沙希文

摘要："授人以魚，不如授人以漁"，思想和方法的教育有時會比知識本身的傳授顯得更為重要。本文概括、歸納了極限思想在高一必修教材中的5處應(yīng)用，望能通過本文使我們學(xué)到解決一類問題的方法。

關(guān)鍵詞：極限思想；高中物理；教材；應(yīng)用

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1006-5962（2013）06-0028-02

極限思想是微積分和分析數(shù)學(xué)的基本概念之一，用于描述變量在某一變化過程中的變化趨勢。當(dāng)這種趨勢趨于某個值或是某個微小過程時，我們可以近似的將這個變化的量看成不變的量，這種處理問題的思想我們稱為極限思想。利用極限思想我們往往能夠化動為靜，化曲為直，從而得到化難為易，化繁為簡的效果。公元3 世紀(jì)劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形面積的極限是圓面積這一思想來近似計算圓周率π的。并指出"割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣"。新課程注重科學(xué)思想方法的滲透，為學(xué)生掌握科學(xué)的思維方法創(chuàng)造了基本的條件。極限思想的方法在新課程中多處出現(xiàn)，值得重視。

現(xiàn)歸納如下：

1 知識講解：平均速度和瞬時速度--滲透極限思想（必修一P16）

如果在時間Δt 內(nèi)物體的位移是Δx ， ΔxΔt表示的是物體在時間間隔Δt內(nèi)的平均快慢程度，稱之為平均速度，即 v=ΔxΔt。平均速度只能粗略地描述運動的快慢，為了使描述精確些，可以把Δt取得小些。物體在從t到t+Δt這樣一個較小的時間間隔內(nèi)，運動快慢的差異就小些。 Δt越小，運動的描述就越精確。可以想象，如果Δt非常非常小，就可以認(rèn)為ΔxΔt表示的是物體在時刻Δt的速度，這個速度叫瞬時速度。

教材中從簡單的直線運動入手，先介紹平均速度v=ΔxΔt，再介紹在Δt→0 時， v→v的思想方法，這樣處理較清晰地體現(xiàn)了極限思想，但回避了嚴(yán)格的極限概念和計算。

2 實驗：用平均速度代表瞬時速度--利用極限思想（必修一P21）

如圖，根據(jù)D、G兩點間的位移Δx和時間Δt ，就可算出紙帶在這兩點間的平均速度v=ΔxΔt .要求不高時ΔxΔt 可以大致表示E點的瞬時速度。

利用極限思想我們可以以此類推，如果把包含E點的間隔取得更小一些，如下圖，

那么，平均速度v=ΔxΔt就會更準(zhǔn)確。

教材中安排這個實驗的目的，讓學(xué)生通過具體的事例進(jìn)一步加深對極限科學(xué)思維方法的理解和感悟，同時說明物理中科學(xué)思維方法在實際中的應(yīng)用，學(xué)以致用。

3 公式推導(dǎo)：用v―t圖像推出勻變速運動位移公式--推廣極限思想（必修一P38）

圖A表示的是某物體以初速度 做勻變速直線運動的速度―時間圖像。圖B表示的是把物體的運動分成五個小段，每一段可以看作是以起始時刻的速度作勻速直線運動，因而每兩個位置間的位移等于以15t 為底、起始時刻速度為高的細(xì)高矩形的面積。矩形面積之和，可以粗略地表示整個運動過程的位移。為了精確一些，可以把運動過程劃分為更多的小段，圖C中把時間間隔取得小些，這些矩形面積之和，可以較精確的表示整個運動過程的位移?？梢韵胂?，如果把整個運動過程劃分得非常非常的細(xì)，很多很多的小矩形的面積之和就能較準(zhǔn)確地代表物體運動的位移了。如圖D所示，梯形OABC的面積就代表物體運動的位移。

該梯形的面積是S=12（OC+AB）OA ，即x=12（v0+v）t，把v=v0+at，代入得x=v0t+12at2 。

做勻變速直線運動物體的速度每時每刻都在變化，當(dāng)把運動過程無限分為若干的小段，對其中的任一小段都可認(rèn)為是勻速直線運動，其速度是不變的。這種從運動整體中選取某個微小時間作為研究對象，將變量轉(zhuǎn)化為不變量，從而達(dá)到解決整體問題的思維方式正是極限思想的精髓。

4 問題與練習(xí)：估算照相機(jī)的曝光時間--應(yīng)用極限思想（必修一P45）

有一種"傻瓜"照相機(jī)，其光圈（進(jìn)光孔徑）隨被攝物體的亮度自動調(diào)節(jié)，而快門（曝光時間）是固定不變的。為估測某架"傻瓜"照相機(jī)的曝光時間，實驗者從某磚墻前的高處使一個石子自由落下，拍攝石子在空中的照片如圖。由于石子的運動，它在照片上留下了一條模糊的徑跡。

已知每塊磚的平均厚度為6cm，石子起落點距A的高度約為2m。怎樣估算這架照相機(jī)的曝光時間？

學(xué)生的解法如下：

學(xué)生的解法當(dāng)然是正確的，而且非常精確。有的同學(xué)認(rèn)為編者的解法中用AB的長度除以石子經(jīng)過A點的速度不妥，因為石子在AB間仍在加速，但由于AB的長度非常的小，運動的時間非常的少，故可以近似認(rèn)為石子在AB間做勻速直線運動，如果拘泥于石子在A、B間速度的差異，解題過程則十分復(fù)雜。

新教材上的估算問題往往從實際出發(fā)，通過這些欄目的學(xué)習(xí)，不僅增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用物理知識解決實際問題的能力，做到學(xué)以致用，更重要的是傳授學(xué)生一方法。

通過類比讓學(xué)生知道求變力做功與求勻變速的位移相似，將彈簧的形變過程分成很多段，每一小段近似認(rèn)為拉力不變，用恒力代替變力，這是極限思想在求變力做功中的運用。

教材中對用極限的思想方法從新課的講解、實驗、推導(dǎo)、練習(xí)、探究等欄目，對教學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化構(gòu)思，這種科學(xué)思想方法的傳授，也像知識的教學(xué)一樣有著舉足輕重的地位。