韓俊昭 任 錕 潘 駿 劉思路 尤靈敏 沈琦琦

1.浙江理工大學(xué)浙江省機(jī)電產(chǎn)品可靠性技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，310018

2.合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

0 引言

玻璃透明而質(zhì)硬，其制品在建筑、汽車、家具、裝潢等行業(yè)應(yīng)用廣泛［1-2］。玻璃成形加工是將不同厚度的長(zhǎng)方形毛坯玻璃先經(jīng)切割成形，再經(jīng)粗磨、精磨以及拋光工序加工后制成形狀多樣的玻璃產(chǎn)品。邊緣輪廓拋光是玻璃成形加工的最后一道工序，對(duì)產(chǎn)品品質(zhì)具有決定性的作用。拋光輪多采用環(huán)氧樹(shù)脂等有機(jī)材料作為微粉填料，環(huán)氧樹(shù)脂的硬度遠(yuǎn)低于玻璃材料的硬度，易于磨損，加工過(guò)程中其半徑會(huì)持續(xù)減?。?］，導(dǎo)致磨削率不斷減小，從而直接降低產(chǎn)品加工效率。為保證玻璃成形拋光加工效率，對(duì)玻璃與拋光輪接觸點(diǎn)相對(duì)線速度大小的基本恒定控制成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

眾多學(xué)者針對(duì)數(shù)控加工中的速度控制算法進(jìn)行了研究。Lai等［4］和 Dong［5］針對(duì)加加速度過(guò)大易導(dǎo)致機(jī)床有害振動(dòng)問(wèn)題，基于雙向?qū)?yōu)插補(bǔ)算法，提出加加速度可控，耗時(shí)最短的速度控制算法。Rew等［6］針對(duì)傳統(tǒng)S形加減速算法減速段較加速段易導(dǎo)致機(jī)床有害振動(dòng)問(wèn)題，將加減速段出現(xiàn)加加速度的時(shí)間比作為控制參數(shù)，提出了非對(duì)稱 S形加減速算法。姬俊峰等［7］和趙巍等［8］針對(duì)數(shù)控加工中減速距離計(jì)算、減速點(diǎn)判斷困難問(wèn)題，通過(guò)迭代的方法計(jì)算所需減速距離，給出實(shí)時(shí)減速點(diǎn)判定準(zhǔn)則，基于梯形和S形速度曲線實(shí)現(xiàn)NURBS曲線曲面插補(bǔ)時(shí)速度和加速度的平滑過(guò)渡。Yong等［9］針對(duì)路徑危險(xiǎn)點(diǎn)易導(dǎo)致輪廓誤差過(guò)大的問(wèn)題，在確定危險(xiǎn)拐角點(diǎn)、規(guī)劃危險(xiǎn)點(diǎn)前后區(qū)域速度的基礎(chǔ)上，提出了弓高誤差可控的參數(shù)式插補(bǔ)算法。Lin等［10］針對(duì)加工路徑尖銳拐角點(diǎn)易導(dǎo)致工件輪廓誤差過(guò)大問(wèn)題，基于伺服動(dòng)態(tài)性能，采用估測(cè)、校正、反饋的閉環(huán)速控制策略，提出了實(shí)時(shí)前瞻速度控制算法。綜上所述，基于S形或梯形加減速控制算法，考慮弓高誤差、輪廓誤差和機(jī)床有害振動(dòng)等因素，規(guī)劃數(shù)控機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸加減速曲線，是各類數(shù)控加工中速度控制的主要方法。由于形式和參數(shù)固定，S形或梯形加減速曲線在拼接、修改方面不具有柔性。而在玻璃成形拋光過(guò)程中，由于加減速的頻繁性和玻璃材料的脆性，需要采用柔性與易控性更好的速度控制算法。

本文針對(duì)玻璃成形拋光過(guò)程中相對(duì)線速度變化從而影響加工效率的問(wèn)題，以相對(duì)線速度基本恒定為目標(biāo)，基于三次NURBS曲線的柔性和可控性，研究適于玻璃材料拋光加工的速度控制算法。

1 加減速特性曲線控制點(diǎn)的確定

1.1 線性加減速算法

線性加減速控制是指伺服電機(jī)在啟動(dòng)與停止時(shí)脈沖頻率或電壓按照線性規(guī)律變化。其變化過(guò)程曲線如圖1所示，速度曲線為OABC，0～t1為加速階段，t1～t2為勻速階段，t2～t3為減速階段。

1.2 三次 NURBS加減速特性曲線控制點(diǎn)的確定

玻璃成形拋光過(guò)程中，磨損導(dǎo)致拋光輪半徑持續(xù)減小，玻璃與拋光輪接觸點(diǎn)相對(duì)線速度隨之降低，為保證加工效率，應(yīng)實(shí)時(shí)提高拋光輪中心速度。針對(duì)上述拋光輪中心速度變化情況，基于三次NURBS曲線，研究相應(yīng)的加減速控制算法。

1.2.1三次NURBS曲線的定義

一條三次NURBS曲線的定義為［11-12］

式中，pi為控制點(diǎn);wi為權(quán)因子;Ni，3(u)為定義在非周期節(jié)點(diǎn)矢量上的三次B樣條基函數(shù)，一般取a=0，b=1。1.2.2砂輪中心速度變化曲線控制點(diǎn)的確定

如圖2所示，連接點(diǎn)p0和p6，得到線性加速直線l，并基于DeCasteliau算法，圍繞直線l，采用割角的方法得到所規(guī)劃速度曲線s的7個(gè)控制點(diǎn)p0、p1、p2、p3、p4、p5、p6，其坐標(biāo)如下:

式中，ts為加速初始時(shí)刻;vs為與ts對(duì)應(yīng)的速度;te為加速終點(diǎn)時(shí)刻;ve為與te對(duì)應(yīng)的速度。

圖2 速度變化曲線的7個(gè)控制點(diǎn)

2 速度控制曲線的確定

2.1 拋光輪中心末速度的計(jì)算

玻璃成形拋光加工過(guò)程中，拋光輪的持續(xù)磨損可用Preston公式進(jìn)行說(shuō)明:

式中，Δl為單位拋光時(shí)間內(nèi)的材料去除量;Δt為單位拋光時(shí)間;C為Preston系數(shù);kpω為拋光輪材料彈性系數(shù);Fpω為理想進(jìn)給量;ΔR為拋光輪磨損量;vr為玻璃與拋光輪接觸點(diǎn)相對(duì)線速度。

由式(3)可知，為保證玻璃成形拋光效率，應(yīng)保持vr基本恒定［12］。

如圖3所示，R為拋光輪初始半徑，ω為拋光輪角速度，vs為拋光輪初始中心速度，則玻璃與拋光輪接觸點(diǎn)相對(duì)線速度為

圖3 玻璃邊緣拋光三維視圖

加工一段時(shí)間后，隨著拋光輪磨損量ΔR的持續(xù)增加，加工效率不斷降低，為保證加工效率，需將相對(duì)線速度適時(shí)提高。根據(jù)式(4)，相對(duì)線速度的大小與拋光輪中心速度相關(guān)，可通過(guò)提高拋光輪中心速度來(lái)影響相對(duì)線速度的大小，結(jié)合式(3)，得出拋光輪半徑變化后，中心末速度表達(dá)式如下:

2.2 三次NURBS速度控制曲線

根據(jù)式(2)確定加減速特性曲線控制點(diǎn);根據(jù)式(5)確定拋光輪中心末速度值，規(guī)劃從vs～ve的速度控制曲線。基于邊界和二階連續(xù)條件，得出與控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)因子約束條件如下:

式中，ja為控制點(diǎn)p0處的初始加加速度;jb為控制點(diǎn)p6處的末加加速度;jmax1為在時(shí)間［ts，(ts+te)/2］段內(nèi)的最大加加速度;jmax2為在時(shí)間［(ts+te)/2，te］段內(nèi)的最大加加速度;ωi(i=0，1，…，6)為與7個(gè)控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的7個(gè)權(quán)因子，且 ωi＞ 0，ω0= ω6，ω1= ω5，ω2= ω4。

式(6)為非線性方程組，采用牛頓迭代的方法對(duì)其進(jìn)行求解。牛頓迭代方程和迭代準(zhǔn)則如下:

式中，k表示第 k次迭代;c為最終迭代次數(shù);ε為迭代誤差。

結(jié)合式(7)和式(8)，給出一組迭代初值，就可以通過(guò)牛頓迭代的方法求出與控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)的7個(gè)權(quán)因子。在控制點(diǎn)和權(quán)因子確定之后，根據(jù)式(1)，就可以求出分段三次NURBS速度控制方程如下:

式中，Ni，3(u)(i=0，1，2，3)為定義在非周期節(jié)點(diǎn)向量上的三次B樣條基函數(shù)，u∈［0，0.25］。

式中，Ni，3(u)(i=1，2，3，4)為定義在非周期節(jié)點(diǎn)向量上的三次B樣條基函數(shù)，u∈［0.25，0.5］。

式中，Ni，3(u)(i=2，3，4，5)為定義在非周期節(jié)點(diǎn)向量上的三次B樣條基函數(shù)，u∈［0.5，0.75］。

式中，Ni，3(u)(i=3，4，5，6)為定義在非周期節(jié)點(diǎn)向量上的三次B樣條基函數(shù)，u∈［0.75，1］。

這些先進(jìn)的知識(shí)分子在積極宣傳馬克思主義的同時(shí)，也在宣傳著馬克思主義中國(guó)化的思想。李大釗指出：“一個(gè)社會(huì)主義者，為使他的主義在世界上發(fā)生一些影響，必須要研究怎樣可以把他的理想應(yīng)用于環(huán)繞著他的實(shí)境?！保?］34他認(rèn)為社會(huì)主義者“應(yīng)該細(xì)細(xì)地研考馬克思的唯物史觀，怎樣應(yīng)用于中國(guó)今日的政治經(jīng)濟(jì)情形”［7］711。這里所說(shuō)的“環(huán)繞著他的實(shí)境”和“中國(guó)今日的政治經(jīng)濟(jì)情形”，實(shí)際上指的就是中國(guó)的“基本國(guó)情”問(wèn)題。這也表明，中國(guó)共產(chǎn)黨人在宣傳馬克思主義的過(guò)程中，實(shí)際上也在使馬克思主義中國(guó)化，只是這時(shí)還是朦朧的、無(wú)意識(shí)的。

3 參數(shù)曲線插補(bǔ)控制算法

參數(shù)式曲線插補(bǔ)是指CNC系統(tǒng)依據(jù)插補(bǔ)周期、進(jìn)給速度的關(guān)系找到每個(gè)時(shí)間點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的路徑位置，將表達(dá)工件輪廓的參數(shù)式曲線轉(zhuǎn)換成控制指令驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)在對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軸上進(jìn)給，實(shí)現(xiàn)空間上對(duì)工件輪廓的加工。針對(duì)玻璃成形拋光加工，下面采用四階龍格－庫(kù)塔方法確定四個(gè)初始點(diǎn)，再由米勒－漢明預(yù)測(cè)校正法則進(jìn)行滾動(dòng)迭代校正，確保加工精度。

3.1 單步法確定初始值

加工曲線s(μ)的參數(shù)表示式如下:

式中，x、y為位置坐標(biāo);μ為曲線參數(shù)(0≤μ≤1)，同時(shí)是時(shí)間t的函數(shù)。

定義 μn=μ(tn)，迭代插值表達(dá)式如下式所示:

式中，T為插補(bǔ)周期;μk+1為tk+1時(shí)刻對(duì)應(yīng)的參數(shù);μk為tk時(shí)刻對(duì)應(yīng)的參數(shù);Δ(μk)為在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)與μk相關(guān)的變化量。

結(jié)合前面給出的三次分段NURBS加減速控制方程，可以得到插補(bǔ)速度與曲線弧長(zhǎng)及插補(bǔ)時(shí)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，參數(shù)μ與時(shí)間t的微分表達(dá)式如下:

式中，v(t)為插補(bǔ)速度。

在此基礎(chǔ)上，采用四階龍格 －庫(kù)塔數(shù)值方法確定參數(shù) μ 的初始值 μ1、μ2、μ3，即

在實(shí)際加工過(guò)程中Δ(μk)存在誤差，并且隨著加工速度的增大而不斷增大。同時(shí)Δ(μk)所具有的誤差在插補(bǔ)過(guò)程中無(wú)法得到校正，因此基于數(shù)值分析理論，提出多步預(yù)測(cè) －校正算法。

3.2 多步法預(yù)測(cè) －校正算法

在3.1節(jié)中由龍格－庫(kù)塔數(shù)值方法得到參數(shù)μ 的 4 個(gè)初始值 μk－3、μk－2、μk－1、μk，結(jié)合式(15)得到對(duì)應(yīng)的 μ'k－3、μ'k－2、μ'k－1、μ'k，代入米勒方程得到下一個(gè)點(diǎn)插補(bǔ)位置μk+1的預(yù)測(cè)值:

相對(duì)應(yīng)式(17)中的μk+1，代入式(15)得到μ'k+1。再將μ'k+1代入米勒 －漢明方程得到修正值如下:

預(yù)測(cè)－修正公式對(duì)插補(bǔ)精度的影響通過(guò)相對(duì)誤差來(lái)保證:

其中，ζ為插補(bǔ)精度，當(dāng)式(19)不能滿足時(shí)，則繼續(xù)使用式(18)進(jìn)行修正，直到滿足插補(bǔ)精度為止。上述預(yù)測(cè)－校正方法可以用圖4的流程圖表示。

圖4 預(yù)測(cè)-校正模型

4 試驗(yàn)

4.1 試驗(yàn)設(shè)備

如圖5所示，試驗(yàn)基于項(xiàng)目組前期研發(fā)的CNC玻璃切割磨邊加工中心，運(yùn)動(dòng)軸x有效行程為1500mm，運(yùn)動(dòng)軸y有效行程為2500mm，運(yùn)動(dòng)軸z的有效行程為60mm。設(shè)備控制系統(tǒng)構(gòu)架如圖6所示，采用DSP+PC構(gòu)架，DSP時(shí)鐘振蕩周期為40MHz。

圖5 CNC玻璃切割磨邊加工中心

4.2 加工路徑

試驗(yàn)加工對(duì)象為厚度為12mm的浮法玻璃，拋光輪初始半徑為75mm，磨削時(shí)主軸轉(zhuǎn)速為5000r/min，最大加工速度為12m/min，插補(bǔ)周期T=2ms，最大加速度amax=600mm/s2，最大加加速度jmax=15m/s3，加工路徑如圖7所示。加工路徑總長(zhǎng)度為7.801m，初始加工位置為A點(diǎn)，按箭頭所示方向順時(shí)針加工，B、D、F、H、J、L、M 為路徑高曲率點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量和計(jì)算知，點(diǎn) C、E、G、I、K、N 為砂輪中心速度適時(shí)提高的位置，砂輪中心采用的速度曲線、加速度曲線、加加速度曲線如圖8～圖10所示，玻璃與刀具接觸點(diǎn)相對(duì)線速度在受控情況下的速度曲線如圖11所示，玻璃與刀具接觸點(diǎn)相對(duì)線速度在未受控情況下的速度曲線如圖12所示。

圖6 控制系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)

圖7 加工路徑

圖8 拋光輪中心速度曲線

圖9 拋光輪中心加速度曲線

4.3 結(jié)果分析

圖10 拋光輪中心加加速度曲線

圖11 接觸點(diǎn)線速度受控制情況下的速度曲線

圖12 接觸點(diǎn)線速度未受控制情況下的速度曲線

如圖8所示，玻璃成形拋光過(guò)程中，在本文提出算法的控制下，拋光輪中心速度會(huì)適時(shí)提高以補(bǔ)償拋光輪磨損導(dǎo)致的相對(duì)線速度減小。且拋光輪中心加速度連續(xù)(圖9)、加加速度可控(圖10)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)控軸加工過(guò)程中速度變化的平滑。

如圖11所示，在本文提出算法的控制下，由于拋光輪中心速度的適時(shí)提高，接觸點(diǎn)的相對(duì)線速度保持基本恒定。反之，如沒(méi)有應(yīng)用本文所提算法，如圖12所示，由于拋光輪的持續(xù)磨損，拋光輪線速度持續(xù)降低。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在本文提出算法的控制下，磨削如圖7所示玻璃輪廓所需時(shí)間為72s，如沒(méi)有應(yīng)用本文所提算法，磨削所需時(shí)間為91s，加工效率提高了20.9%。

如圖13a所示，如沒(méi)有應(yīng)用本文所提算法，玻璃輪廓尖銳拐點(diǎn)處刀具容易抖動(dòng)而損傷玻璃，產(chǎn)生次品。反之，在本文提出算法的控制下，如圖13b所示，玻璃輪廓尖銳拐點(diǎn)處的加工質(zhì)量可以得到較好保證。

圖13 玻璃輪廓尖銳拐點(diǎn)處的拋光

5 結(jié)論

(1)針對(duì)數(shù)控玻璃成形加工過(guò)程中拋光輪磨損導(dǎo)致相對(duì)線速度減小而導(dǎo)致加工效率降低問(wèn)題，提出基于三次NURBS曲線的速度控制算法，保證了相對(duì)線速度的基本恒定，提高了加工效率。

(2)試驗(yàn)結(jié)果證明，基于三次NURBS曲線的速度控制算法具有較好的柔性與可控性，結(jié)合預(yù)測(cè)校正參數(shù)曲線插補(bǔ)算法，能夠有效控制玻璃輪廓尖銳拐點(diǎn)處的加加速度大小，保證加工質(zhì)量。

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