居海霞

[摘 要] 國(guó)家檢測(cè)試題導(dǎo)向和《課標(biāo)》中提到的教材編寫、設(shè)計(jì)試題等，都圍繞著十個(gè)核心詞，幾何直觀是其中之一. 幾何直觀的介入，可以扶持概念表述、豐盈計(jì)算算理、明晰解題思路，能幫助學(xué)生滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法.

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀；滲透；思想方法

在2012國(guó)家基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)中，有這樣一道小學(xué)數(shù)學(xué)題：

下面4幅圖中，陰影部分能用表示的是（ ）

這是一道幾何直觀題. 幾何直觀是2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的十個(gè)核心詞之一. 關(guān)于“十個(gè)核心詞”，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在第61頁(yè)指出：“它們是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心，也是教材的主線. ”同時(shí)，在第59頁(yè)指出：“在設(shè)計(jì)試題時(shí)，應(yīng)該關(guān)注并且體現(xiàn)本標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)思路中提出的幾個(gè)核心詞. ”可見，不管是國(guó)家檢測(cè)試題導(dǎo)向，還是《課標(biāo)》中提到的教材編寫、設(shè)計(jì)試題等，都圍繞著相關(guān)核心詞. 幾何直觀作為其中之一，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)起著重要作用.

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué). 筆者試圖從以下幾方面闡述如何利用幾何直觀滲透數(shù)學(xué)思想方法.

幾何直觀——扶持概念表述

數(shù)的概念，比如小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等，對(duì)于學(xué)生來說比較抽象，但借助幾何直觀，可以有效幫助學(xué)生構(gòu)建概念.

夏青峰老師在“認(rèn)識(shí)小數(shù)”一課中，是如下通過幾何直觀幫助學(xué)生構(gòu)建“小數(shù)”概念的.

課中，師生一起得出：把整數(shù)“1”平均分成10份，其中的一份是0.1. （如圖1所示）

接著，教師舉了這樣的反例和正例：

可以發(fā)現(xiàn)，第（1）（2）小題不是把整數(shù)“1”平均分成10份，所以其中的一份不能表示為“0.1”，第（3）小題是正例. 接下來，教師把圖2中的（3）和之前的“0.1圖”（圖1）對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)表示0.1的兩個(gè)圖形不一樣，但都表示把整數(shù)“1”平均分成10份，表示其中的一份. 這樣，通過反例襯映、正例凸顯，學(xué)生找到了“0.1”所表示的意義. 在此基礎(chǔ)上，再將之前“0.1圖”放大，啟發(fā)學(xué)生思考：放大圖中的陰影部分，表示的還是0.1嗎？

這樣，表示“0.1”的圖可以不一樣，也可以是同一幅圖“放大”或“縮小”，但變來變?nèi)?，部分與整體的關(guān)系不變，從而突出小數(shù)的概念本質(zhì). 這里，幾何直觀起到了視覺化、形象化的效果.

幾何直觀同樣可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等數(shù)的意義，如圖4所示.

這里，第一個(gè)圖表示了分?jǐn)?shù)的意義，第二個(gè)圖表示了百分?jǐn)?shù)的意義，所以，在教學(xué)這些概念時(shí)，可借助幾何直觀，把抽象的概念變得簡(jiǎn)明. 同時(shí)，也可以通過幾何直觀設(shè)計(jì)如上述“國(guó)測(cè)”之類的習(xí)題，以考查學(xué)生是否將概念本質(zhì)掌握到位.

幾何直觀——豐盈計(jì)算算理

首先，我們來看一看幾何直觀在計(jì)算算理中的應(yīng)用. 比如，在小數(shù)乘法計(jì)算教學(xué)中，可以通過以下兩種途徑來幫助學(xué)生理解計(jì)算法則.

以0.15×3為例：

左圖中，將整數(shù)1平均分成100份，其中1小格表示0.01，15小格表示0.15，3個(gè)0.15合起來是0.45. 右圖中，先將整數(shù)1平均分成10份，每份表示0.1，3個(gè)0.1合起來是0.3；再將整體1平均分成100份，每份表示0.01，3個(gè)0.05，總共合起來0.45. 這里，借助幾何直觀用不同的方式呈現(xiàn)了乘法計(jì)算，“數(shù)”與“形”實(shí)現(xiàn)了完美統(tǒng)一，乘法法則也因此變得豐滿起來.

其次，幾何直觀可以為學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律積累經(jīng)驗(yàn). 在2013年全國(guó)第十一屆深化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革觀摩交流會(huì)中，來自北京的薛錚老師在“積的變化規(guī)律”一課的導(dǎo)入部分，就巧妙地運(yùn)用了幾何直觀.

課中，教師創(chuàng)設(shè)了這樣的導(dǎo)入情境：“一只小熊乘著熱氣球以同樣的速度上升，小熊飛2秒、4秒、6秒、8秒，能飛多高？”

如圖6所示，學(xué)生在具體情境中感悟到：在速度不變的情況下，上升的高度隨著時(shí)間的變化而變化.

在此基礎(chǔ)上，教師提出這樣的問題：“如果10秒、20秒、30秒，乃至更多秒，會(huì)怎樣？”引導(dǎo)學(xué)生思考其中的“變”與“不變”， 為接下來探索積的變化規(guī)律積累經(jīng)驗(yàn).

再者，幾何直觀可以為計(jì)算的多途徑提供背景材料，如圖7所示：

左邊的方格圖給學(xué)生提供了觀察的背景材料，同時(shí)提供了想象的空間，將最底層的5個(gè)方格移1個(gè)給頂層，這樣，每一層方塊的個(gè)數(shù)相等（右圖）. 從中，形象地得出了3+4+5=4+4+4=4×3，計(jì)算得以多途徑，同時(shí)，學(xué)生也找到了此類計(jì)算的最佳方法.

以上所舉，不管是計(jì)算法則，還是計(jì)算規(guī)律或計(jì)算多途徑，本與圖無關(guān)，但幾何直觀的介入，使計(jì)算的算理得以豐盈. 正如波利亞所說：“圖形不僅是幾何題目的對(duì)象，而且對(duì)于與幾何圖形一開始沒關(guān)系的題目，圖形也是一種重要的幫手. ”

幾何直觀——明晰解題思路

利用幾何直觀，在解決問題時(shí)可以使解題思路更加明晰. 張莉老師在“解決問題”一課中，運(yùn)用幾何直觀，使得一些本來模糊的數(shù)量關(guān)系直觀、明了.

例題 ？搖每個(gè)方陣有8行，每行有10人，3個(gè)方陣一共有多少人？

有這樣三種算式：

（1）8×10×3=240（人）；

（2）3×8×10=240（人）；

（3）3×10×8=240（人）.

從題目的條件出發(fā)，前兩個(gè)算式學(xué)生不難表述每一步所求，但第三個(gè)算式卻很難用語(yǔ)言表述. 課中，教師及時(shí)提供了幾何直觀圖（圖8），使得學(xué)生對(duì)第三個(gè)算式的數(shù)量關(guān)系一下子就豁然開朗了.

把3個(gè)方陣看成1個(gè)整體，3×10表示的是整體中一行的人數(shù)，再乘8，表示方陣的總?cè)藬?shù). 在這里，教者充分發(fā)揮幾何直觀在解決問題過程中的作用，利用直觀來描述問題、解釋算理，發(fā)展了學(xué)生幾何直觀能力和解決問題的能力.

利用幾何直觀，在解決問題中還可以幫助學(xué)生將思維變得有序、形象化. 在2013年全國(guó)第十一屆深化小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革觀摩交流會(huì)中，來自安徽的喻巧月老師在“搶數(shù)”一課中，也正是通過幾何直觀幫助學(xué)生理解，將看不見的“數(shù)”轉(zhuǎn)化為看得見的“形”，一步一步地找到“搶數(shù)”取勝的策略.

課中，師生從最簡(jiǎn)單的“搶3”開始研究，游戲規(guī)則為：兩人從1開始輪流報(bào)數(shù)，每人最少報(bào)1個(gè)數(shù)，最多報(bào)兩個(gè)數(shù)，誰(shuí)搶到“3”誰(shuí)勝. 在明確游戲規(guī)則后，師生開始分析并尋找策略，這時(shí)課件呈現(xiàn)相配合的線段圖：

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：對(duì)方報(bào)1個(gè)數(shù)，我就報(bào)2個(gè)數(shù)；對(duì)方報(bào)2個(gè)數(shù)，我就報(bào)1個(gè)數(shù). 所以后報(bào)就一定能搶到3. 線段圖的展示，比單一的、抽象的數(shù)來得形象、直觀，便于學(xué)生理解、發(fā)現(xiàn)、體會(huì)、感悟解題策略.

在找到“搶3”取勝策略后，教師繼續(xù)通過線段圖啟發(fā)學(xué)生尋找“搶6”的取勝策略.

這樣，學(xué)生通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)了“搶6”與“搶3”的聯(lián)系，體驗(yàn)了化歸的方法，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行猜想：用這樣的方法搶下去，還能搶到幾？這里，“幾何直觀”是一種思維活動(dòng)，是人腦對(duì)客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識(shí)別或猜想的心理狀態(tài). （蔣文蔚）

其實(shí)，不管是表征數(shù)學(xué)概念，還是豐盈運(yùn)算算理，或是探索規(guī)律和解決問題，幾何直觀的介入，都是幫助學(xué)生滲透相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，這正是《課標(biāo)》之要求，也是今后考試評(píng)價(jià)之標(biāo)向.