程心亮

摘 要：極限思想是中學(xué)階段重要的教學(xué)思想和內(nèi)容。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分認(rèn)識極限思想在培養(yǎng)學(xué)生方面的“特殊”作用及意義，對教材中所涉及的極限思想內(nèi)容應(yīng)加大滲透力度。

關(guān)鍵詞：極限思想；滲透；反思

一、問題的提出

極限思想是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理學(xué)等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用。近年來，我國加快了中小學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的進(jìn)程，一定程度上改進(jìn)了以往傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)理念，在重視基本知識達(dá)標(biāo)和基本技能掌握的同時，逐漸關(guān)注數(shù)學(xué)思想的形成和滲透。

作為數(shù)學(xué)思想中非常重要的極限思想，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中能否被滲透？如果可以，又該如何開展教學(xué)？顯然，要回答這一系列問題并不輕松。一方面，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）》（以下簡稱《課標(biāo)》）對初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)水平劃分為四個層次，即“了解”、“理解”、“掌握”和“運用”。由于極限的思想方法只定位在“了解”的層面，因此教學(xué)設(shè)計應(yīng)以初中階段學(xué)生認(rèn)知心理和思維發(fā)展水平以及課堂教學(xué)的有效性為前提，把握這個“度”，不能隨意加以拔高或加深。另一方面，人教版、華東師大版和蘇科版教材在九年級安排“圓周率——圓的周長與直徑的比值”等內(nèi)容時明確運用了極限的思想方法，通過一節(jié)初中階段學(xué)生計算圓周率的值的研究性學(xué)習(xí)展示課設(shè)計，對如何滲透隱含的數(shù)學(xué)思想方法——極限思想進(jìn)行過有益的探討。有學(xué)者曾做過學(xué)生在初二階段進(jìn)行極限思想的基礎(chǔ)——極限概念的教學(xué)的實驗研究，實驗結(jié)論在一定程度上肯定了在初中二年級學(xué)生中開展嚴(yán)格定義下的“極限”概念教學(xué)的可行性。事實上，教學(xué)中在已知三角形兩邊長求周長的取值范圍時，就自覺或不自覺的滲透了極限思想的方法。

鑒于《課標(biāo)》中對極限思想的教學(xué)要求停留在“了解”階段，因此教材雖有所涉及，但還停留在作為閱讀材料或研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容的層面上，是否在常規(guī)教學(xué)中作必要安排還未“蓋棺定論”，故筆者在多次聽課中特別留意部分教師在教學(xué)中對此重視不夠或匆匆?guī)н^的情況。老師對學(xué)生不作要求或只是讓學(xué)生自學(xué)了解，對極限思想的作用認(rèn)識不足，這個現(xiàn)象引起筆者的思考。極限思想在現(xiàn)今的初中階段教學(xué)中如何滲透？滲透極限思想的意義在哪里？在此同大家探討，談一些自己的認(rèn)識。

二、極限思想應(yīng)結(jié)合學(xué)生操作活動和反省抽象加以滲透

數(shù)學(xué)思想方法具有過程性和操作性的特點，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用中，蘊(yùn)涵于具體的操作過程中。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種經(jīng)驗性的活動，經(jīng)驗性的重要表現(xiàn)在于操作運算行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)生的基礎(chǔ)性行為。因此，極限思想的教學(xué)需要以知識內(nèi)容和操作活動為載體，將極限思想處理問題的方法融進(jìn)某些具體的知識教學(xué)和操作活動過程中，使極限思想的教學(xué)“自然而然”地發(fā)生，便于學(xué)生對極限思想的方法有初步的直觀感受，逐步達(dá)到滲透的目的。如“圓的切線定義”的教學(xué)中可創(chuàng)設(shè)相應(yīng)問題情境和組織活動對極限思想加以滲透：

直線l和⊙O相交于A、B兩點.（如圖1）

取線段AB中點為，C連接OC，延長OC交⊙O于D，則易知OD⊥l，平移l交⊙O于A1、B1，則有OD平分A1B1且OD⊥A1B1，仍有OD⊥l.

仿照上述過程繼續(xù)這樣下去，可知線段AnBn逐漸縮短，易得OD平分AnBn且OD⊥AnBn，同時，亦有OD⊥l；最后線段AnBn收縮為一點（即D點），此時l即為⊙O的切線。（如圖2）

■

運用極限在處理問題時，需要對研究變量的變化趨勢作分析和判斷。這就需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、驗證等過程，發(fā)揮他們相應(yīng)年齡段的思維特長，這便切合初中階段學(xué)生的心理認(rèn)知特點，利于學(xué)生形成對極限思想的直觀感受，為極限相關(guān)知識的后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

近年來，隨著國內(nèi)對結(jié)構(gòu)主義理論的深入研究，我們認(rèn)識到教學(xué)中“知識不是由認(rèn)知主體被動接受的，而是主動建造的”。在主動建構(gòu)和原有概念認(rèn)知發(fā)生轉(zhuǎn)變中，學(xué)生應(yīng)具有一種怎樣的心理機(jī)制呢？操作活動提供了學(xué)生組織極限概念的基礎(chǔ)，卻并未提供極限概念本身。要構(gòu)造學(xué)習(xí)者理解的極限概念，達(dá)到學(xué)習(xí)極限思想的目的，關(guān)鍵是一種思想上的飛躍，即皮亞杰提出的“反省抽象”。反省，就是返身、反思，自己進(jìn)行了實踐性活動（如習(xí)題解答等操作活動），然后“脫身”出來，以一個“局外人”的身份來重新審視自己所做之事，將其置于被自己思考的地位上加以考慮，這時自己的活動轉(zhuǎn)變?yōu)樗伎嫉膶ο?，并由此歸結(jié)出某個結(jié)論，就是反省抽象。例如：已知三角形兩邊長分別是3和8，把求該三角形的周長范圍的解題過程當(dāng)成思考對象（在此可設(shè)第三邊長為a，三角形周長為l，則第三邊的范圍為5

這里需要注意，從學(xué)生極限思想學(xué)習(xí)過程中觀察教師示范、自己動手操作和對它的反省這二者關(guān)系上看，操作活動是被反省的對象，是不可或缺的基礎(chǔ)，反省則要依賴這一基礎(chǔ)方能展開，方能做到“有的放矢”，這是兩個不同層次上的活動。所以，極限思想的方法要能在初中階段有效滲透，關(guān)鍵是建立在教學(xué)“過程化”的基礎(chǔ)上。沒有基礎(chǔ)性的認(rèn)知和操作等“過程化”活動，反省就成了無源之水。操作活動達(dá)不到一定強(qiáng)度，“水源”就會萎縮，甚至?xí)珊浴?/p>

三、初中階段教學(xué)中滲透極限思想的意義

盡管《課標(biāo)》明晰了數(shù)學(xué)思想方法的作用，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想的生成與滲透，但對學(xué)生的評判標(biāo)準(zhǔn)主要依據(jù)應(yīng)試指標(biāo)，以行為主義為指導(dǎo)的“雙基”理論對我國數(shù)學(xué)教育的影響深遠(yuǎn)，這就使得不少初中數(shù)學(xué)一線教師更注重教學(xué)中與應(yīng)試要求相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法。那么在現(xiàn)階段極限思想的方法并不屬于測試中需要掌握和考查的一類，教學(xué)對此并未作必要的安排，重視程度不夠的背景下，應(yīng)如何認(rèn)識極限思想的作用和意義呢？

（一）極限思想為某些教學(xué)難點的處理開辟了途徑

極限思想的方法往往是建立變量，并且首先確定它的一連串越來越準(zhǔn)確的近似值，通過考察這一連串近似值的趨向，把變量的準(zhǔn)確值確定下來。這就意味著學(xué)生可從分析簡單情況入手，在此過程中通過“觀察”、“計算”、“推測”，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，獲得必要結(jié)論，這就為教學(xué)中處理某些難點開辟了途徑。如特殊角的三角函數(shù)值是教學(xué)中的一個難點，教學(xué)中往往直接給出結(jié)論，缺乏必要的“過程”和“理由”，學(xué)生理解較為困難。

這里若是借助極限思想加以解決，則可幫助學(xué)生突破這一難點。（如圖3）在Rt△ABC中，∠C為直角，設(shè)BC=a，AC=b，則cos∠A=■，則當(dāng)BC逐漸縮短，即原∠A不斷縮小時，如圖4所示，有cos∠BnAC=■，易知當(dāng)BC不斷縮短，即原∠A不斷縮小為0°時，cos∠BnAC=■的值越來越靠近1，由此我們可規(guī)定cos0°=1，仿照類似過程，利用極限思想的方法，我們還可得到0°或90°的其他三角函數(shù)值。

■

學(xué)生常在教學(xué)難點上產(chǎn)生理解障礙，這種情況主要發(fā)生在教學(xué)中知識脈絡(luò)的不連續(xù)處，或是一個特殊知識系列的起點處。在這些地方，學(xué)生學(xué)習(xí)所需的已有知識（即認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有緊密關(guān)系的知識點）同新知識的關(guān)聯(lián)比較薄弱或者根本不存在，就容易引起學(xué)習(xí)問題和認(rèn)知空缺。而極限思想通過探究某一變量的變化趨勢對問題加以分析和解決，依托極限思想的“過程性”優(yōu)勢，使得問題探究變得“循序漸進(jìn)，由淺入深”，這就意味著學(xué)生的新知學(xué)習(xí)同已有知識儲備間容易建立必要的聯(lián)系，客觀上為理解“難點”突破了認(rèn)知上的障礙。如圓切線性質(zhì)中關(guān)于“圓的切線和圓有且僅有一個交點”就是一個教學(xué)難點，但此問題若是仿照前文所述，借助極限思想對圓切線的定義作“過程性”探究，則容易突破這一教學(xué)難點。

（二）極限思想為進(jìn)一步學(xué)習(xí)某些知識難點作鋪墊

作為中學(xué)階段最基本和最重要的一類數(shù)學(xué)思想，極限思想除具有一般數(shù)學(xué)思想具有的教育作用和意義外，更由于其特有的分析處理問題的方法，凸顯其在培養(yǎng)學(xué)生方面所具有的“特殊”價值和意義。

《課標(biāo)》積極倡導(dǎo)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，提供給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的[9]，這反映到學(xué)生培養(yǎng)上就是將傳統(tǒng)的知識傳授型轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰ε囵B(yǎng)型，在注重傳統(tǒng)“雙基”的達(dá)成的同時，更加注重知識的生成過程，畢竟，“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么[10]”。極限思想在探究問題方面特有的“過程性”，意味著學(xué)生在運用極限思想進(jìn)行某些新知學(xué)習(xí)時，可借助已有認(rèn)知儲備，主動建構(gòu)自己的新知識。如前文所述在運用極限思想探尋特殊角（如0°或90°）的三角函數(shù)值的過程中，學(xué)生就可利用前面所學(xué)的勾股定理、三角形相似性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識開展對問題的自主探究，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，形成嚴(yán)密的推理能力都是大有裨益的.

維果茨基（Lev Vygotsky）認(rèn)為，好的學(xué)習(xí)內(nèi)容更應(yīng)當(dāng)是“發(fā)展性”的，即內(nèi)容安排、問題設(shè)置應(yīng)處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”（zone of proximal development），應(yīng)著眼于學(xué)生未來的教育和發(fā)展。由此，初中數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)當(dāng)以學(xué)生發(fā)展的昨天，而應(yīng)當(dāng)以學(xué)生發(fā)展的明天為方向，只有這樣，數(shù)學(xué)才能在教學(xué)過程中激勵那些目前尚處于“最近發(fā)展區(qū)內(nèi)”的學(xué)生，為培養(yǎng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)所需的辯證思考、邏輯推理能力打下基礎(chǔ)。在筆者看來，初中階段對極限思想作必要滲透不只是為順利銜接高中階段極限及與之相關(guān)知識如（導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)）作鋪墊，也是為更深層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

解決上述問題的關(guān)鍵在于學(xué)生具有必要的認(rèn)知鋪墊和知識基礎(chǔ)。事實上，在我們初中階段就可嘗試通過極限思想的滲透加以實施。例如在求代數(shù)式■（n取自然數(shù)）的值的教學(xué)中，不拘泥于求n為某具體數(shù)值時代數(shù)式的值，而是通盤考慮，將極限思想的“過程化”貫穿其中，引導(dǎo)學(xué)生探究n取一般自然數(shù)時代數(shù)式的取值情況，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)■在n不斷增大的情況下其值不斷接近■時，可轉(zhuǎn)而引導(dǎo)學(xué)生考慮n為何值時，■與■差值的絕對值小于某個具體數(shù)值（如■），再深入下去，■與■差值的絕對值小于任意正數(shù)n時的取值又是怎樣的？這一滲透處于學(xué)生初中發(fā)展階段中的“最近發(fā)展區(qū)”（zone of proximal development），屬于雖不能獨立但可以在教師幫助下進(jìn)行學(xué)習(xí)的內(nèi)容；同時，這一過程亦是和現(xiàn)在不少大學(xué)教學(xué)中先讓學(xué)生計算某一具體？著和N，逐步將難點與心理結(jié)構(gòu)中相關(guān)內(nèi)容加以聯(lián)系，一段時日后再綜合成以？著-N為語言的定義理解的以分散難點為原理的教學(xué)方式一脈相承的.這樣，通過在初中階段滲透極限相關(guān)的思想方法，層層鋪墊，就為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)更高層次的內(nèi)容做好認(rèn)知鋪墊和準(zhǔn)備。

四、感悟

有鑒于此，筆者認(rèn)為，在初中階段應(yīng)充分挖掘教材，結(jié)合已有知識內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)利于學(xué)生開展操作活動和反省抽象的問題情境，對現(xiàn)行教材中有所涉及但還未作必要安排的極限思想加以滲透。這一過程符合初中階段學(xué)生的認(rèn)知特點，有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，豐富學(xué)生的認(rèn)知思維策略，提升他們解決問題的能力，也為將來順利開展更高層次的關(guān)于極限相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好充分的認(rèn)知儲備。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[2]中華人民共和國教育部制定.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3]周淮水等.在初中二年級試教代數(shù)“極限”部分的實驗研究[J]，心理學(xué)報，1960（4）.

[4]李士錡.熟能生巧嗎[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1996（5）.

[5]奧蘇貝爾.教育心理學(xué)-學(xué)與教的原理[M].上海：上海教育出版社，1983.

[6]維果茨基.維果茨基兒童心理與教育論著選[M].杭州：杭州大學(xué)出版社，1999.

（責(zé)任編輯：張華偉）

（一）極限思想為某些教學(xué)難點的處理開辟了途徑

極限思想的方法往往是建立變量，并且首先確定它的一連串越來越準(zhǔn)確的近似值，通過考察這一連串近似值的趨向，把變量的準(zhǔn)確值確定下來。這就意味著學(xué)生可從分析簡單情況入手，在此過程中通過“觀察”、“計算”、“推測”，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，獲得必要結(jié)論，這就為教學(xué)中處理某些難點開辟了途徑。如特殊角的三角函數(shù)值是教學(xué)中的一個難點，教學(xué)中往往直接給出結(jié)論，缺乏必要的“過程”和“理由”，學(xué)生理解較為困難。

這里若是借助極限思想加以解決，則可幫助學(xué)生突破這一難點。（如圖3）在Rt△ABC中，∠C為直角，設(shè)BC=a，AC=b，則cos∠A=■，則當(dāng)BC逐漸縮短，即原∠A不斷縮小時，如圖4所示，有cos∠BnAC=■，易知當(dāng)BC不斷縮短，即原∠A不斷縮小為0°時，cos∠BnAC=■的值越來越靠近1，由此我們可規(guī)定cos0°=1，仿照類似過程，利用極限思想的方法，我們還可得到0°或90°的其他三角函數(shù)值。

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學(xué)生常在教學(xué)難點上產(chǎn)生理解障礙，這種情況主要發(fā)生在教學(xué)中知識脈絡(luò)的不連續(xù)處，或是一個特殊知識系列的起點處。在這些地方，學(xué)生學(xué)習(xí)所需的已有知識（即認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有緊密關(guān)系的知識點）同新知識的關(guān)聯(lián)比較薄弱或者根本不存在，就容易引起學(xué)習(xí)問題和認(rèn)知空缺。而極限思想通過探究某一變量的變化趨勢對問題加以分析和解決，依托極限思想的“過程性”優(yōu)勢，使得問題探究變得“循序漸進(jìn)，由淺入深”，這就意味著學(xué)生的新知學(xué)習(xí)同已有知識儲備間容易建立必要的聯(lián)系，客觀上為理解“難點”突破了認(rèn)知上的障礙。如圓切線性質(zhì)中關(guān)于“圓的切線和圓有且僅有一個交點”就是一個教學(xué)難點，但此問題若是仿照前文所述，借助極限思想對圓切線的定義作“過程性”探究，則容易突破這一教學(xué)難點。

（二）極限思想為進(jìn)一步學(xué)習(xí)某些知識難點作鋪墊

作為中學(xué)階段最基本和最重要的一類數(shù)學(xué)思想，極限思想除具有一般數(shù)學(xué)思想具有的教育作用和意義外，更由于其特有的分析處理問題的方法，凸顯其在培養(yǎng)學(xué)生方面所具有的“特殊”價值和意義。

《課標(biāo)》積極倡導(dǎo)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，提供給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的[9]，這反映到學(xué)生培養(yǎng)上就是將傳統(tǒng)的知識傳授型轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰ε囵B(yǎng)型，在注重傳統(tǒng)“雙基”的達(dá)成的同時，更加注重知識的生成過程，畢竟，“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么[10]”。極限思想在探究問題方面特有的“過程性”，意味著學(xué)生在運用極限思想進(jìn)行某些新知學(xué)習(xí)時，可借助已有認(rèn)知儲備，主動建構(gòu)自己的新知識。如前文所述在運用極限思想探尋特殊角（如0°或90°）的三角函數(shù)值的過程中，學(xué)生就可利用前面所學(xué)的勾股定理、三角形相似性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識開展對問題的自主探究，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，形成嚴(yán)密的推理能力都是大有裨益的.

維果茨基（Lev Vygotsky）認(rèn)為，好的學(xué)習(xí)內(nèi)容更應(yīng)當(dāng)是“發(fā)展性”的，即內(nèi)容安排、問題設(shè)置應(yīng)處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”（zone of proximal development），應(yīng)著眼于學(xué)生未來的教育和發(fā)展。由此，初中數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)當(dāng)以學(xué)生發(fā)展的昨天，而應(yīng)當(dāng)以學(xué)生發(fā)展的明天為方向，只有這樣，數(shù)學(xué)才能在教學(xué)過程中激勵那些目前尚處于“最近發(fā)展區(qū)內(nèi)”的學(xué)生，為培養(yǎng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)所需的辯證思考、邏輯推理能力打下基礎(chǔ)。在筆者看來，初中階段對極限思想作必要滲透不只是為順利銜接高中階段極限及與之相關(guān)知識如（導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)）作鋪墊，也是為更深層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

解決上述問題的關(guān)鍵在于學(xué)生具有必要的認(rèn)知鋪墊和知識基礎(chǔ)。事實上，在我們初中階段就可嘗試通過極限思想的滲透加以實施。例如在求代數(shù)式■（n取自然數(shù)）的值的教學(xué)中，不拘泥于求n為某具體數(shù)值時代數(shù)式的值，而是通盤考慮，將極限思想的“過程化”貫穿其中，引導(dǎo)學(xué)生探究n取一般自然數(shù)時代數(shù)式的取值情況，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)■在n不斷增大的情況下其值不斷接近■時，可轉(zhuǎn)而引導(dǎo)學(xué)生考慮n為何值時，■與■差值的絕對值小于某個具體數(shù)值（如■），再深入下去，■與■差值的絕對值小于任意正數(shù)n時的取值又是怎樣的？這一滲透處于學(xué)生初中發(fā)展階段中的“最近發(fā)展區(qū)”（zone of proximal development），屬于雖不能獨立但可以在教師幫助下進(jìn)行學(xué)習(xí)的內(nèi)容；同時，這一過程亦是和現(xiàn)在不少大學(xué)教學(xué)中先讓學(xué)生計算某一具體？著和N，逐步將難點與心理結(jié)構(gòu)中相關(guān)內(nèi)容加以聯(lián)系，一段時日后再綜合成以？著-N為語言的定義理解的以分散難點為原理的教學(xué)方式一脈相承的.這樣，通過在初中階段滲透極限相關(guān)的思想方法，層層鋪墊，就為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)更高層次的內(nèi)容做好認(rèn)知鋪墊和準(zhǔn)備。

四、感悟

有鑒于此，筆者認(rèn)為，在初中階段應(yīng)充分挖掘教材，結(jié)合已有知識內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)利于學(xué)生開展操作活動和反省抽象的問題情境，對現(xiàn)行教材中有所涉及但還未作必要安排的極限思想加以滲透。這一過程符合初中階段學(xué)生的認(rèn)知特點，有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，豐富學(xué)生的認(rèn)知思維策略，提升他們解決問題的能力，也為將來順利開展更高層次的關(guān)于極限相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好充分的認(rèn)知儲備。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[2]中華人民共和國教育部制定.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3]周淮水等.在初中二年級試教代數(shù)“極限”部分的實驗研究[J]，心理學(xué)報，1960（4）.

[4]李士錡.熟能生巧嗎[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1996（5）.

[5]奧蘇貝爾.教育心理學(xué)-學(xué)與教的原理[M].上海：上海教育出版社，1983.

[6]維果茨基.維果茨基兒童心理與教育論著選[M].杭州：杭州大學(xué)出版社，1999.

（責(zé)任編輯：張華偉）

（一）極限思想為某些教學(xué)難點的處理開辟了途徑

極限思想的方法往往是建立變量，并且首先確定它的一連串越來越準(zhǔn)確的近似值，通過考察這一連串近似值的趨向，把變量的準(zhǔn)確值確定下來。這就意味著學(xué)生可從分析簡單情況入手，在此過程中通過“觀察”、“計算”、“推測”，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，獲得必要結(jié)論，這就為教學(xué)中處理某些難點開辟了途徑。如特殊角的三角函數(shù)值是教學(xué)中的一個難點，教學(xué)中往往直接給出結(jié)論，缺乏必要的“過程”和“理由”，學(xué)生理解較為困難。

這里若是借助極限思想加以解決，則可幫助學(xué)生突破這一難點。（如圖3）在Rt△ABC中，∠C為直角，設(shè)BC=a，AC=b，則cos∠A=■，則當(dāng)BC逐漸縮短，即原∠A不斷縮小時，如圖4所示，有cos∠BnAC=■，易知當(dāng)BC不斷縮短，即原∠A不斷縮小為0°時，cos∠BnAC=■的值越來越靠近1，由此我們可規(guī)定cos0°=1，仿照類似過程，利用極限思想的方法，我們還可得到0°或90°的其他三角函數(shù)值。

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學(xué)生常在教學(xué)難點上產(chǎn)生理解障礙，這種情況主要發(fā)生在教學(xué)中知識脈絡(luò)的不連續(xù)處，或是一個特殊知識系列的起點處。在這些地方，學(xué)生學(xué)習(xí)所需的已有知識（即認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有緊密關(guān)系的知識點）同新知識的關(guān)聯(lián)比較薄弱或者根本不存在，就容易引起學(xué)習(xí)問題和認(rèn)知空缺。而極限思想通過探究某一變量的變化趨勢對問題加以分析和解決，依托極限思想的“過程性”優(yōu)勢，使得問題探究變得“循序漸進(jìn)，由淺入深”，這就意味著學(xué)生的新知學(xué)習(xí)同已有知識儲備間容易建立必要的聯(lián)系，客觀上為理解“難點”突破了認(rèn)知上的障礙。如圓切線性質(zhì)中關(guān)于“圓的切線和圓有且僅有一個交點”就是一個教學(xué)難點，但此問題若是仿照前文所述，借助極限思想對圓切線的定義作“過程性”探究，則容易突破這一教學(xué)難點。

（二）極限思想為進(jìn)一步學(xué)習(xí)某些知識難點作鋪墊

作為中學(xué)階段最基本和最重要的一類數(shù)學(xué)思想，極限思想除具有一般數(shù)學(xué)思想具有的教育作用和意義外，更由于其特有的分析處理問題的方法，凸顯其在培養(yǎng)學(xué)生方面所具有的“特殊”價值和意義。

《課標(biāo)》積極倡導(dǎo)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，提供給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的[9]，這反映到學(xué)生培養(yǎng)上就是將傳統(tǒng)的知識傳授型轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰ε囵B(yǎng)型，在注重傳統(tǒng)“雙基”的達(dá)成的同時，更加注重知識的生成過程，畢竟，“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么[10]”。極限思想在探究問題方面特有的“過程性”，意味著學(xué)生在運用極限思想進(jìn)行某些新知學(xué)習(xí)時，可借助已有認(rèn)知儲備，主動建構(gòu)自己的新知識。如前文所述在運用極限思想探尋特殊角（如0°或90°）的三角函數(shù)值的過程中，學(xué)生就可利用前面所學(xué)的勾股定理、三角形相似性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識開展對問題的自主探究，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，形成嚴(yán)密的推理能力都是大有裨益的.

維果茨基（Lev Vygotsky）認(rèn)為，好的學(xué)習(xí)內(nèi)容更應(yīng)當(dāng)是“發(fā)展性”的，即內(nèi)容安排、問題設(shè)置應(yīng)處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”（zone of proximal development），應(yīng)著眼于學(xué)生未來的教育和發(fā)展。由此，初中數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)當(dāng)以學(xué)生發(fā)展的昨天，而應(yīng)當(dāng)以學(xué)生發(fā)展的明天為方向，只有這樣，數(shù)學(xué)才能在教學(xué)過程中激勵那些目前尚處于“最近發(fā)展區(qū)內(nèi)”的學(xué)生，為培養(yǎng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)所需的辯證思考、邏輯推理能力打下基礎(chǔ)。在筆者看來，初中階段對極限思想作必要滲透不只是為順利銜接高中階段極限及與之相關(guān)知識如（導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)）作鋪墊，也是為更深層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

解決上述問題的關(guān)鍵在于學(xué)生具有必要的認(rèn)知鋪墊和知識基礎(chǔ)。事實上，在我們初中階段就可嘗試通過極限思想的滲透加以實施。例如在求代數(shù)式■（n取自然數(shù)）的值的教學(xué)中，不拘泥于求n為某具體數(shù)值時代數(shù)式的值，而是通盤考慮，將極限思想的“過程化”貫穿其中，引導(dǎo)學(xué)生探究n取一般自然數(shù)時代數(shù)式的取值情況，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)■在n不斷增大的情況下其值不斷接近■時，可轉(zhuǎn)而引導(dǎo)學(xué)生考慮n為何值時，■與■差值的絕對值小于某個具體數(shù)值（如■），再深入下去，■與■差值的絕對值小于任意正數(shù)n時的取值又是怎樣的？這一滲透處于學(xué)生初中發(fā)展階段中的“最近發(fā)展區(qū)”（zone of proximal development），屬于雖不能獨立但可以在教師幫助下進(jìn)行學(xué)習(xí)的內(nèi)容；同時，這一過程亦是和現(xiàn)在不少大學(xué)教學(xué)中先讓學(xué)生計算某一具體？著和N，逐步將難點與心理結(jié)構(gòu)中相關(guān)內(nèi)容加以聯(lián)系，一段時日后再綜合成以？著-N為語言的定義理解的以分散難點為原理的教學(xué)方式一脈相承的.這樣，通過在初中階段滲透極限相關(guān)的思想方法，層層鋪墊，就為培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)更高層次的內(nèi)容做好認(rèn)知鋪墊和準(zhǔn)備。

四、感悟

有鑒于此，筆者認(rèn)為，在初中階段應(yīng)充分挖掘教材，結(jié)合已有知識內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)利于學(xué)生開展操作活動和反省抽象的問題情境，對現(xiàn)行教材中有所涉及但還未作必要安排的極限思想加以滲透。這一過程符合初中階段學(xué)生的認(rèn)知特點，有助于學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，豐富學(xué)生的認(rèn)知思維策略，提升他們解決問題的能力，也為將來順利開展更高層次的關(guān)于極限相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好充分的認(rèn)知儲備。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[2]中華人民共和國教育部制定.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3]周淮水等.在初中二年級試教代數(shù)“極限”部分的實驗研究[J]，心理學(xué)報，1960（4）.

[4]李士錡.熟能生巧嗎[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1996（5）.

[5]奧蘇貝爾.教育心理學(xué)-學(xué)與教的原理[M].上海：上海教育出版社，1983.

[6]維果茨基.維果茨基兒童心理與教育論著選[M].杭州：杭州大學(xué)出版社，1999.

（責(zé)任編輯：張華偉）