陶友根

函數(shù)及其表示

（★★★）必做1 若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)g（x）=的定義域是_________.

[牛刀小試]

精妙解法 要使式子有意義，則0≤2x≤2，

x>0且x≠1，所以0

極速突擊 求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集，注意分式、偶次根式、對數(shù)式等. 由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域要受實(shí)際問題的約束；抽象函數(shù)的定義域要看清內(nèi)、外層函數(shù)之間的關(guān)系.

誤點(diǎn)警示 本題可能出現(xiàn)錯(cuò)誤解法x∈[0，2]?2x∈[0，4]，得出定義域?yàn)椋?，1）∪（1，4]，錯(cuò)誤原因是沒有搞清楚內(nèi)外函數(shù)之間的關(guān)系， f（2x）的定義域應(yīng)是0≤2x≤2的解集.

（★★★）必做2 已知函數(shù)f（x）=

x+，x≤0，

-（x-2）2，x>0，則使f（x+1）≥-1成立的x的取值范圍是________.

[牛刀小試]

精妙解法 由題意知f（x+1）=

x+1，x≤-1，

-（x-1）2，x>-1，

不等式f（x+1）≥-1，等價(jià)于x≤-1，

x+1≥-1 或x>-1，

-（x-1）2≥-1.

解得-4≤x≤-1或0≤x≤2，所以x的取值范圍是[-4，-1]∪[0，2].

極速突擊 已知函數(shù)式求值，將自變量的值代入即可；分段函數(shù)，注意自變量值的取值范圍，代入相應(yīng)解析式計(jì)算. 注意字母取值范圍的變化.

誤點(diǎn)警示 沒有注意函數(shù)f（x+1）中自變量x取值范圍的變化，即新函數(shù)分段點(diǎn)的改變.

函數(shù)的基本性質(zhì)

（★★★）必做3 函數(shù)f（x）=（x∈[1，3]）的值域?yàn)椋?）

A. [2，3] B. [2，5]

C.

，3 D.

，4

[牛刀小試]

精妙解法 因?yàn)閒（x）=x+-2，其在區(qū)間[1，2）單調(diào)遞減，在（2，3]單調(diào)遞增，故f（x）在x=2處取極小值， f（2）=2，而f（1）=3， f（3）=，所以函數(shù)值域?yàn)閇2，3]，故選A.

極速突擊 函數(shù)的單調(diào)性判斷方法很多，如：定義法、圖象法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等；求函數(shù)值域的方法主要有：單調(diào)性法、換元法、均值不等式法、圖象法等.

誤點(diǎn)警示 錯(cuò)解： f（1）=3， f（3）=，所以選C.

錯(cuò)因：沒有注意到函數(shù)在[1，3]沒有單調(diào)性，而直接將端點(diǎn)值代入.

（★★★）必做4 已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，2）時(shí)， f（x）=log（x+1），則f（-2011）+f（2012）的值為_________.

[牛刀小試]

精妙解法 由函數(shù)是R上的偶函數(shù)，知f（-2011）=f（2011），

因?yàn)閤≥0，都有f（x+1）=-f（x），所以f（x+2）=f（x），即T=2，

所以f（-2011）+f（2012）=f（2011）+f（0）=f（1）+f（0）=log22+log21=1.

極速突擊 利用函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、周期性等），將已知區(qū)間外的自變量的取值變到已知區(qū)間內(nèi)，代入解析式進(jìn)行計(jì)算，是解決這類問題的常用方法.

（★★★）必做5 定義在R上的函數(shù)f（x）在（-∞，2）上是增函數(shù)，且f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，則（ ）

A. f（-1）f（3）

C. f（-1）=f（3） D. f（0）=f（3）

[牛刀小試]

精妙解法 函數(shù)f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，則f（x）關(guān)于直線x=2對稱.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-∞，2）上是增函數(shù)，所以在（2，+∞）上是減函數(shù)，所以f（-1）=f（5）

極速突擊 研究函數(shù)間的關(guān)系，通常利用函數(shù)圖象的平移、翻折、伸縮等；研究函數(shù)相關(guān)區(qū)間的單調(diào)性，常用對稱性（一般軸對稱會(huì)改變函數(shù)的單調(diào)性，中心對稱保持原來的單調(diào)性），最典型的如奇函數(shù)和偶函數(shù)的圖象特點(diǎn).

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性是函數(shù)的主要性質(zhì)，理解和應(yīng)用時(shí)注意抓住定義，以及反映在圖象上的特征，注意數(shù)形結(jié)合.對于有關(guān)單調(diào)性問題的選擇題和填空題，我們可用一些命題求解，如兩個(gè)增（減）函數(shù)的和函數(shù)仍為增（減）函數(shù)；而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般用單調(diào)性定義解決.

基本初等函數(shù)

（★★★）必做6 若函數(shù)f（x）= -x2+（2a-1）

x

有四個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A. a> B.

C. a> D. a<

[牛刀小試]

精妙解法 f（x）=-x2+（2a-1）

x

是由函數(shù)g（x）=-x2+（2a-1）x變化得到，先去掉g（x）在y軸左側(cè)的圖象，保留g（x）在y軸右側(cè)的圖象，再作其關(guān)于y軸對稱的圖象. 由題意，g（x）=-x2+（2a-1）x的對稱軸在y軸的右側(cè)，所以>0，即a>. 選C.

（★★★）必做7 設(shè)a=22.5，b=log，c=

，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）

A. a>c>b B. c>a>b

C. b>a>c D. a>b>c

[牛刀小試]

精妙解法 a=22.5>20=1，b=log

<1，所以a>c>b. 故選A.

極速突擊 指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較，可以“化同底”后利用函數(shù)的單調(diào)性比較，也可借助參照數(shù)，如0，1等比較.

（★★★）必做8 若函數(shù)f（x）=loga（x2-ax+3）（a>0且a≠1）滿足對任意的x1，x2，當(dāng)x10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________.

[牛刀小試]

精妙解法 由題意知函數(shù)f（x）在區(qū)間-∞

，單調(diào)遞減，若設(shè)u（x）=x2-ax+3，則y=logau. 因?yàn)閡（x）在區(qū)間-∞

，單調(diào)遞減，那么y=logau單調(diào)遞增，即a>1；

由定義域知u

=

-a·+3=-+3>0，所以-2

綜上所述，a的取值范圍為（1，2）.

極速突擊 二次函數(shù)的單調(diào)性由開口和對稱軸決定，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由內(nèi)外函數(shù)共同決定（同增異減）.

誤點(diǎn)警示 本題易錯(cuò)解為a∈（1，+∞），原因是忽略定義域的要求.對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)都要注意定義域（使式子有意義）.

函數(shù)與方程（不等式）

函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

（★★★）必做11 函數(shù)y=的圖象大致是（ ）

[y][x][O][y][x][O]

A B

[y][x][O][y][x][O]

C D

[牛刀小試]

精妙解法 函數(shù)y=f（x）=為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A，B. 當(dāng)x=1時(shí)， f（1）==0，排除C，選D.

極速突擊 已知函數(shù)式選擇函數(shù)圖象，這類題有兩種做法：直接法，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象，用變換法（平移、翻折、伸縮等）得到圖象；排除法，用函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、特殊點(diǎn)等判斷.

（★★★★）必做12 設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式x[f（x）-f（-x）]<0的解集為_______.

[牛刀小試]

精妙解法 因?yàn)槠婧瘮?shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)， f（-x）=-f（x），x[f（x）-f（-x）]<0，所以xf（x）<0. 又f（1）=0，所以f（-1）=0，從而有函數(shù)f（x）的示意圖，如圖2，由圖觀察知，不等式x[f（x）-f（-x）]<0的解集為{x

-1

[y][x][O][1][-1]

圖2

極速突擊 抽象函數(shù)相關(guān)的不等式問題，通常根據(jù)函數(shù)的特殊點(diǎn)、性質(zhì)，作出示意圖，再根據(jù)示意圖得出不等式的解集.

（★★★★★）必做13 函數(shù)f（x）=cosπx與函數(shù)g（x）=log

x-1 的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為_______.

[牛刀小試]

精妙解法 將兩個(gè)函數(shù)同時(shí)向左平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=f（x+1）=cosπ（x+1）=cos（πx+π）=-cosπx，y=g（x+1）=log

x ，則此時(shí)兩個(gè)新函數(shù)均為偶函數(shù).

在同一坐標(biāo)系下分別作出函數(shù)y=f（x+1）=-cosπx和y=g（x+1）=log

x 的圖象，如圖3，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以此時(shí)所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0，

[O][y][x][1][-1][2][3][4][-2][-3][1][2][3][4][-1][-2][-3]

圖3

所以函數(shù)f（x）=cosπx與g（x）=log

x-1 的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.

極速突擊 對于圖象的交點(diǎn)問題（方程的根），直接求解有困難時(shí)，利用圖象觀察特點(diǎn)，整體解決，經(jīng)常還會(huì)用到數(shù)列的思想，如：特殊數(shù)列的通項(xiàng)、求和；合項(xiàng)求和等.

函數(shù)的綜合應(yīng)用

（★★★★）必做14 具有性質(zhì)：f

=-f（x）的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”交換的函數(shù)，下列函數(shù)：

①y=x-；②y=2x-；③y=x，0

0，x=1，

-，x>1，其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是________.

[牛刀小試]

精妙解法 當(dāng)y=x-時(shí)，f

=-x=-f（x），所以①是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)；當(dāng)y=2x-時(shí)，f

=-x≠-f（x），所以②不是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)；當(dāng)y=x，0

0，x=1，

-，x>1時(shí)，當(dāng)x>1時(shí)，0<<1， f

==-f（x），當(dāng)01， f

=-x=-f（x），所以③是滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù).

所以滿足條件的函數(shù)是①③.

極速突擊 對于新定義的問題，要抓住定義的關(guān)鍵，充分理解定義，再一一驗(yàn)證.

（★★★★）必做15 已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，對于x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，當(dāng)x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2時(shí)，都有>0，給出下列命題：

① f（3）=0；②直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)；④函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有兩個(gè)零點(diǎn).

其中正確命題的序號為_______（把所有正確命題的序號都填上）.

[牛刀小試]

精妙解法 因?yàn)閤1≠x2時(shí)，都有>0，所以f（x）在[0，3]上遞增. 因?yàn)閒（x+6）=f（x）+f（3），令x=-3，得f（3）=f（-3）+f（3），所以f（-3）=0. 因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（3）=0. ①正確.

因?yàn)閒（x+6）=f（x），所以f（x）周期為6，畫出示意圖如下：

[y][x][O][3][6][9][-3][-6][-9]

圖4

由圖象知②正確，③④不正確，填①②.

極速突擊 用函數(shù)性質(zhì)得函數(shù)圖象，用函數(shù)圖象進(jìn)一步研究函數(shù)性質(zhì).