王東

摘要：隨著新課程改革的全面推進(jìn)，幾何探究類問(wèn)題已成為近些年來(lái)各地中考試卷中的一類重要題型。被認(rèn)為是考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)造能力和發(fā)展學(xué)生學(xué)力的最富有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題。同時(shí)這類問(wèn)題也成教師教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)難題。個(gè)人認(rèn)為，在幾何探究類問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，教師不僅要教會(huì)學(xué)生解決問(wèn)題的方法，更要培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的各項(xiàng)能力和一些具有元認(rèn)知性質(zhì)的解題策略。

關(guān)鍵詞：幾何教學(xué)；探究類問(wèn)題；反思

幾何教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中不可或缺的重要內(nèi)容。我國(guó)義務(wù)教育新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：要在數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)習(xí)幾何，注重探索圖形性質(zhì)的過(guò)程。實(shí)踐證明，要全面提高中學(xué)幾何教學(xué)的質(zhì)量，關(guān)鍵取決于教師的業(yè)務(wù)素質(zhì)與教學(xué)水平。

在幾何教學(xué)中，教師往往只重視思路的分析、技巧的揭示，而忽視“為什么會(huì)有這個(gè)思路”，忽視“技巧背后有沒(méi)有某種必然性”的總結(jié)提升。這就使得學(xué)生在經(jīng)歷了題海、題型戰(zhàn)術(shù)后，仍然懼怕幾何問(wèn)題。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要，因?yàn)樘岢鲆粋€(gè)問(wèn)題更需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力”。教師不僅要教會(huì)學(xué)生解決問(wèn)題的方法，更要培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的各項(xiàng)能力和一些具有元認(rèn)知性質(zhì)的解題策略。

一、實(shí)驗(yàn)操作，探究規(guī)律

幾何探究類問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)的思想是“以學(xué)生的學(xué)習(xí)為主體，在操作實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和探究規(guī)律，并進(jìn)一步深化應(yīng)用”。新的課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿提倡：在日常教學(xué)當(dāng)中讓學(xué)生動(dòng)手操作、鼓勵(lì)發(fā)現(xiàn)、鼓勵(lì)合作探究，以及在此基礎(chǔ)上完成對(duì)所學(xué)內(nèi)容的歸納，最后再通過(guò)演繹的方式去證明的教學(xué)方式。

例如，在講三角形三邊關(guān)系時(shí)，先讓同學(xué)們把事先準(zhǔn)備的三條長(zhǎng)短不一的木棒擺一擺，看是否能擺成三角形。過(guò)了一會(huì)后，發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)同學(xué)怎樣擺也擺不成三角形，于是我把這幾個(gè)同學(xué)請(qǐng)到講臺(tái)前又演示了一遍，提出了如下問(wèn)題：為什么擺不成三角形？怎樣的三條木棒能夠擺成三角形？學(xué)生紛紛拿起自己的木棒再進(jìn)行研究……在操作中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，學(xué)生探究的欲望被瞬間喚醒，學(xué)習(xí)熱情也瞬間高漲，每個(gè)同學(xué)積極投入到課堂學(xué)習(xí)中，“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”這個(gè)自己探索得出的性質(zhì)也在每個(gè)同學(xué)的腦海里根深蒂固。

實(shí)驗(yàn)探究向?qū)W生提供了自主探索的機(jī)會(huì)，考查了他們理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想方法的水平，為他們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了豐富的思維空間。

二、解讀鋪墊，尋找方向

幾何探究類問(wèn)題往往通過(guò)對(duì)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決或者知識(shí)和方法的介紹，讓答題者在閱讀或解題過(guò)程中獲取新的知識(shí)、方法，或領(lǐng)會(huì)某種新的數(shù)學(xué)思想。而這些思想方法正是進(jìn)一步探究所必須的。因此，在解幾何探究類問(wèn)題時(shí)研讀鋪墊材料，透過(guò)材料的表象，看出材料所隱藏的思想方法，是解決這一類問(wèn)題的關(guān)鍵。

例題 已知：等邊的邊長(zhǎng)為。

探究（1）如圖1，過(guò)等邊的頂點(diǎn)依次作的垂線圍成，求證：是等邊三角形且；

探究（2）在等邊內(nèi)取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分別作，垂足分別為點(diǎn)。

①如圖2，若點(diǎn)O是的重心，我們可利用三角形面積公式及等邊三角形性質(zhì)得到兩個(gè)正確結(jié)論（不必證明）：結(jié)論1.；結(jié)論2.；

②如圖3，若點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，則上述結(jié)論1、2是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

本例中，探究（1）就是最基本的一個(gè)鋪墊，它的證明并沒(méi)有多大難度，在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)大部分的學(xué)生都能解答探究（1）。但是，在探究（2）②中第二個(gè)結(jié)論的分析過(guò)程中能用上探究（1）方法的人極少。究其原因主要是大部分學(xué)生沒(méi)有仔細(xì)品味探究（1）的作用。對(duì)于本題的構(gòu)造過(guò)程無(wú)動(dòng)于衷，體會(huì)不到這里實(shí)際上是為第二問(wèn)的解決隱藏了一個(gè)方法，只是就題論題地解答了這個(gè)問(wèn)題，導(dǎo)致在探究（2）②中第二個(gè)結(jié)論時(shí)無(wú)從下手。

簡(jiǎn)析：（1）如圖1，為等邊三角形，，，

，，

同理：，為等邊三角形。

在中，，

在中，，

。

（2）結(jié)論1成立。證明：如圖5，連接

由作垂足為H，則

。

（2）結(jié)論2成立。證明：如圖6，過(guò)頂點(diǎn)依次作邊的垂線圍成。

由（1）得為等邊三角形且，

過(guò)點(diǎn)O分別作，，，

由結(jié)論1得： ，

又，

四邊形為矩形，

，同理：，

。

從以上的分析中，不難發(fā)現(xiàn)，解讀鋪墊材料的意義重大，因?yàn)樘骄款悊?wèn)題的解題策略與方法往往就隱藏在題目的背景材料之中。在教學(xué)過(guò)程中要引起足夠的重視，可以多選擇一些問(wèn)題與學(xué)生一起剖析、教會(huì)學(xué)生解讀鋪墊材料的方法。

三、簡(jiǎn)化圖形，突出重圍

幾何教學(xué)離不開幾何圖形，幾何問(wèn)題中所涉及的幾何圖形有基本圖形和復(fù)雜圖形，而這些復(fù)雜圖形又都是由一些基本圖形復(fù)合而成。不管遇到什么樣復(fù)雜的幾何問(wèn)題，只要能夠善于發(fā)現(xiàn)基本圖形，并熟練掌握這些基本圖形的構(gòu)成、形式及其性質(zhì)，這樣就能使模糊問(wèn)題清晰化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

例題 取一副三角板按圖7①拼接，固定三角板，將三角板繞點(diǎn)依順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)大小為的角（得到，如圖7②所示。試問(wèn)：

（1）當(dāng)為多少度時(shí)，能使得圖②中∥？

（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖7③位置，此時(shí)又為多少度？圖③中你能找出哪幾對(duì)相似三角形，并求其中一對(duì)的相似比。

（3）連結(jié)BD，當(dāng)時(shí)，探尋值的大小變化情況，并給出你的證明。

圖7

第三小題簡(jiǎn)析：（3）如圖連結(jié)，擦掉線段可以發(fā)現(xiàn)

構(gòu)成一個(gè)五角星。因?yàn)槲褰切堑奈鍌€(gè)角的和為，，所以的值的大小沒(méi)有變化，總是。

利用基本圖形及其性質(zhì)能比較有效地解決一些復(fù)雜問(wèn)題，采用復(fù)雜圖形基本化的策略，一般都會(huì)取得事半功倍的效果。

四、另辟蹊徑，殊途同歸

什么是幾何？偉大的數(shù)學(xué)家克萊因曾指出：“考慮空間的一個(gè)變換群，研究它的一切不變性質(zhì)或不變量就構(gòu)成一種幾何”。比如，一個(gè)形狀大小任意變化的四邊形，順次聯(lián)結(jié)各邊的中點(diǎn)所得的四邊形始終是平行四邊形。比如，一個(gè)三角形，它的一條底邊長(zhǎng)度不變，這條底邊的對(duì)角頂點(diǎn)在這條底邊的平行線上滑動(dòng)，而三角形的面積始終不變。也就是說(shuō)幾何的精髓是在不斷變化的幾何圖形中，研究不變的規(guī)律。

例題：在中，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。一等腰直角三角尺按如圖8所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為，一條直角邊與邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)。

（1）在圖8中請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量與的長(zhǎng)度，猜想并寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

（2）當(dāng)三角尺沿方向平移到圖9所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與邊在同一直線上，另一條直角邊交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)。此時(shí)請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量的長(zhǎng)度，猜想并寫出之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；

（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿方向繼續(xù)平移到圖10所示的位置（點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)與點(diǎn)不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說(shuō)明理由）

簡(jiǎn)析：此題以等腰直角三角尺與等腰的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為背景，旨在探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，問(wèn)題（1）是在圖8中，探究?jī)扇切卧谔厥馕恢孟聝删€段與滿足的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)≌容易解決。問(wèn)題（2）、問(wèn)題（3）是從通過(guò)三角板的移動(dòng)過(guò)渡到一般情況下的。圖9、圖10中猜想探究線段、與之間滿足的數(shù)量關(guān)系：，這一結(jié)論的證明給學(xué)生提供了更為廣闊的思維空間，從不同角度來(lái)分析，可以得出不同證法。如采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”構(gòu)造全等三角形：

證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，四邊形為矩形，∥。。，。又，，≌，。，即。

本題同時(shí)也隱含著一個(gè)基本性質(zhì)：等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上高的長(zhǎng)度。因此本題還可以運(yùn)用該性質(zhì)解題。

證明：連結(jié)，，又于點(diǎn)，于點(diǎn)，，， 。

本題是一道利用三角板為背景設(shè)計(jì)的題目，求解時(shí)一定要了解三角板的特性，使求解難度降低，通過(guò)求解我們還可以看出，三角板通過(guò)適當(dāng)?shù)牟僮髂茏兓贸鲈S多精彩的中考數(shù)學(xué)試題，近兩年的中考中就頻頻出現(xiàn)此類問(wèn)題。

五、解后反思，自主提升

教會(huì)學(xué)生解后反思、實(shí)現(xiàn)自主提升是提高探究類問(wèn)題解題能力的最有效的途徑。在教學(xué)過(guò)程中，教師不僅要強(qiáng)調(diào)思維的重要性與必要性，還要教會(huì)學(xué)生思維的方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣。從某種意義上說(shuō)習(xí)慣有時(shí)比方法更重要。解題的過(guò)程是一個(gè)學(xué)習(xí)的過(guò)程，孔子曰“學(xué)而不思則惘”。我們?cè)S多學(xué)生正是因?yàn)槿狈Ρ匾姆此?，?jīng)常迷惘，題目做了一道又一道，題型解了一類又一類，可到頭來(lái)還是一無(wú)所獲，碰到新題還是一頭霧水。

在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師首先要讓學(xué)生有反思的時(shí)間，教師在課堂中留出幾分鐘來(lái)讓學(xué)生進(jìn)行自主的感悟提升；其次是要教會(huì)學(xué)生反思的方法，反思不是解題過(guò)程的重復(fù)，不僅僅是訂正錯(cuò)題，也不僅僅是用紅筆寫出錯(cuò)誤的理由，反思是一個(gè)系統(tǒng)工程，一道題解完后，首先要讓學(xué)生反思的是思路的產(chǎn)生和確定過(guò)程，是突然的靈光一現(xiàn)，還是由己知條件層層推出，還是歷曲折之后的柳暗花明。作為答題者，在諸多合理性與必然性中，你有沒(méi)有想到？為什么會(huì)想到這一種解法？在對(duì)這些問(wèn)題的反思過(guò)程中，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在知識(shí)、方法和策略等方面的不足，從而找到努力的方向。

總之，探究類問(wèn)題的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)其教學(xué)策略的探討也應(yīng)是一個(gè)逐漸深入的過(guò)程。沒(méi)有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平。我們認(rèn)為傳授方法或解答后讓學(xué)生進(jìn)行反思、領(lǐng)悟是很好的方法，所以我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)應(yīng)留出足夠的時(shí)間來(lái)讓學(xué)生進(jìn)行反思，從而使學(xué)生盡快形成一種解題思路。

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