譚明貴

摘 要： 反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力.數(shù)學(xué)是中學(xué)階段的必修課程之一，數(shù)學(xué)解題教學(xué)后，引導(dǎo)學(xué)生反思，能使學(xué)生將教師所授的知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí).作者在文中具體說(shuō)了對(duì)解題后反思的認(rèn)識(shí).

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 解題后反思 思維批判性 思維靈活性 思維廣闊性

一

孔子云：學(xué)而不思則罔.意思是說(shuō)學(xué)習(xí)之后一定要進(jìn)行反思，否則就會(huì)迷惑而沒有所得.數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力.建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)習(xí)并非是對(duì)于教師所授予的知識(shí)的被動(dòng)接受而是依據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過(guò)程，教師不僅僅是知識(shí)的傳授者，而應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者.這就要求我們?cè)诮忸}教學(xué)后引導(dǎo)學(xué)生反思，使學(xué)生將教師所授的知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí).另外針對(duì)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平有限，不善于在解題后對(duì)解題進(jìn)行反思的特點(diǎn)，加強(qiáng)解題反思也是勢(shì)在必行的.

事實(shí)上解題反思的基本特征是它的探究性和總結(jié)性，在解題過(guò)程中探究其中的問題，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不斷調(diào)整自己的解題策略，建構(gòu)自己對(duì)問題的理解，獲取新的體驗(yàn)，逐步形成理性的認(rèn)識(shí)和批判性觀點(diǎn).那么如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后反思呢？下面我從對(duì)一道例題的解題反思談?wù)剬?duì)解題反思的認(rèn)識(shí).

例：若正數(shù)x，y滿足x+2y=1，求■+■的最小值.

此題是在高三復(fù)習(xí)中最為常見的一道經(jīng)典題目，很多參考書目都引用了此題.在高三第一輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，筆者在復(fù)習(xí)均值不等式時(shí)引用了此題.在出示例題后，讓學(xué)生自行解答.學(xué)生得出了以下解法.

方法一：

∵x+2y=1，∴2■≤1，∴xy≤■，■≥2■；

又∵■+■≥2■≥4■，∴最小值為4■.

方法二：

∵x>0，y>0，x+2y=1，

∴■+■=■+■=3+■+■≥3+2■，

∴最小值為3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí)取最小值.

方法三：

∵x>0，y>0，x+2y=1，

∴■+■=（x+2y）（■+■）=3+■+■≥3+2■，

∴最小值為3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)■=■時(shí)取最小值.

方法四：

設(shè)x=ty，∵x>0，y>0，∴t>0

∵x+2y=1，∴ty+2y=1，y=■，

∴■+■=■+t+2=3+■+t≥3+2■，

∴最小值為3+2■，當(dāng)且僅當(dāng)t=■時(shí)取最小值.

二

對(duì)于以上四種解法，筆者從以下幾個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思.

（一）反思錯(cuò)處，培養(yǎng)思維的批判性.

教學(xué)中應(yīng)珍視學(xué)生的錯(cuò)誤，因?yàn)閷W(xué)生的知識(shí)背景、思維方式、情感體驗(yàn)往往和成人不同，而其表達(dá)方式可能不準(zhǔn)確，所以難免出“錯(cuò)”.教學(xué)中若能從此切入，進(jìn)行解后反思，則往往能找到“病根”，進(jìn)而對(duì)癥下藥，收到事半功倍的效果.筆者讓得出方法一的同學(xué)在黑板上完整演繹，然后指出其兩點(diǎn)錯(cuò)誤：1.x>0，y>0條件沒有說(shuō)明，做法缺乏前提，書寫不規(guī)范；2.兩次使用均值不等式，且都沒有注意等號(hào)成立時(shí)的條件.經(jīng)過(guò)反思，學(xué)生清楚認(rèn)識(shí)到解題時(shí)需注意細(xì)節(jié)，兩次使用均值不等式“=”不能同時(shí)成立，此題錯(cuò)解，對(duì)“三相等”加深了認(rèn)識(shí).

（二）在解題的方法規(guī)律處反思，訓(xùn)練思維的靈活性.

通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生反思解題的多種解法，進(jìn)行方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，比較哪種解法較為簡(jiǎn)捷，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)思維的靈活性.對(duì)于方法二、三、四，引導(dǎo)學(xué)生反思：哪種方法最易掌握，哪種方法最簡(jiǎn)捷，哪種方法最新穎，等等.學(xué)生通過(guò)反思和互相交流探討，發(fā)現(xiàn)方法二、三具有共性，即利用條件，消去常數(shù)“1”，而方法四采用消元法，解法獨(dú)特.通過(guò)反思，學(xué)生對(duì)這類問題的解法規(guī)律有了一定的認(rèn)識(shí)，即“消常法”、“消元法”，解題技巧得到提升.

（三）反思題目變式，訓(xùn)練思維的廣闊性.

在解題教學(xué)后引導(dǎo)學(xué)生改變題中的條件與問題，進(jìn)行變式教學(xué).這樣，不僅能加深學(xué)生對(duì)某種題型結(jié)構(gòu)和特征的理解，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)問題和解決問題的能力.

方法講解完畢，筆者設(shè)問：若把條件改為x+2y=3，方法還用嗎？學(xué)生思考后，發(fā)現(xiàn)其實(shí)1=■（x+2y），利用方法二、三易解.若用方法四，則幾乎和原題無(wú)區(qū)別，只是數(shù)值不一樣而已.從而對(duì)方法四加深了認(rèn)識(shí)，即消元法在均值不等式問題中更具有一般性.然后，筆者又讓學(xué)生做如下練習(xí)：已知x，y都是正實(shí)數(shù)，且2x+y-xy=0，求x+y的最小值.學(xué)生埋頭苦作，基礎(chǔ)較好的同學(xué)用消元法，即由已知得x=■，代入x+y，再利用均值不等式得到解答，但大部分同學(xué)沒有順利解得.我提示道：“事實(shí)上這題我們剛剛解過(guò)，請(qǐng)看：由已知得：2x+y=xy？圯■+■=1，令m=■，n=■，則m+2n=1，所求變?yōu)椤?■.”學(xué)生恍然大悟，原來(lái)此題只是例題的一種變式而已.

（四）在情感體驗(yàn)處反思.

解題過(guò)程并非僅僅只是一個(gè)知識(shí)運(yùn)用、技能訓(xùn)練的過(guò)程，而是一個(gè)伴隨著交往、創(chuàng)造、追求和喜、怒、哀、樂的綜合過(guò)程.在此道例題和習(xí)題學(xué)習(xí)中，學(xué)生既品嘗了失敗的苦澀，又收獲了“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的喜悅，他可能是獨(dú)立思考所得，也有可能是通過(guò)合作協(xié)同解決，既體現(xiàn)了個(gè)人努力的價(jià)值，又折射出集體智慧的光芒.在此處引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思，有利于培養(yǎng)學(xué)生積極的情感體驗(yàn)和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，點(diǎn)燃學(xué)習(xí)熱情，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為自主探究學(xué)習(xí)；還有利于鍛煉學(xué)生的學(xué)習(xí)毅力和意志品格.同時(shí)，在此過(guò)程中，學(xué)生獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣、合作意識(shí)和團(tuán)隊(duì)精神均能得到很好的培養(yǎng).

總之，通過(guò)解題后的反思，讓學(xué)生的思維在解題后繼續(xù)發(fā)散，“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”；通過(guò)反思，讓學(xué)生對(duì)方法、規(guī)律得到了及時(shí)的小結(jié)歸納；通過(guò)反思，讓學(xué)生撥開迷蒙，看清“廬山真面目”而逐漸成熟起來(lái).在反思中他們學(xué)會(huì)了獨(dú)立思考，在反思中他們學(xué)會(huì)了傾聽，學(xué)會(huì)了交流、合作，學(xué)會(huì)了分享，體驗(yàn)了學(xué)習(xí)的樂趣，交往的快慰.