。
　　1.3實(shí)現(xiàn)計(jì)劃。
　　解題的核心即實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，就是根據(jù)所探索的思路付諸行動(dòng)。在解題過(guò)程中，這一步是相對(duì)容易的。如果計(jì)劃擬訂完善，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃往往是做一些機(jī)械性的計(jì)算。但計(jì)劃往往是不完善的，所以往往又需要回到上一步，出現(xiàn)一些反復(fù)。另外，計(jì)算或操作過(guò)程中也會(huì)存在某些困難，甚至?xí)龅诫y以逾越的困難，這時(shí)原來(lái)的計(jì)劃就必須推翻重來(lái)，此時(shí)所需要的主要就是解題者的耐心。解題方案給出了一個(gè)解題的總體框架，我們必須耐心地對(duì)每一步進(jìn)行嚴(yán)格推導(dǎo)和計(jì)算，確保每一步的細(xì)節(jié)都是正確的，必須考慮問(wèn)題的所有條件，步步有理有據(jù)、簡(jiǎn)明、規(guī)范地把解決問(wèn)題的全過(guò)程完整地表達(dá)出來(lái)。
　　1.4檢驗(yàn)回顧。
　　檢驗(yàn)回顧是解題的魅力所在。這一步相當(dāng)于我們平日解題所說(shuō)的“驗(yàn)算”，但比單純的驗(yàn)算內(nèi)容更豐富，意義更深邃。它不只是簡(jiǎn)單地核對(duì)答案，判斷解題是否正確，進(jìn)而找出錯(cuò)誤并予以糾正，而是要用多種方法，從不同的角度去獲得正確的結(jié)果，重要的是對(duì)解題結(jié)果或方法進(jìn)行遷移思考，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，擴(kuò)大解題成果。正如波利亞所說(shuō)：“這是領(lǐng)會(huì)方法的最佳時(shí)機(jī)”，“當(dāng)解題者完成了他的任務(wù)，而且他的體驗(yàn)在頭腦中還是新鮮的時(shí)候，去回顧他所做的一切，可能有利于探索他剛才克服困難的實(shí)質(zhì)。他可以對(duì)自己提出許多有用的問(wèn)題：關(guān)鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我們可以完成得更好些？我為什么沒(méi)有覺(jué)察到這一點(diǎn)？要看出這一點(diǎn)，我必須具備那些知識(shí)？應(yīng)該從什么角度去考慮？這里有沒(méi)有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次遇到類似問(wèn)題時(shí)應(yīng)用？”
　　2.波利亞“解題理論”對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示
　　2.1借助“解題理論”，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣［2］。
　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力最終體現(xiàn)在他的解題能力上，而良好的解題習(xí)慣是走向成功的橋梁。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣呢？我認(rèn)為可從以下幾點(diǎn)做起。
　　2.1.1應(yīng)培養(yǎng)良好的審題習(xí)慣。
　　學(xué)生解題出錯(cuò)或解題感到困難，通常都是由于不認(rèn)真審題或?qū)忣}不清，未弄清題意造成的，相當(dāng)一部分學(xué)生在拿到題目后，匆匆瀏覽完題目后就急于解題，直到解不下去才回頭重讀題目，發(fā)現(xiàn)竟是由于粗心看錯(cuò)了題目條件。要培養(yǎng)良好的審題的習(xí)慣，可分以下幾步走：第一，通讀題目，明確題意；第二，注意挖掘隱含條件；第三，邊審邊記，邊做邊審。
　　2.1.2注意培養(yǎng)一題多解，一題多變的思維習(xí)慣。
　　一題多解就是對(duì)同一道題目分別從不同角度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，求解。這培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，如：已知a+b=1，求證a+b=1，可以運(yùn)用代數(shù)法、三角法、復(fù)數(shù)法、幾何法、基本不等式、引進(jìn)二次函數(shù)等多種方法進(jìn)行求解。一題多變就是指同一題目經(jīng)過(guò)適當(dāng)變化，變換為與原題目?jī)?nèi)容不同，但解法相同或形似的題目，這有利于擴(kuò)大學(xué)生的視野，深化知識(shí)，舉一反三，觸類旁通。如：若p是△ABC的內(nèi)心，∠BPC=100°，求∠A的度數(shù)。把題目中的“內(nèi)心”改為“外心”再求∠A的度數(shù)。
　　2.1.3養(yǎng)成解題后反思的好習(xí)慣。
　　“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”。即使是相當(dāng)優(yōu)秀的學(xué)生，當(dāng)他們得到問(wèn)題的解答，并且條理分明，干凈利落地寫出論證后，也會(huì)合上書本，找點(diǎn)別的事來(lái)做。這種做法，其實(shí)錯(cuò)過(guò)了解題的一個(gè)重要而有益的階段，即通過(guò)回顧完整的解題過(guò)程來(lái)鞏固所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)解題能力。解題是學(xué)好數(shù)學(xué)的必由之路，做題的目的就是為了運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，養(yǎng)成對(duì)自己解題過(guò)程進(jìn)行回顧和反思的習(xí)慣是具有正確解題思想的體現(xiàn)，是提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的有效方法。做題后的反思，不僅僅是簡(jiǎn)單的回顧或檢驗(yàn)，更重要的是要對(duì)解題思路和解題途徑進(jìn)行反思，反思本題所包括的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用的方法，找出哪些是容易出錯(cuò)的地方。另外，也要注意對(duì)一節(jié)一章的方法進(jìn)行反思，積累總結(jié)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，提煉解題方法，揭示其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與規(guī)律。
　　2.2培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維，激發(fā)學(xué)生探索意識(shí)。
　　2.2.1波利亞關(guān)于創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的認(rèn)識(shí)［3］。
　　波利亞認(rèn)為：“任何學(xué)問(wèn)都包括知識(shí)和能力兩個(gè)方面。對(duì)于數(shù)學(xué)，能力比起僅僅具有一些知識(shí)要重要得多，因此，學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力，而不僅僅是傳授知識(shí)?！辈ɡ?/p>