波利亞認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)就是解題教學(xué).這里的“題”其實是“問題”，即在教師的日常教學(xué)與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們自始至終是在逐步地解決問題.而“變式教學(xué)”就是將問題逐步遞進(jìn)、逐步深入，最終解決問題.它既能培養(yǎng)學(xué)生的縱橫聯(lián)系能力，又能提高學(xué)生的發(fā)散思維能力.馬頓從教育的角度提出變式是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，沒有變式就不需要辨別.而學(xué)習(xí)又是源于辨別的，“變式教學(xué)”是數(shù)學(xué)中的引申，推廣在教學(xué)中的訴求.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生要學(xué)習(xí)大量的性質(zhì)定理、判定定理和公式等.以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常常是老師“告訴”學(xué)生，學(xué)生機(jī)械地練習(xí)，很多學(xué)生感到枯燥乏味.要想激發(fā)學(xué)生提出和論證命題的興趣，“變式教學(xué)”成為一個重要的渠道.以下就兩方面分別闡述.

一、概念的變式教學(xué)

數(shù)學(xué)概念的一個基本特征是抽象性，但許多數(shù)學(xué)概念又直接來自具體的感性經(jīng)驗，因此，概念引入教學(xué)的關(guān)鍵是建立感性經(jīng)驗與抽象概念之間的聯(lián)系.而已具備的經(jīng)驗，概念的敘述，以及掌握概念所依據(jù)的變式是學(xué)生掌握概念的主要因素.

以函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)為例.函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)主要有兩個關(guān)鍵：（1）它是針對定義域的某個“區(qū)間”而言；（2）“任意性”.我們在教學(xué)的時候往往可以借助不同的典型的圖形加深學(xué)生對概念的理解.過程如下.

1.如圖為某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖：

觀察上圖，說出氣溫在哪些時間段內(nèi)是升高的？怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫“隨著時間的增多氣溫逐步提高”這一特征？

（在此基礎(chǔ)上，再變化延伸到我們具體的數(shù)學(xué)問題上來，研究幾個重要的基本初等函數(shù).）

2.觀察下列函數(shù)的圖像，指出圖像變化的趨勢.

第一個圖：在R上，y隨著x的增大而增大.第二個圖：在區(qū)間（-∞，1]，y隨著x的增大而減??；在區(qū)間[1，+∞），y隨著x的增大而增大.第三個圖：在區(qū)間（-∞，0），y隨著x的增大而減??；在區(qū)間（0，+∞），y隨著x的增大而減小.

3.總結(jié)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間概念，寫出上面三個圖的單調(diào)區(qū)間.由圖一了解“單調(diào)函數(shù)”；由圖二體會單調(diào)性是針對定義域的某個“區(qū)間”而言；由圖三的單調(diào)區(qū)間不能用“并”（舉反例）加深對“任意性”的理解.

說明：上述過程體現(xiàn)了從特殊到一般的變式思想.采用這種變式，可以使學(xué)生更深刻、更有效地理解概念.

二、習(xí)題的變式教學(xué)

講解習(xí)題時對其進(jìn)行各種引申（如改變條件、改變結(jié)論、一般化等），或一道習(xí)題用多種方法解決，或用一種方法解決多個問題，可以滲透數(shù)學(xué)解題的思想和方法，提高學(xué)生的綜合運(yùn)用能力.“引申”的例題在（二）中已涉及，這里不再舉例.下面舉一個“一題多解”的例子：設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項和為S，且a=12，S>0，S<0.

（1）求公差d的取值范圍；

（2）指出S，S，…，S中哪一個最大，并說明理由.

解：（1）由已知可得不等式組a=a+2d=12S=12a+66d>0S=13a+78d<0，即144+42d>0156+52d<0，∴-

（2）方法一：由d<0，可知數(shù)列{a}是一個遞減數(shù)列.因此在1≤n≤12中必存在一個自然數(shù)n，使得a>0，a<0，此時對應(yīng)的S就是S，S，…，S中的最大值.由于S=6（a+a）>0S=13a<0，于是a<0，a>0，因此S最大.

方法二：由于數(shù)列{a}是一個遞減數(shù)列，解關(guān)于n的不等式組a=a+（n-3）d>0a=a+（n-2）d<0得n<3-n>2-.由-2->2+=5.5，即5.5

方法三：利用等差數(shù)列的前n項和公式，得S=na+d=n+12-dn=n-5-？搖-5-？搖.∵d<0，∴當(dāng)n-5-？搖最小時，S最大.由于-

說明：本題第二問采用了三種不同的方法，殊途同歸.方法一、二主要運(yùn)用了函數(shù)的單調(diào)性思路，結(jié)合了數(shù)列的特征；方法三是運(yùn)用二次函數(shù)最大（?。┲档那蠼馑悸?用不同的方法強(qiáng)化了函數(shù)的解題思想.

總之，變式教學(xué)在教學(xué)實踐中一直被教師自覺和不自覺地應(yīng)用著.在新課程改革的背景下，如何進(jìn)行變式教學(xué)更是教師應(yīng)時刻關(guān)注的問題.通過對于概念、問題的多層次變式構(gòu)造，學(xué)生對概念的形成及問題的解決過程有一個清晰的認(rèn)識，是積累活動經(jīng)驗、提高解決問題能力的一條有效途徑.</