舒宗騰

【摘 要】幾何直觀是一種特殊的推理方法和思維活動(dòng)，雖沒(méi)有嚴(yán)格的邏輯推理，卻往往能將抽象的問(wèn)題直觀化、可視化。

【關(guān)鍵詞】核心概念；幾何直觀；思維定勢(shì)

今年我有幸參加了國(guó)培計(jì)劃（2012）—重慶市農(nóng)村義務(wù)教育骨干教師置換脫產(chǎn)培訓(xùn)班為期100天的學(xué)習(xí)，期間，聆聽(tīng)了參與制定標(biāo)準(zhǔn)的黃翔教授對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011年版》的解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了10個(gè)核心概念，它們是數(shù)感，符號(hào)意識(shí)，空間觀念，幾何直觀，數(shù)據(jù)分析觀念，運(yùn)算能力，推理能力，模型思想，應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。與《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》相比，在這10個(gè)核心概念中，有一些是新增加的：運(yùn)算能力、模型思想、幾何直觀、創(chuàng)新意識(shí)；有一些是名稱(chēng)和內(nèi)涵發(fā)生變化的：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、數(shù)據(jù)分析觀念；有一些是保持了原有內(nèi)涵：空間觀念、推理能力、應(yīng)用意識(shí)。下面結(jié)合我的幾個(gè)教學(xué)實(shí)例談?wù)勑略龅?個(gè)核心概念“運(yùn)算能力、模型思想、幾何直觀、創(chuàng)新意識(shí)”中的“幾何直觀”。

幾何直觀是一種特殊的推理方法和思維活動(dòng)，雖沒(méi)有嚴(yán)格的邏輯推理，卻往往能將抽象的問(wèn)題直觀化、可視化。借助幾何圖形的直觀，常常能由圖形之間的關(guān)系，感知相應(yīng)的數(shù)量之間的關(guān)系，有時(shí)能使問(wèn)題的解決變得直接、簡(jiǎn)明。借助幾何直觀研究問(wèn)題，通常應(yīng)先把研究的“對(duì)象”抽象成為“圖形”，再把“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“圖形之間的關(guān)系”，從而把所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于“圖形的數(shù)量或位置關(guān)系”的問(wèn)題，然后利用圖形直觀進(jìn)行思考、分析并解決。

例1：某單位在公路一側(cè)有3個(gè)職工居住在不同地方，上班車(chē)應(yīng)停在何處，才能使3人所走路程之和最短？4人呢？2013個(gè)人呢？

利用幾何直觀研究這個(gè)問(wèn)題：把公路抽象為一直線(xiàn)，3個(gè)人抽象為3個(gè)點(diǎn)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在線(xiàn)段AC上找一點(diǎn)使之到A、B、C這3個(gè)點(diǎn)的距離之和最短。

（1）如圖，設(shè)A、B、C為三人所在地，D為汽車(chē)?？奎c(diǎn)，S為三人所走距離之和

（2）如圖，設(shè)A、B、C、D為四人所在地，E為汽車(chē)停靠點(diǎn)，S為四人所走距離之和

要S最小，必須使BE+CE最小，所以E選 在線(xiàn)段BC之間（包括兩端點(diǎn)）均可。

同理五個(gè)點(diǎn)、六個(gè)點(diǎn)乃至更多的點(diǎn)，都可以找到停車(chē)點(diǎn)。

例2：某橋長(zhǎng)500米，一列火車(chē)從橋上通過(guò)，測(cè)得火車(chē)從開(kāi)始上橋到完全過(guò)橋共30秒，而整列火車(chē)完全在橋上的時(shí)間為20秒，求火車(chē)的速度和長(zhǎng)度。

這是一個(gè)七年級(jí)的應(yīng)用題，一般的初學(xué)者有較大困難。這時(shí)，讓學(xué)生自己在紙上涂一涂，畫(huà)一畫(huà)，將橋抽象成線(xiàn)段，火車(chē)畫(huà)成簡(jiǎn)筆畫(huà)，如圖3，可以比較直觀得到：30秒時(shí)間 火車(chē)走了一個(gè)車(chē)身長(zhǎng)+500；20秒時(shí)間火車(chē)走了500—車(chē)身長(zhǎng)。接下來(lái)，設(shè)未知數(shù)，建立方程組就水到渠成了。

由于幾何直觀沒(méi)有嚴(yán)格的邏輯推理，所以它的直觀化、可視化也可能產(chǎn)生負(fù)面影響，甚至?xí)纬伤季S定勢(shì)。

例3： 如圖4，表示某人從家出發(fā)任一時(shí)刻到家的距離（s）與所花時(shí)間（t）之間的關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)圖象編個(gè)故事。

圖4

幾乎近幾屆的學(xué)生我都講過(guò)，同學(xué)們說(shuō)的故事很多，但抽象出來(lái)的運(yùn)動(dòng)特征基本上都是：

①在上勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；

②在上靜止；

③在上勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

我問(wèn)為什么“在上靜止？”，學(xué)生普遍認(rèn)為，到家的距離不變，所以是靜止。我說(shuō)，到家的距離不變就是“到定點(diǎn)（家）的距離為定長(zhǎng)（不變）”，這樣的點(diǎn)一定是定點(diǎn)嗎？我順勢(shì)給出右圖。學(xué)生們都會(huì)情不自禁地“哇”，露出我怎么沒(méi)想到的神情。

這里的思維定勢(shì)在于，面臨“到一定點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)情景時(shí)，只想到靜止、想不到運(yùn)動(dòng)。從知識(shí)上看，可能還有“距離”與“路程”的混淆：隨著時(shí)間的推移而路程不變，當(dāng)然是靜止，但隨著時(shí)間的推移而距離不變，則可能是靜止也可能是運(yùn)動(dòng)。

值得注意的是，這是“一個(gè)很普遍的思維定勢(shì)現(xiàn)象”，不細(xì)心的話(huà)，一些學(xué)生“也可能會(huì)定勢(shì)一輩子”的問(wèn)題。當(dāng)我再進(jìn)一步問(wèn)會(huì)有多少種運(yùn)動(dòng)方式時(shí)，也存在思維定勢(shì)現(xiàn)象，也經(jīng)?！皫缀跞姼矝](méi)”，普遍沒(méi)考慮到在圓周上既可以運(yùn)動(dòng)又可以靜止，既可以前進(jìn)又可以來(lái)回走動(dòng)，既可以原路返回又可以另路返回。

這一思維定勢(shì)現(xiàn)象在書(shū)本或考試題中亦有反映。

這是2003年陜西省的一個(gè)中考題，星期天晚飯后，小紅從家里出去散步， 如圖5描述了她散步過(guò)程中離家的距離（米）與散步所用的時(shí)間t（分）之間的函數(shù)關(guān)系.依據(jù)圖象，下面描述符合小紅散步情景的是（ ）

圖5

（A）從家出發(fā)，到了一個(gè)公共閱讀欄，看了一會(huì)兒報(bào)，就回家了。

（B）從家出發(fā)，到了一個(gè)公共閱讀欄，看了一會(huì)兒報(bào)后，繼續(xù)向前走了一段，然后回家了。

（C）從家出發(fā)，一直散步（沒(méi)有停留）， 然后回家。

（D）從家出發(fā)，散了一會(huì)兒步，就找同學(xué)去了，18分鐘后才開(kāi)始返回。

這類(lèi)試題源于《課標(biāo)》與教材，設(shè)計(jì)了生活情景，考察了數(shù)學(xué)的核心知識(shí)——函數(shù)，題目的預(yù)設(shè)答案為（B），然而怎樣否定（C）和（A）呢？

如圖6，前4分鐘沿OP直路勻速向前散步，然后拐彎沿圓弧PQ走6分鐘，再轉(zhuǎn)彎沿QR向前走2分鐘，最后沿RO走6分鐘直路勻速回到家.這個(gè)散步過(guò)程是“沒(méi)有停留”的?？梢?jiàn)（C）不能否定.如果散步不是按原路返回，那么從“公 共閱讀欄”出來(lái)，還可以走2分鐘到另一條彎路上，然后沿另一條路6分鐘回到家。這樣一來(lái)，（A）也否定不了！可見(jiàn)這道考題是道病題，與選擇題“有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確”矛盾，但當(dāng)年數(shù)以萬(wàn)計(jì)的師生卻沒(méi)有提出異議。試想當(dāng)年專(zhuān)家們對(duì)這題精心預(yù)設(shè)一下，還會(huì)出現(xiàn)這種情況嗎？

由此可見(jiàn)，對(duì)新增的幾何直觀這一核心概念在我們今后的教學(xué)過(guò)程中還需不斷地總結(jié)、反思，對(duì)有些課還需我們精心預(yù)設(shè)才能給學(xué)生們以精彩的生成，才不至于形成定勢(shì)思維。

參考文獻(xiàn)：

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》