向 坤，寧連華

（南京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

當(dāng)人們凝視古希臘的數(shù)學(xué)成就時，無不感嘆其思想的精深和奇妙，特別是其在幾何上達到的輝煌高度.雖然記載表明，幾乎所有被考察過的古代人類都或多或少地掌握并運用著幾何知識，但從系統(tǒng)發(fā)展幾何知識的做法和最終影響人類思維方式幾千年之久的結(jié)果來看，古希臘人所做的開創(chuàng)性工作無論如何被褒獎都不為過.其中最引人入勝的內(nèi)容之一便是尺規(guī)作圖，即在只有圓規(guī)和直尺（“尺規(guī)”二字是按習(xí)慣說法譯的，這里的“尺”按其沒有刻度理解，實際應(yīng)是“直邊”）的情況下，通過有限次的使用，來解決不同的平面幾何作圖問題.一直以來，人們都以古希臘人“愛智”為由來看待這一問題——幾何圖形的繁多而復(fù)雜與工具的極為有限（僅兩樣）并被嚴(yán)格限制，使得這一問題艱難但又充滿趣味，這確實激勵著人們在思維的高度上不斷躍進.直到現(xiàn)在，不少學(xué)者和教育家仍將此看作是訓(xùn)練兒童思維的最佳材料.但是，當(dāng)研究者審視數(shù)學(xué)史，以聯(lián)系的觀點來看待尺規(guī)作圖問題，便會對此有新的認(rèn)識，并會從更深的層面來理解數(shù)學(xué)的發(fā)展.

1 古希臘人對“數(shù)”與“形”的認(rèn)識的歷史

1.1 畢達哥拉斯的“萬物皆數(shù)”

早期人類因交換計數(shù)、土地丈量等實際需求開始了對數(shù)學(xué)的認(rèn)識.由于在生活中如此頻繁的使用，人們甚至從來不曾有意識地區(qū)分過算術(shù)和幾何——它們都是如此的直觀和自然.因此，很難講他們的活動具備科學(xué)的性質(zhì)，這一發(fā)展直到古希臘時代才進入新的階段.受希臘民主思辨氛圍的影響，畢達哥拉斯首先“有意識地承認(rèn)并強調(diào)：數(shù)學(xué)上的東西，如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實際事物與實際形象截然不同.”[1]并由此開始思考究竟應(yīng)該以算術(shù)還是以幾何為基礎(chǔ)來研究數(shù)學(xué)問題.通過對天體運行、音樂和諧及前人知識的考察，畢達哥拉斯最終提出了“萬物皆數(shù)”的思想，并將此看成宇宙形成的原則.這一點從他對奇數(shù)、偶數(shù)、平方數(shù)、完全數(shù)等的細(xì)致考察便可證實.正當(dāng)畢達哥拉斯及其門徒沉浸在發(fā)現(xiàn)這一信念的歡愉之中時，他的弟子希帕索斯對不可公度量（即無理數(shù)）的發(fā)現(xiàn)否定了畢達哥拉斯試圖用整數(shù)來窺探宇宙的計劃，后人將這一事件稱為畢達哥拉斯悖論或第一次數(shù)學(xué)危機.

1.2 歐多克斯與“不可公度比”

這一危機使古希臘人深刻地認(rèn)識到兩點.第一，經(jīng)驗是不可靠的.“萬物皆數(shù)”正是經(jīng)驗的產(chǎn)物，這一教訓(xùn)提醒古希臘人尋求更為有效地獲得知識的方法.第二，算術(shù)是不可靠的，幾何才是宇宙的真知，因而幾何自然地成為他們研究的基礎(chǔ).這一觀點因為歐多克斯的工作而變得越來越堅實.歐多克斯引入“量”這一代表諸如線段、角、面積、體積、時間等能夠聯(lián)系變動的東西（不是數(shù)）的概念，然后歐多克斯定義兩個量的比與比例，并由此將可公度比（有理數(shù)）和不可公度比（無理數(shù)）都包括在內(nèi).這一后果便是“硬把數(shù)和幾何截然分開了，因為只有幾何才能處理不可公度比”[1].從另一方面看，這一做法是古希臘人對無理數(shù)的逃避——沒有作出圖來，便不承認(rèn).由此可見，幾何作圖在數(shù)學(xué)家們心中占據(jù)越來越重要的地位了，在他們眼中，“可作出”的量才是“存在”的.關(guān)于此，亞里士多德的警告最能說明問題，他指出一個定義只能告訴人們一件事物是什么，并不說明它存在.如人們可以定義一個圖形——圓方——既是圓的又是方的，但它并不存在.而亞里士多德所采取的用以證明存在的方法就是構(gòu)造[1].自此之后，古希臘人便將其在數(shù)學(xué)上最大的氣力花在幾何方面，尤其是幾何圖形的構(gòu)造問題，因而幾何學(xué)在希臘得到了極大的推進.

1.3 《幾何原本》與尺規(guī)作圖

幾個世紀(jì)后，希臘人已經(jīng)積累了大量零散的幾何知識，歐幾里得在經(jīng)過系統(tǒng)地整理和編排后終于完成了閃耀著人類最高理性光芒的巨著《幾何原本》.當(dāng)人們評價《幾何原本》時，看到的不應(yīng)僅是前人在內(nèi)容上的貢獻.事實上，對于邏輯、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃竦哪ぐ?，歐幾里得與其前輩們也是一脈相承的.這一點從《幾何原本》中以公理、公設(shè)為基礎(chǔ)的論證程序及前3個公理明確承認(rèn)直線和圓的構(gòu)造性，而規(guī)定其他數(shù)學(xué)概念則必須構(gòu)造出來以證明其存在的做法，可以清楚地看出.

至于作圖只限于尺規(guī)一事，歷史上也眾說紛紜.一說希臘人以直線和圓是基本圖形為由，認(rèn)為直尺和圓規(guī)是最佳作圖工具.還有人說柏拉圖反對用其他機械工具，因其過于依賴感覺而拋棄思想，而后者恰是柏拉圖理論的第一性.應(yīng)該看到，公元前5世紀(jì)，人們或許對此限制遵循的并不嚴(yán)格，而歐幾里得公理確實限制只許用尺規(guī)作圖，自他之后，這一限制便嚴(yán)格規(guī)范了.

2 對古希臘人數(shù)學(xué)觀的哲學(xué)思考

綜述歷史可以看出，古希臘人對尺規(guī)作圖的重視反映出了他們對數(shù)學(xué)研究基礎(chǔ)和真理認(rèn)識途徑的深刻思考.

2.1 關(guān)于數(shù)學(xué)本源的爭辯

關(guān)于算術(shù)與幾何究竟哪一個才是數(shù)學(xué)的本源的問題一直未曾離開哲學(xué)家們的視界.直到18世紀(jì)，康德在其《純粹理性批判》中還就“純粹數(shù)學(xué)何以可能？”給出如下解釋：幾何是關(guān)于空間的知識，算術(shù)是關(guān)于時間的知識.由于空間與時間都具有先驗性和直觀性，因此幾何命題和算術(shù)命題都是先天綜合判斷（即絕對的知識——作者注）.這是自人類擁有智慧以來一直秉承的宇宙本體觀的體現(xiàn).不可公度量的發(fā)現(xiàn)使希臘人被迫放棄了整數(shù)至上論而投身幾何的懷抱，這一轉(zhuǎn)變使他們開始直面認(rèn)識論問題，這對后續(xù)哲學(xué)的發(fā)展起到了重要的奠基作用.具體地講，希臘人開始逐漸拋棄直觀經(jīng)驗（雖然這在當(dāng)時是很不徹底的），轉(zhuǎn)而求助演繹邏輯.M·克萊因?qū)Υ嗽u價說：“希臘人對數(shù)學(xué)的最大貢獻是堅持一切數(shù)學(xué)結(jié)果必須根據(jù)明白規(guī)定的公理演繹法推出……證明在數(shù)學(xué)中所處的地位改變了.”[1]正是對演繹邏輯的單純依賴，才使得千百年來數(shù)學(xué)命題始終立于不敗之地.而正是有數(shù)學(xué)作為堅強的后盾，人們才敢于一次次地追問和探尋真理的源泉.正如柏拉圖在《共和國》第Ⅶ篇所說：“幾何會把靈魂引向真理，產(chǎn)生哲學(xué)精神.”

2.2 關(guān)于作圖工具的限制的認(rèn)識

從哲學(xué)的角度看，古希臘學(xué)者將作圖工具限制于直尺和圓規(guī)，很大程度是出于對數(shù)學(xué)美的追求：一方面，柏拉圖認(rèn)為直線和圓是最簡潔、最清楚的圖形，因此只有直線、圓，以及由它們得出的圖形才是最清楚的；另一方面，直線和圓的對稱性反映了部分與部分之間的統(tǒng)一性，而將這種統(tǒng)一性推而廣之，便可探尋到整個宇宙的奧秘.基于此，希臘人力圖把這些思想作為普遍理論來發(fā)展[2]：其中的一大成果便是《幾何原本》反映出的公理化思想——它的誕生和發(fā)展對西方文明產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響.不僅近、現(xiàn)代幾乎所有的數(shù)學(xué)成果正是抓住這一思想才免于滑向懷疑論的泥沼，就連西方的思辨哲學(xué)也因援引公理化的方法才達到令人矚目的高度；另一成果便是希臘人在歷史上留下的兩個任務(wù)：其一是對聲名卓著的三大作圖問題——倍立方體、三等分角和化圓為方的繼續(xù)研究，它們在數(shù)學(xué)發(fā)展中的價值是不容低估的，對它們的研究不僅使古希臘幾何學(xué)（尤其是圓錐曲線和高次曲線理論）有了更進一步的發(fā)展，從后來問題的解決也可看出，它使人們在超越數(shù)理論等純代數(shù)領(lǐng)域也獲得了巨大的前進；其二便是數(shù)學(xué)概念存在的標(biāo)準(zhǔn)問題，隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這一問題已從早期的本體論問題變成了數(shù)學(xué)哲學(xué)認(rèn)識論問題而在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中引發(fā)重大爭論.直覺主義學(xué)派的“存在”等于“被構(gòu)造”思想便可看成是“存在”等于“可作出”思想的發(fā)展.

2.3 古希臘人極力推崇幾何學(xué)對數(shù)學(xué)發(fā)展的阻礙作用

古希臘人對幾何學(xué)極力推崇這一思想的片面性也極大地阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展.這主要表現(xiàn)在：

第一，他們把大部分代數(shù)都化成了幾何.在不可公度量出現(xiàn)及歐多克斯在幾何上構(gòu)造出無理數(shù)后，希臘人便放棄了真正的代數(shù)和無理數(shù)[1].這從他們依賴圖形解方程的做法便可看出，同時，在希臘人那里，數(shù)學(xué)量的命名也往往依據(jù)其幾何意義（如平方、立方等）.而歐幾里得在其《幾何原本》中描述和證明數(shù)學(xué)定理（包括代數(shù)恒等式）也從未離開過幾何作圖.難怪M·克萊因說：在歐多克斯以后的兩千年間，幾何學(xué)變成幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).這一做法的直接后果便是代數(shù)發(fā)展的停滯：不僅古希臘沒有產(chǎn)生較為完備的代數(shù)符號系統(tǒng)（這一點從《幾何原本》中大量論述繁雜的數(shù)學(xué)命題便可看出），甚至15世紀(jì)，有很多數(shù)學(xué)家還認(rèn)為研究三次以上的方程是“荒唐可笑”的，因為它們并不具有明顯的幾何意義[3].這一情況直到文藝復(fù)興后才逐漸有所變化.

第二，由于對幾何圖形的依賴，數(shù)學(xué)家們得出了大量矛盾的結(jié)論.這些結(jié)論都是如此顯然的謬論，但是懷著對演繹推理的堅信而仔細(xì)審查證明過程，又使人們無話可說.其根本原因就是數(shù)學(xué)家們過分相信圖形的直觀，使得那些“絕不可能”變成了“顯而易見”，其中一個最著名的例子便是對“任意三角形都是等腰三角形”的證明.

第三，希帕索斯發(fā)現(xiàn)不可公度比這一事實，突出了使所有希臘數(shù)學(xué)家迫切想要解決的一個難點：離散和連續(xù)的關(guān)系.畢達哥拉斯就曾錯誤地認(rèn)為直線是由有限個點組成的[1]，雖然歐多克斯對此有過修正，他指出：“量跟數(shù)不同，數(shù)是從一個跳到另一個，例如從4到5”，而“量是不定數(shù)值的”，它是“連續(xù)變動的東西”[1].但由于放棄對算術(shù)（代數(shù)）的研究，數(shù)學(xué)家們?nèi)詿o法正確地認(rèn)識連續(xù)和離散，因而當(dāng)芝諾把離散與連續(xù)的關(guān)系惹人注意地擺出來的時候，希臘數(shù)學(xué)家們只能束手無策地看著這一悖論的發(fā)生.事實上，芝諾悖論的提出代表著早期辯證法的萌芽，進一步發(fā)展便可導(dǎo)出有關(guān)極限的理論，但是由于受時代影響，芝諾自身也沒能突破其認(rèn)識的片面性，因而他親手畫的圓不僅困住了同時代的其他學(xué)者，連他自己也沒能逃脫.

3 反思?xì)v史給數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育帶來的啟示

現(xiàn)在，當(dāng)人們再次審視古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展時，或許會得出更為深刻的理解和啟示.

3.1 應(yīng)該正確認(rèn)識無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

由于生產(chǎn)力的極度落后，早期人類對知識的追求往往離不開神話和魔術(shù)[4]，古希臘人首先試圖不依賴宗教信條來理解和闡釋宇宙結(jié)構(gòu)，代表著科學(xué)思想的萌芽，這一邁進在人類文明上有著輝煌的意義，但他們將思想綁縛于形而上學(xué)，又極大地限制了進一步的發(fā)展.無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)使畢達哥拉斯學(xué)派如此惶恐不安的原因就是他們將真理的源泉寄托于“數(shù)”（更確切地說是“整數(shù)”），而“數(shù)”在畢達哥拉斯看來又不僅僅具有抽象的含義，更具有神秘主義的形而上學(xué)意味，因此不少學(xué)者稱無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)給了畢達哥拉斯“致命一擊”[5]，使他的宇宙崩塌了.之后希臘人放棄“數(shù)”而將眼光轉(zhuǎn)向幾何，本質(zhì)上繼續(xù)了宇宙本體論，這也決定了其對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識難以向前邁進.

事實上，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上反映的是客觀實在與人的主觀思維之間的矛盾，是認(rèn)識論，而不是本體論上的問題.“數(shù)”作為客觀現(xiàn)實的抽象，是離散與連續(xù)的統(tǒng)一體，但是由于主觀思維方法上的形而上學(xué)，客觀對象的這種辯證性在認(rèn)識過程中就會遭到歪曲，從而辯證的統(tǒng)一就會變成絕對的對立，如果再將它們機械地重新聯(lián)接起來，對立環(huán)節(jié)的直接沖突就是不可避免的了[3].從這一層面講，掙脫掉盲目的形而上學(xué)的束縛，“矛盾正是對知性的局限性的超越和這種局限性的消解”[6].

3.2 應(yīng)該正確認(rèn)識數(shù)和形的統(tǒng)一性

應(yīng)該看到，盲目崇拜幾何使得古希臘的數(shù)學(xué)走入畸形的發(fā)展道路.這主要表現(xiàn)在：

第一，古希臘算術(shù)（和代數(shù)）沒有獲得長足進步，包括其算術(shù)知識積累的匱乏和代數(shù)基礎(chǔ)的薄弱.一方面，早期畢達哥拉斯學(xué)派對數(shù)的研究使得他們成為數(shù)論發(fā)展的先驅(qū)，但受數(shù)字神秘主義的影響，其研究逐漸偏離了數(shù)學(xué)，最終希帕索斯發(fā)現(xiàn)無理數(shù)而斷送了其對算術(shù)的研究.因而兩個多世紀(jì)后，歐幾里得《幾何原本》中出現(xiàn)的仍只是對畢達哥拉斯學(xué)派結(jié)構(gòu)松散的數(shù)的理論的整理.而由于缺乏較為完備的代數(shù)符號系統(tǒng)，使得這些命題的表述和證明顯得尤為復(fù)雜，《幾何原本》中關(guān)于素數(shù)的理論和性質(zhì)幾乎全部都是用文字?jǐn)⑹龊驼f明的，這使得理論的傳播和研究都受到極大限制.（注意到這與古埃及和古巴比倫文明相比沒有多少進步，人們便會感到極大震驚?。┝硪环矫?，歐多克斯的比例理論雖然部分地解決了無理數(shù)的邏輯基礎(chǔ)（說部分，因為他僅將它建立在幾何的基礎(chǔ)之上而逃避了對其本身的研究），但自此之后數(shù)和形的密切聯(lián)系就被強硬地割裂開來.由于攀附幾何，代數(shù)的理論基礎(chǔ)十分纖弱[2]，因而維克多·卡茲才會稱5個世紀(jì)后丟番圖處理了高于3次的冪是“一個明顯的突破”[7].

第二，代數(shù)與幾何的不協(xié)調(diào)又反過來限制了幾何的發(fā)展.如由于歐幾里得無法給出任意長度乘法的定義，他在《幾何原本》中對“矩形”的說明都顯得含糊，而大量看似重復(fù)或繁雜的命題的出現(xiàn)，也使得后來的學(xué)者對歐幾里得是否真正理解這些命題產(chǎn)生了質(zhì)疑.另一個更加著名的例子便是三大作圖難題，它們的解決也說明了人類限制眼界的代價便是真知的不可得.

事實上，數(shù)學(xué)對象源于客觀現(xiàn)實，“這些材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上掩蓋它起源于外部世界的事實”[8～11]，而真實世界的任何事物都是質(zhì)和量、數(shù)和形的辯證統(tǒng)一，既沒有不具有數(shù)量屬性的“純粹的形”，也沒有不包含任何形的內(nèi)容的“純粹的量”，因此肯定數(shù)和形的統(tǒng)一性就是對現(xiàn)實世界辯證性的承認(rèn).從整個數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，數(shù)的研究和形的研究是互相滲透、互相依賴、彼此不可分割地聯(lián)系在一起的，背離這一原則，試圖通過單純的數(shù)的研究或者單純的形的研究而得到整個數(shù)學(xué)只能是妄想，這一點從現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的討論，特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究中得到證實.

3.3 應(yīng)該辯證看待數(shù)學(xué)發(fā)展與現(xiàn)實需要的相互作用

最后，如果進一步探尋古希臘人對算術(shù)拋棄得如此徹底的原因，就會發(fā)現(xiàn)這與他們脫離現(xiàn)實的高談闊論有著直接的聯(lián)系.M·克萊因曾指出：“古希臘時期享受教育的階級輕視實際事物……有教養(yǎng)的人不關(guān)心實際問題，他們可以在幾何學(xué)里考察所有矩形而不去關(guān)心哪怕一個矩形的實際大小.”[1]正是這樣把數(shù)學(xué)思維同實際需要割裂開來，數(shù)學(xué)家們始終活在他們理念的王國中而沒有感到有去改進算術(shù)方法和代數(shù)方法的壓力，因此他們在躲過了現(xiàn)實對其做出任何拷問的同時，也浪費了無數(shù)個能讓他們的理論獲得修正而邁向更高平臺的機會.

正如研究者一貫堅持的，數(shù)學(xué)的研究來源于客觀現(xiàn)實，最終也要服務(wù)于客觀現(xiàn)實.馬克思說：“人的思維是否具有客觀真理性，這并不是一個理論的問題，而是一個實踐的問題.”因此，數(shù)學(xué)客觀真理性的最有力證據(jù)在于其在真實世界的成功應(yīng)用，同時，現(xiàn)實世界永遠(yuǎn)是理論得以深入發(fā)展的母體所在.當(dāng)數(shù)學(xué)的發(fā)展越來越偏離實際而幽冥不可捉摸時，就是研究者們發(fā)出質(zhì)疑的時候了.

[1]M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想，第一冊[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1979.

[2]中外數(shù)學(xué)史編寫組.外國數(shù)學(xué)簡史[M].濟南：山東教育出版社，1987.

[3]夏基松，鄭毓信.西方數(shù)學(xué)哲學(xué)[M].北京：人民出版社，1986.

[4]斯科特.數(shù)學(xué)史[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2010.

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[6]黑格爾.邏輯學(xué)（上卷）[M].北京：商務(wù)印書館，2009.

[7]Victor J Katz.數(shù)學(xué)史通論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[8]恩格斯.反杜林論（《馬克思恩格斯選集》第三卷）[M].北京：人民出版社，1966.

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