姚永

摘要：把空間幾何問題平面化，由簡單問題深入，研究綜合問題（實(shí)際問題）所存在的一般規(guī)律，從

而培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化問題和歸納的思維能力。

關(guān)鍵詞：平面化；轉(zhuǎn)化；能力

高中數(shù)學(xué)中的立體幾何問題，常常需要轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，有時(shí)可以起到化繁為簡的

作用。下面，筆者就一個(gè)簡單問題，談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

問題1：如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。

（1）求證：CD面ABB1A1；（2）求證AC1面CDB1；

（3）線段AB上是否存在點(diǎn)M，使得面CDB1。

分析：（1）一般地，線面垂直的證明問題都可轉(zhuǎn)化成線線垂直或面面垂直，本題有題設(shè)易知，故只需證明即可。

（2）線面平行的問題常常轉(zhuǎn)化為線線平行或面面平行，本

題思路一：考慮到點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，可以考慮連接，交于點(diǎn)F，連DF，只需證明。思路二：可以取的中點(diǎn)，連，問題轉(zhuǎn)化為證明面面即可。

（3）本題屬于探索性問題，可以假設(shè)存在點(diǎn)M，

由（1）知CD面ABB1A1，故只需AM DB1，從而問題

轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，簡化了問題。

解析：（1）、（2）證明略.

（3）由分析可知，問題轉(zhuǎn)化為在矩形的邊AB

上找一點(diǎn)M，使得成立，

設(shè)AC=a，則AB=，，要使的，由平幾知識(shí)可知，故點(diǎn)M與點(diǎn)B重合。

總結(jié)1：線面垂直的探索性問題通過轉(zhuǎn)化，成為一道平面幾何問題，從而把問題簡化。

問題2：在棱長為的正方體中，

求面和面的距離。

分析：考慮到面和面的位置關(guān)系為平行，且

同時(shí)和直線垂直，從而可以把問題轉(zhuǎn)化為：求夾在兩

平行平面間的線段長度問題。

解析：連結(jié)，設(shè)線段與面和面的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，由于E、F都在平面中，如右

圖，由平幾知識(shí)可知，而，所以

。

總結(jié)2：立體幾何問題平面化，從而把平行平面所夾線段長度問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，突出了問題的本質(zhì)，簡化了解題過程。

問題3：將一個(gè)半徑為5的水晶球放在如圖所示的工藝架上，支架是由三根金屬桿PA、PB、PC組成，它們兩兩成角。則水晶球的球心到支架P的距離是 .

分析：設(shè)球心為O，球與PA、PB、PC的交點(diǎn)分別為

A、B、C，則，由

于PA、PB、PC兩兩成角，所以，PA=PB=PC=AB

=AC=BC，從而，三棱錐P—ABC為正四面體，故點(diǎn)

P在面ABC上的射影為正三角形ABC的中心，又OA=OB=OC，所以球心O在面ABC上的射影也是正三角形ABC的中心，設(shè)三角形ABC的中心為點(diǎn)Q，則三點(diǎn)P、Q、O共線。這樣就可以把一個(gè)實(shí)際問題抽象為立體幾何問題，即

在空間組合體中，為正三棱錐，為正四面體，且

，如圖1，已知OA=5，求OP

考慮到，且點(diǎn)Q為三角形ABC的中心，問題可轉(zhuǎn)化為：

平面中，三角形OPA為直角三角形，角A為直角，AQ為PO

邊上的高，其中，AO=5，求OP的長。

通過這樣的轉(zhuǎn)化，使得很復(fù)雜的實(shí)際空間幾何問題轉(zhuǎn)化為簡

單的數(shù)學(xué)平面幾何問題，使得問題的難度大大的降低，簡解如下：

解析：設(shè)AP=a，OP=x，由于Q為三角形ABC的中心，所以

，再由等面積法可知

所以，球心到支架點(diǎn)P的距離為

總結(jié)3：一道復(fù)雜的立體幾何問題，通過兩次等價(jià)轉(zhuǎn)化，變成一道簡單的平面幾何問題，這就是轉(zhuǎn)化的魅力。

空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題是解決立體幾何問題的常用方法，有利于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力和問題的轉(zhuǎn)化能力。如：問題3，經(jīng)過這樣的分析和轉(zhuǎn)化，學(xué)生可以很快地掌握這一類問題的解法。當(dāng)然，還可以把這個(gè)問題引申為更一般的情形：

將一個(gè)半徑為cm的水晶球放在工藝架上，支架是由三根金屬桿PA、PB、PC組成，它們兩兩成的角為，則水晶球的球心到支架P的距離是 .

（答案為）