居 津

(江蘇省蘇州實驗中學 江蘇 蘇州 215011)

袁海泉

(蘇州大學物理科學與技術學院 江蘇 蘇州 215006)

單擺模型是高中物理課程中重要的理想模型，它可以聯(lián)系多方面的知識，同時也可以構建各種不同的物理問題．筆者在最近研究大角單擺加速度變化的非線性時，產生了令人驚奇的結果，以下作詳細的說明．

1 繩中張力

如圖1，設單擺初始釋放角度為θ0，擺動過程中某一角度為θ．根據牛頓第二定律，對于θ角處的受力分析如圖1可知

即

(1)

圖1

由機械能守恒關系

(2)

式中h0為初始擺角θ0時擺球離最低點高度，h為擺角θ處的高度，又

h=L(1-cosθ)h0=L(1-cosθ0)

代入式(2)可得

(3)

即

(4)

聯(lián)立式(1)可得

T=mgcosθ+2mg(cosθ-cosθ0)=

mg(3cosθ-2cosθ0)

(5)

當θ=θ0，即單擺位于最高點時，由式(5)知T=mgcosθ0，此時繩中張力最小，

當θ=0，即單擺位于最低點時，由式(5)知T=mg(3-2cosθ0)，此時繩中張力最大．

顯然單擺繩中張力與繩子長度L無關，無論擺球的初始角度如何，張力表達式都相同．

圖2是5個不同的初始擺角(10°,30°,50°,70°,90°)條件下(單擺擺球質量為1 kg)，繩中張力大小T與擺角θ的關系圖．從圖中顯示可以看出，隨著初始擺角的增加，張力T的最小值減小，最大值增大，但是張力的最大值始終出現(xiàn)在擺角θ為零的位置上即最低點，其實這也是最顯而易見的．由此，不禁想到，在單擺擺動過程中的加速度變化規(guī)律是否與繩中張力變化規(guī)律相同呢？這是大家很少討論的問題．

圖2 不同初始擺角時繩中張力與擺角的關系曲線圖

2 單擺的加速度

由圖1可知，單擺的切向加速度aτ和法向加速度an分別為

aτ=gsinθ

(6)

(7)

為了得到加速度a的變化情況，先來討論|a|2(這里從方便運算考慮，可以考察加速度大小的平方)的變化．

|a|2=aτ2+an2=g2sin2θ+

4g2(cos2θ-2cosθcosθ0+cos2θ0)

(8)

即

|a|2=g2(3cos2θ-8cosθcosθ0+4cos2θ0+1)

(9)

為了得到擺球加速度的最值情況，先對式(9)求θ的一次導數(shù)，即

(10)

3 初始擺角小于41.4°

此時僅需考慮第一個sinθ=0的條件，對式(10)再求θ的一次導數(shù)，得

(11)

對式(11)變形可得

(12)

將sinθ=0(即cosθ=1)代入式(12)可得

(13)

式(9)給出了加速度隨擺角θ的變化表達式，為了進一步討論加速度隨時間的變化關系，還需要知道擺角θ隨時間的變化關系．中學物理教材中有單擺運動方程

θ=θ0sin(ωt+φ0)

其中ω為單擺擺動角速度，t為時間，φ0是初始相位，令t=0時，θ=θ0，即

sinφ0=1φ0=90°

則

θ=θ0cos(ωt)

(14)

(15)

再把式(15)簡單代入式(9)，便可得加速度的平方與時間的關系表達式．運用計算機繪圖軟件Gnuplot繪圖.圖3(描繪了擺長L為4 m和周期約4 s)的單擺在不同初始擺角θ0的情況下，加速度a隨運動時間t的變化曲線．圖3(a)顯示了初始角度小于41.4°情況下的加速度數(shù)值，從圖中可以看到不同初始擺角的單擺均在大約1 s和3 s時取到最小值，而在單擺的最初和最后時刻取到各自的最大值，也即在最低點取到最小值而在最大擺角處取到最大值．

圖3 不同初始擺角時a-t曲線

4 初始擺角大于41.4°

當θ=θ0時

|a|2=g2(3cos2θ0-8cos2θ0+4cos2θ0+1)

(16)

當θ=0時

|a|2=g2(3-8cosθ0+4cos2θ0+1)

(17)

令式(16)、(17)兩式相等，得

cosθ0=0.6

即

θ0=53.13°

圖4分別顯示了初始擺角為53.13°和60°的加速度變化曲線．

圖4 不同初始擺角時加速度a隨擺角θ的變化曲線

當θ0=53.13°時， 加速度的兩處極大值大小相等，且為整個擺動中的最大值．而一個單擺從初始角度60°靜止釋放，加速度最大值出現(xiàn)在零度處，而最小值出現(xiàn)在±48°處．至于為什么是±48°，究其原因，根據第二個條件可以很容易得到

即θ=48°恰好與圖表中的顯示的數(shù)據吻合．也就是說對于不同初始擺角大于41.4°的單擺，其最小值則可以根據第二個條件來求得，所以最小值對應的不是固定某個特殊角度．

5 結論

參考文獻

1 宋秀花.簡析大擺幅單擺的運動.河南大學學報(自然科學版)，1995(3)