李力 劉承

數(shù)感是一個抽象的概念，很難概括出數(shù)感的具體特征，給人的感覺就是“只能意會不可言傳”。由于數(shù)感的這種特殊性，一些教師也感到數(shù)感作為課堂教學目標不好把握，在這樣的背景下，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（下稱《課程標準（2011年版）》）對2001年開始實施的《課程標準（實驗稿）》中的類似概念給予了清晰的界定。

一、數(shù)感的概述

“數(shù)感”一詞的英文表述為“number sense”，可翻譯為多種意思，如感覺、感官、理念、意識、領悟等。那么，反映在數(shù)學課程中的數(shù)感基本內涵究竟應該如何理解？

1、國內外學者關于數(shù)感的理解

Dantzig（1954）首次提出數(shù)感的概念，認為數(shù)感是對微小數(shù)量變化的一種直覺感受。

德漢尼等人（Dehanene，1997；Gallistel&Gelman，1992）提出人類成人的數(shù)字表征和數(shù)學思維部分是依賴于一種近似的數(shù)量感覺——“數(shù)感”。

桑德（Sowder，1988）把“數(shù)感”定義為一個具有良好組織的概念網(wǎng)絡，它能夠把一個數(shù)字與和它相關的操作具體而有效的連接起來，并以靈活而有創(chuàng)造性的方式解決數(shù)學問題。

臺灣學者楊德清（Yang，2002，2003）把“數(shù)感”表述為：一個人對數(shù)字和運算的一般性的理解，以及處理那些包含數(shù)字的日常生活情景的能力。

大陸學者馬云鵬和史炳星（2002）認為數(shù)感是一種主動地自覺地或自動化地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度與意識，數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學素養(yǎng)，它是建立明確的數(shù)概念和有效地進行計算等數(shù)學活動的基礎，是將數(shù)學與現(xiàn)實問題建立聯(lián)系的橋梁。

2、數(shù)感在《新課程標準（2011年版）》中的表述

《課程標準（2011年版）》的提出：“數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。”

從上述學者以及《課程標準（2011年版）》中關于數(shù)感的概述。筆者認為數(shù)感是透過數(shù)字掌握其背后的具體意義的一種對數(shù)的感悟，是經(jīng)歷運算理解數(shù)的基本特征的一種直覺能力，是在解決問題過程中靈活選取適當方法進行解決的能力。由此可見，數(shù)感是建立在現(xiàn)實生活中的，如：9+2=，當學生遇到這個計算時，就會在腦海中呈現(xiàn)出9個物品和2個物品相加，9個物品加1個物品湊成10個，10再加剩下的1，合起來就是11個物品，也就是說9+2=11；又或者說，將一個蘋果分成兩半，學生可能想到1/2、0.5、50%，這些分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)都是同一個具體情境以數(shù)的形式呈現(xiàn)的不同表示。

二、數(shù)感的要素構成

McIntosh（1992）從數(shù)、運算及兩者產(chǎn)生和作用的情境來探討數(shù)感，并從這三個范疇分別給出數(shù)感的組成成分，在將各成分做了細致的分類后，形成一個有組織的構架圖。

（McIntosh等人，1992）

Hugh Scekett（1993），將數(shù)感定義為一個五成分的數(shù)學能力結構。（見表1）

數(shù)學教育家弗蘭登塔爾將數(shù)的意義分為計數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)和計算的數(shù)幾個方面。可見學生對于數(shù)的意義的理解從計數(shù)開始，到計算結束，貫穿于數(shù)的教學過程的始終，換言之，數(shù)的意義的理解處于數(shù)感培養(yǎng)中的基礎地位，而且在數(shù)的關系、數(shù)的運算及數(shù)的問題解決等后續(xù)層次的教學過程中，也不斷完善學生對數(shù)的意義的理解?！墩n程標準（2011年版）》將這種對數(shù)的感悟歸納為三個方面：數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計。

三、以數(shù)感促進數(shù)學學習

1、巧用數(shù)感激發(fā)學習興趣

《課程標準（2011年版）》中提到：“對數(shù)與數(shù)量建立起來的數(shù)感常常與實際情境關聯(lián)，比如對數(shù)量單位的認識，提起教室的長度，應該想到米，提到兩個城市的距離則應該想到千米。”

【案例】：

在教學二年級上冊《厘米和米的認識》時（本文案例選取課時均出自2002年數(shù)學人教版義務課程標準實驗教科書，下同），我是這樣設計新課時的導入：有一個小朋友寫了一篇日記，請同學們一起來幫他讀一讀：“我叫大雄，我的家有爸爸、媽媽和我三個人，我的身高是95厘米，媽媽的身高是160米，爸爸的身高是1米75厘米，我們一家三口人都喜歡到處旅游。我們曾經(jīng)去過‘小蠻腰，‘小蠻腰是廣州最高的建筑物，有450厘米高；還去過廣州長隆動物園，看到有5米多高的長頸鹿。旅游讓我看到了很多事物，我很喜歡旅游?！弊x完以后，讓同學們思考：“你同意這個小朋友日記里面寫的內容嗎？你有什么話要對他說呢？”這樣，同學們就會質疑日記里面一些與長度有關的數(shù)據(jù)，而這種質疑的產(chǎn)生，是建立在學生已有的數(shù)感基礎上，他們往往對客體的長度與數(shù)有一一對應的感悟，從而引發(fā)學生想更深入了解長度單位的知識。

2、運用數(shù)感培養(yǎng)學生良好數(shù)學素養(yǎng)

數(shù)學素養(yǎng)是指人們通過數(shù)學教育以及自身的實踐和認識活動，所獲得的數(shù)學知識、數(shù)學技能、數(shù)學能力、數(shù)學觀念和數(shù)學思維品質等方面的修養(yǎng)和素質。具有良好數(shù)感的學生，往往在面對現(xiàn)實問題的時候，主動地進行數(shù)學地思考，自動地將現(xiàn)實問題的信息轉化為數(shù)學知識，采用數(shù)學解決問題的方式進行解決。因此，數(shù)感是學生的一種重要的數(shù)學素養(yǎng)。在小學整套2002年人教版數(shù)學教材中，每冊教材都穿插了兩個綜合實踐活動，有意識地利用本冊的數(shù)學概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象以及解決現(xiàn)實世界中的問題。

【案例】：

在三年級上冊綜合實踐活動二《擲一擲》的擲骰子活動中，通過讓學生小組合作，體驗解決“一起擲兩個骰子得到的兩個數(shù)和可能有哪些”的數(shù)學問題的過程。在活動過程中，學生運用了可能性、簡單加減法、統(tǒng)計等的數(shù)學知識，在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，有條理地進行思考并表達自己的思考過程與結果。

通過實踐活動，充分運用學生原有的數(shù)感，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

四、在數(shù)學學習中培養(yǎng)學生數(shù)感

1、通過估算技能的培養(yǎng)促進數(shù)感

“估算”是計算、口算、心算學習后自動生成的派生能力或衍生能力，估算的過程是個體對心算、數(shù)概念、計算技巧等知識重組和運用的復雜過程。《課程標準（2011年版）》提出：估算時數(shù)量單位的正確選擇，在一定程度上反映了學生的數(shù)感。估算的學習和運用，一是選擇恰當?shù)膯挝贿M行估計；二是選擇合適的方法具體操作。數(shù)感和估算的關系如何？從上述數(shù)感的要素構成上來看，數(shù)感包括了估計物體數(shù)量多少和使用參考點進行估計兩個成分，數(shù)感強的學生，估算的意識也會強烈，估算的能力也隨之增強，經(jīng)常進行估算又有利于學生建立良好的數(shù)感。

【案例】：

在二年級下冊學習萬以內數(shù)的認識這一單元的估算時，學生學會了估算的方法，但是估算的意識很薄弱，往往不會主動選擇運用估算的方法解決問題。在課后練習出現(xiàn)這樣的題目：“辦公桌735元，電飯鍋289元，媽媽帶了1000元，買上面這兩樣東西夠錢嗎？”題目呈現(xiàn)三個數(shù)據(jù)，其中1000元是一個整千數(shù)，比較特殊，735+289=是一個三位數(shù)加三位數(shù)的計算，學生還沒有教學過這方面的計算能力，問題是要解決夠不夠錢的問題，因此在這樣的情境下，選擇估算的方法更適合學生的學情，也更方便。為了使得學生更愿意選擇估算的方法，我通過數(shù)軸來教學訓練學生估算的技能，讓學生在剛接觸估算教學的時候，更容易掌握估算的技能。在運用數(shù)軸輔助教學的過程中，學生直觀地發(fā)現(xiàn)一般我們將這些數(shù)估成接近整十、整百、整千數(shù)，這樣的數(shù)使得我們的計算變得更方便，同時讓學生看到一般的數(shù)就能自然而然地想到估算的方法。

教學設計：

數(shù)軸一：（整十數(shù)、100以內數(shù)的估算）（見圖1）

提問：

請你在數(shù)軸上找出下面的數(shù)，并說說它最接近哪個整十數(shù)？

9、38、62、96

數(shù)軸二：（整百數(shù)、1000以內數(shù)的估算）（見圖2）

提問：

請你在數(shù)軸上找出下面的數(shù)，并說說它最接近哪個整十數(shù)？

112、385、709、920、990、442、852

數(shù)軸三：（整千數(shù)、10000以內數(shù)的估算）（見圖3）

請你在數(shù)軸上找出下面的數(shù)，并說說它最接近哪個整十數(shù)？

1001、3980、5490、9507

數(shù)感是一種直觀的能力，數(shù)感其中一個要素是使用參考點進行估計，為了使得孩子更直觀的理解對數(shù)的估算，筆者在教學設計中設計了以數(shù)軸來輔助教學。

2、加強動手操作培養(yǎng)學生數(shù)感

布魯納強調：數(shù)學知識不是一個簡單的結果，而是一個過程，以生活實際和學生的經(jīng)歷、體驗幫助理解抽象的概念，建立數(shù)感。因此在數(shù)學課堂教學中，教師要選擇適合學生年齡特征的方式，提供實物，聯(lián)系身邊具體事物，觀察操作、游戲等方式輔助教學，注重在教學中與學生數(shù)學地進行交流。

【案例】：

在三年級上冊第三單元四邊形關于周長的教學中，筆者設計了這樣的教學過程：課件展示三片葉子，分別有螞蟻、小蟲和蝸牛三種小動物分別在葉子上爬，其中螞蟻沿著葉子邊走了一圈，小蟲在葉子內走了一圈，蝸牛沿著葉子邊走了大半圈，讓學生觀察回答：“它們從哪里出發(fā)？怎么走的？有什么不一樣”。通過生動有趣的活動，讓學生清晰地掌握了關于周長的概念。

數(shù)感與學生數(shù)學學習是相輔相成的，良好的數(shù)感既能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學素養(yǎng)，同時在數(shù)學學習的過程中，教師通過各種有效的教學措施培養(yǎng)學生良好的數(shù)感。