侯代忠

【關(guān)鍵詞】高三數(shù)學(xué) 總復(fù)習(xí)課

五個(gè)不到位

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）06B-

0079-03

作為教育局長(zhǎng)、數(shù)學(xué)特級(jí)教師，到學(xué)校一線去聽(tīng)課，是我長(zhǎng)期以來(lái)養(yǎng)成的工作習(xí)慣。在聽(tīng)課中、在與教師和學(xué)生的交流中，筆者經(jīng)常感覺(jué)教師課堂教學(xué)有“五個(gè)不到位”，應(yīng)給予足夠重視?，F(xiàn)歸納出來(lái)，與同行共勉。

一、應(yīng)重視基礎(chǔ)知識(shí)“歸納不到位”

每年的高考試題中有許多題取之于課本，或是課本習(xí)題的改型、拼湊。有選擇、填空，也有解答題，即使是較難的題目，也能在課本中找到它的“影子”。因此，教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中要重視課本，立足于課本，強(qiáng)化知識(shí)基礎(chǔ)。我們講復(fù)習(xí)立足課本，不是機(jī)械重復(fù)或是“炒冷飯”，而是要著力理清思路，系統(tǒng)梳理知識(shí)脈絡(luò)，總結(jié)基本方法，精選范例，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)，正確、迅速、簡(jiǎn)捷地解題。

例如，在復(fù)習(xí)“函數(shù)奇偶性”時(shí)著重抓以下幾點(diǎn)：

1.抓住實(shí)質(zhì)，力求用簡(jiǎn)短語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)描述、梳理基本概念

f（-x）=f（x）？圮偶函數(shù)

f（-x）=-f（x）？圮奇函數(shù)

強(qiáng)調(diào)注意：①等式對(duì)定義域內(nèi)的一切x均成立；②x，-x必須同時(shí)落在定義域中，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③f（x）是偶函數(shù)？圳f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；f（x）是奇函數(shù)？圳f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；既奇又偶，非奇非偶函數(shù)均存在。

2.從定義、性質(zhì)入手，歸納基本方法

（1）要證明某個(gè)函數(shù)f（x）是奇、偶函數(shù)，只須證明：第一，定義域?qū)ΨQ；第二，f（-x）與±f（x）是否相等，或者用等價(jià)式子f（x）±f（-x）=0或者=±1的證明代替。

（2）兩個(gè)奇（偶）函數(shù)的和與差，仍是奇（偶）函數(shù)；兩個(gè)同奇或同偶的函數(shù)的積是偶函數(shù)，一奇一偶函數(shù)之積為奇函數(shù)。

（3）f（x）與有相同的奇偶性。

3.挖掘相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，加強(qiáng)基本聯(lián)系

（1）利用奇偶函數(shù)的對(duì)稱性可進(jìn)行作圖，也可以確定某圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的奇偶性。

（2）奇函數(shù)在R+與R-上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)R+與R-上有相反的單調(diào)性。

（3）若奇函數(shù)在定義域內(nèi)有最值，則最大最小值同時(shí)存在且互為相反數(shù)。

又如，在復(fù)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象時(shí)，難點(diǎn)在于圖象的位置隨a的變化情況，于是可幫助學(xué)生進(jìn)行如下歸納整理：

①冪函數(shù)y=x2（x∈R）

小結(jié)：a逆時(shí)針?lè)较蛟龃?，圖象繞（1，1）逆時(shí)針擺動(dòng)。

②指數(shù)函數(shù)y=-ax（a>0且a≠1）.

小結(jié)：分y軸左、右兩邊來(lái)看，a漸增大時(shí)，圖象繞（0，1）逆時(shí)針擺動(dòng)。

③對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）

小結(jié)：分x軸上、下兩邊來(lái)看，a漸增大時(shí)，圖象繞（1，0）順時(shí)針擺動(dòng)。

例l（92年高考）圖中曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為：

（A）-2，-，，2 （B）2，，-，-2

（C）-，-2，2， （D）2，，-2，-

根據(jù)上面的結(jié)論，顯然答案是（B）。

二、應(yīng)重視通性通法“傳授不到位”

通性通法通常指具有某種普遍意義的結(jié)論和方法。它輻射面廣，易于大多數(shù)學(xué)生理解和掌握。高考也重在考查通性通法，遺憾的是我們?cè)S多教師尤其是年經(jīng)教師在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中喜愛(ài)標(biāo)新立異，盲目求巧，大量增加“準(zhǔn)結(jié)論”的傳授，試圖以巧取勝，其結(jié)果轉(zhuǎn)移了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與目標(biāo)，不但增加了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，也違背了大綱的要求，影響了高考成績(jī)的大面積提高。這種脫離高考實(shí)際的做法，我們必須引起足夠重視。

例如，1992年高考文科（24）題，求“sin220°+cos280°+sin220°cos280°的值”；95年高考理科（22）題求“sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值”與必修課本代數(shù)上冊(cè)P193例4基本相同。解法不下4、5種，其中最常用的解法是降冪、和差化積、積化和差。從評(píng)卷提供的信息來(lái)看，一些學(xué)生解答不出，而另一些學(xué)生則用了對(duì)稱構(gòu)造法，三角形構(gòu)造法及其他方法來(lái)解。這兩種現(xiàn)象，至少反映教學(xué)過(guò)程中存在如下幾個(gè)問(wèn)題：其一，學(xué)生沒(méi)有認(rèn)真學(xué)；其二，學(xué)生學(xué)的方法多，掌握不牢；其三，教師熱衷于“一題多解”，追求解題技巧，忽視常規(guī)解法的教學(xué)。因此，加強(qiáng)高考復(fù)習(xí)“常規(guī)”教學(xué)，是不容忽視的。

又如，解無(wú)理不等式的常規(guī)思路是化無(wú)理為有理，即轉(zhuǎn)化為等價(jià)有理不等式來(lái)求解，圖象法固然巧，但個(gè)別教師教學(xué)時(shí)本末倒置了。

在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段，必須遵循教學(xué)規(guī)律，認(rèn)真鉆研《考綱》和《說(shuō)明》，重視通性通法的教學(xué)。從題目的眾多解法中分析選擇通法，著眼于傳授和培養(yǎng)學(xué)生分析解決某一類問(wèn)題的一般方法，從而提高學(xué)生的一般解題能力。對(duì)那些帶規(guī)律性、全局性和運(yùn)用面廣的方法，就應(yīng)花大力氣，深入研究，務(wù)必使學(xué)生理解實(shí)質(zhì)，真正熟練掌握。而對(duì)那些局限性大，應(yīng)用面窄的奇招、怪招則宜淡化。

三、應(yīng)重視基本能力“培養(yǎng)不到位”

“重基礎(chǔ)，出活題，考能力”，已成為目前高考命題“定勢(shì)”，因此如何在總復(fù)習(xí)階段，切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，應(yīng)該成為教師的“重頭戲”。這里所指的能力應(yīng)該包括數(shù)學(xué)學(xué)科的能力和一般能力。數(shù)學(xué)能力主要指邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力以及運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。一般能力指可在不同領(lǐng)域的學(xué)習(xí)和工作中進(jìn)行遷移的能力，如注意力、觀察力、記憶力、想象力、思維力和組織力等。那么，在高三教學(xué)復(fù)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具備哪些能力才能取得較好的復(fù)習(xí)效果？筆者認(rèn)為應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生具備以下幾個(gè)方面的能力：

1.轉(zhuǎn)化或化歸的能力；

2.數(shù)形結(jié)合的能力；

3.分類討論的能力；

4.用函數(shù)與方程思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

5.應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；

6.準(zhǔn)確、迅速的運(yùn)算能力；

7.較好的應(yīng)試能力。

例如，已知圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其中弧長(zhǎng)比為3∶1；③圓心到直線的距離為，求該圓的方程。（97高考文第25題）

轉(zhuǎn)化的目標(biāo)：設(shè)圓的方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，確定a、b、r。

轉(zhuǎn)化的手段：用待定系數(shù)法，輔以數(shù)形結(jié)合（圖略）。

轉(zhuǎn)化的方法：應(yīng)用解幾何知識(shí)將條件分別轉(zhuǎn)化，找出關(guān)系式。

圓心到x軸、y軸的距離分別為|a|和|b|。

①轉(zhuǎn)化為：r2=a2+1

②轉(zhuǎn)化為：∠APB=90°，有AB=r，因此有r2=2b2

③轉(zhuǎn)化為：=

聯(lián)立①、②、③解方程可得到a、b、r。

四、應(yīng)重視探究過(guò)程“引導(dǎo)不到位”

展示思維過(guò)程，通常從展示知識(shí)的發(fā)生過(guò)程、問(wèn)題的探索過(guò)程、方法的思考過(guò)程三個(gè)方面進(jìn)行。教師的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該向?qū)W生展示自己的思維過(guò)程，和學(xué)生共同探討，一起尋求解決問(wèn)題的辦法，讓學(xué)生不但有機(jī)會(huì)了解教師解決問(wèn)題的思想方法，還有機(jī)會(huì)了解教師在解決問(wèn)題時(shí)遇到的挫折和挑戰(zhàn)，與教師一起經(jīng)歷曲折與失誤。同時(shí)，教師也要引導(dǎo)學(xué)生敢于、善于暴露自己的思維過(guò)程，這有助于課堂教學(xué)中師生互動(dòng)和教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)程度的把握。

例如，反正弦函數(shù)的概念是學(xué)生學(xué)習(xí)反三角函數(shù)知識(shí)時(shí)學(xué)習(xí)的第一個(gè)概念，如果學(xué)生掌握了這個(gè)概念的形成過(guò)程，對(duì)概念有較深刻的理解，那么對(duì)后面的三個(gè)反三角函數(shù)概念的理解就十分容易了。

為此，筆者設(shè)計(jì)了三張幻燈片來(lái)創(chuàng)設(shè)情境。

第一張幻燈片：

第二張幻燈片：

第三張幻燈片：

像這樣通過(guò)三張投影片以舊換新，步步緊跟，設(shè)法求答，提示概念的形成過(guò)程，學(xué)生感到自然、易理解，不僅知道概念是什么，而且知道概念是怎樣想到的。

五、應(yīng)重視解題反思“培養(yǎng)不到位”

所謂反思，就是多層次、多角度地對(duì)問(wèn)題及解決問(wèn)題的思維過(guò)程進(jìn)行全面的考查、分析和思考，從而深化對(duì)問(wèn)題的理解，優(yōu)化思維過(guò)程，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，探索一般規(guī)律，促進(jìn)知識(shí)的同化和遷移，進(jìn)而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)。

反思能夠使學(xué)生從多方面、多角度地觀察事物并尋求多種思路，養(yǎng)成在學(xué)習(xí)中質(zhì)疑問(wèn)題的優(yōu)秀品質(zhì)。教師在教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生積極反思，使之成為學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)的一種習(xí)慣，讓學(xué)生在反思中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、方法，優(yōu)化他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高他們的思維能力。例如，是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·22+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）對(duì)一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論。（89年高考題）

本題可由特殊到一般進(jìn)行解答。不少同學(xué)通過(guò)令n=1，2，3，列出了三元一次方程組，求解a、b、c，遺憾的是由于運(yùn)算能力不過(guò)關(guān)，錯(cuò)解了這個(gè)方程組，導(dǎo)致后面全錯(cuò)；有的同學(xué)雖解對(duì)了a=3，b=11，c=10，但運(yùn)用歸納法推證時(shí)，運(yùn)算有誤，無(wú)法得到n=K+1時(shí)的正確結(jié)論，最后不得不下了一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。

由此可見(jiàn)，通過(guò)反思，教師應(yīng)重視幫助學(xué)生糾正解題失誤，強(qiáng)調(diào)錯(cuò)因剖析，讓學(xué)生“吃一塹，長(zhǎng)一智”，幫助學(xué)生樹(shù)立“練后考100分”的信心。

例，若直線y=x+t與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|的最大值是多少？

解：∵直線y=x+t與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，

∴把y=x+t代入橢圓方程+y2=1中，整理得5x2+8tx+4t2-4=0.

∵△=（8t）2-4×5×（4t2-4）=0.

∴-

∵由已知可設(shè)（x1，y2），（x2，y2），

∴x1+x2=，x1x2=

∴|AB|=·

=·

=·

∴當(dāng)t=0時(shí)，|AB|max=

故弦長(zhǎng)|AB|的最大值是。

通過(guò)反思可以發(fā)現(xiàn)，以下涉及直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)的問(wèn)題均可以采用同樣的方法進(jìn)行求解。

問(wèn)題1：直線x+y-2=0截圓x2+y2=4所得弦長(zhǎng)為多少？

問(wèn)題2：已知一拋物線C的頂點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是F（2，-1），過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=，在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)M，使得△ABM的面積等于4，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

問(wèn)題3：已知拋物線的準(zhǔn)線是x=，對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，坐標(biāo)為（6，2），拋物線與直線y=x-1所得弦長(zhǎng)為3，求此拋物線的方程。

問(wèn)題4：過(guò)雙曲線2x2-y2-8x+6=0的右焦點(diǎn)的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則這樣的直線有多少條？

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，是教師與學(xué)生互相溝通、交往的過(guò)程。這種溝通是數(shù)學(xué)信息的接受、加工、傳遞的動(dòng)態(tài)活動(dòng)。學(xué)生是活動(dòng)的中心人物，是認(rèn)識(shí)的主體。因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)中要突出和保障學(xué)生的主體地位，要依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，給學(xué)生充分的思考時(shí)間和思考空間，全面調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，主動(dòng)地建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使學(xué)生的思維品質(zhì)、探索精神、合作意識(shí)得到全面發(fā)展。

綜上所述，認(rèn)真落實(shí)“雙基”，狠抓基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，就能訓(xùn)練學(xué)生堅(jiān)實(shí)的基本功；狠抓通性通法的教學(xué)，就能起到“做一題，學(xué)一法，會(huì)一類，通一片”的功效；強(qiáng)化基本能力培養(yǎng)，有助于提高學(xué)生的思維素質(zhì)；狠抓探究過(guò)程引導(dǎo)，有助于提高學(xué)生的探究能力；狠抓學(xué)生解題反思能力的培養(yǎng)教學(xué)，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，適應(yīng)素質(zhì)教育的需要，大面積提高教學(xué)質(zhì)量，都具有現(xiàn)實(shí)和深遠(yuǎn)的意義。

（責(zé)編 林 劍）