鄭燁婷 陳海烽

[摘 要] 本文從一節(jié)小學(xué)五年級(jí)“方程的意義”入手，通過課堂觀察，進(jìn)行案例分析和診斷，提出了概念教學(xué)有效的一般范式，即通過鋪墊讓學(xué)生形成概念，通過辨析讓學(xué)生理解概念，通過史實(shí)讓學(xué)生感悟探索概念的科學(xué)精神.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué)；方程；意義；有效

■ 寫在前面

筆者所在的學(xué)校是一所九年一貫制學(xué)校，中小學(xué)一體化，抓好中學(xué)和小學(xué)的銜接是我們的課題之一. 其中的一個(gè)舉措是中學(xué)老師進(jìn)入小學(xué)課堂，同時(shí)也可以是小學(xué)老師進(jìn)入中學(xué)課堂，在相互聽課的前提下，反思和改進(jìn)自己的教學(xué)，使中小學(xué)教學(xué)盡量做到無(wú)縫對(duì)接. 正好，小學(xué)五年級(jí)的鄭燁婷老師開設(shè)“方程的意義”公開課，方程又是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的基礎(chǔ)，也是中學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，基于此，“我”（陳海烽老師）走近了小學(xué)課堂.

■ 案例呈現(xiàn)

1. 游戲引入，激發(fā)興趣

師：今天，我們先來(lái)玩一個(gè)游戲！這兒有13張撲克牌，分別代表1～13，你們從中任抽一張不讓老師看到，老師也能猜到你抽到的這張撲克牌是什么，誰(shuí)愿意試試？

生1：任抽一張（不讓老師看見牌面）.

師：請(qǐng)將撲克牌代表的數(shù)先乘2，再加上3，再把所得的和乘5，最后減去25，看看結(jié)果是多少？？搖？搖

生1算后報(bào)出結(jié)果，教師利用列方程快速求出結(jié)果，報(bào)出牌面的數(shù)字. 待學(xué)生無(wú)限驚訝時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生猜想：“老師怎么能這么快知道同學(xué)們手中的牌呢？”

生2：你一定是倒推的，將得數(shù)加上25，再除以5，接著減去3，最后除以2.

師：你知道其中的秘密了，真了不起！老師之所以能這么快知道你們抽的是什么牌，是因?yàn)閿?shù)學(xué)王國(guó)的一位新朋友幫了我的忙，今天我們就能認(rèn)識(shí)它.

2. 建立方程概念

（1）理解已知數(shù)、未知數(shù)

師：我們?cè)谏钪薪?jīng)常會(huì)遇到各種各樣的數(shù)，對(duì)嗎？比如，誰(shuí)愿意告訴我你今年多大了呢？（請(qǐng)兩、三位同學(xué)說說）

師：真好！同學(xué)們看，自己的年齡知道嗎？自己的體重知道嗎？像這些都知道的數(shù)，數(shù)學(xué)上給他這個(gè)名稱——

板書：已知數(shù).

師：叫已知數(shù)，咱們都知道了是不是？那既然有已知數(shù)，就一定有（ ？搖？搖？搖 ）.

師：自己的年齡、爸爸的年齡對(duì)大伙來(lái)說都是已知數(shù)，那生活當(dāng)中對(duì)你們來(lái)說什么是未知數(shù)呢？舉個(gè)例子.

師：真好！看來(lái)生活中已知數(shù)有很多，未知數(shù)（ ？搖？搖？搖 ）.

師：對(duì)于你們來(lái)說，老師的年齡也是（ ？搖？搖？搖 ）.

（2）利用天平（教具），感悟等號(hào)可以表示一組相等的關(guān)系

師：好，仔細(xì)觀察，多少克？（50克）再觀察左邊——20+30，現(xiàn)在你能說說天平應(yīng)該是什么狀態(tài)嗎？（平衡的）為什么？

師：能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子把這事兒說清楚嗎？（50=20+30）你看，一個(gè)數(shù)學(xué)式子就能說明天平現(xiàn)在的狀態(tài)，不錯(cuò)吧？

（3）尋找等量關(guān)系，列等式，認(rèn)識(shí)方程

師：（出示一顆草莓）它的重量知道嗎？（不知道）說明這是個(gè)未知數(shù)，可以用什么表示？（x）如果這樣（把草莓貼到天平的左邊），天平會(huì)怎樣？請(qǐng)一個(gè)學(xué)生上臺(tái)表演一下，其他同學(xué)根據(jù)他的表演說說式子.

20+x<50？搖？搖？搖？搖 20+x>50？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖 20+x=50

師：思考一下，上述三種情況，哪一種可以稱出草莓的重量？（第三種）為什么？（前兩個(gè)沒告訴準(zhǔn)確的等量關(guān)系）

師：兩個(gè)等量關(guān)系都可以用等號(hào)連接，像這樣含有等號(hào)的式子（如50=20+30，20+x=50）就叫做等式. 反之，像上面這兩個(gè)式子（20+x<50，20+x>50？搖）就叫做不等式.

師：像這樣含有未知數(shù)的等式（如20+x=50）就叫做方程. 上面三個(gè)式子叫方程嗎？快速找理由.

3. 課堂練習(xí)

（1）辨析：判斷下列式子，哪些是方程，哪些不是？為什么？

35+65=100？搖 ？搖？搖 x-14>72

5y+15=40？搖？搖？搖？搖 y+24？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

6（a+2）=42？搖 ？搖x-y=80

6x+□=78？搖？搖 36+□<42

（2）根據(jù)等量關(guān)系列方程，進(jìn)一步理解方程的意義.

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師：（2）中的三個(gè)問題一樣嗎？（不一樣）第一個(gè)買梨，第二個(gè)賣書包，第三個(gè)開汽車，三個(gè)不同的問題列出一樣的方程，為什么？

（給一定的時(shí)間讓學(xué)生思考后，指幾名學(xué)生說一說）

師小結(jié)：真好，也就是說，具有相等的數(shù)量關(guān)系，我們就可以列出同樣的方程，換句話說，無(wú)論你的問題怎樣變化，只要等量關(guān)系相同，都可以用幾個(gè)方程把它搞定？（一個(gè)）這就是方程最大的魅力所在.

4. 介紹方程的歷史

看來(lái)，大家對(duì)方程已經(jīng)有了非常深刻的認(rèn)識(shí). 據(jù)現(xiàn)存世界上最早的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)——埃及的《林特草卷》記載，早在三千六百多年前，埃及人就會(huì)用方程解決數(shù)學(xué)問題了. （出示PPT）

中國(guó)人對(duì)方程的研究也有著悠久的歷史. 大約兩千年前的《九章算術(shù)》中，就有專門以“方程”命名的一章，記載了用一組方程解決實(shí)際問題的方法.

在很長(zhǎng)的時(shí)期內(nèi)，方程沒有專門的表達(dá)形式，而是使用一般的語(yǔ)言文字來(lái)敘述它們. 一直到三百年前，法國(guó)的數(shù)學(xué)家笛卡兒第一個(gè)提倡用x，y，z等字母代表未知數(shù)，才形成了現(xiàn)在的方程.

5. 課堂小結(jié)

師：今天我們學(xué)習(xí)了“方程的意義”，談一談你的收獲.

生4：我學(xué)會(huì)了……

■ 幾點(diǎn)思考

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上. 小學(xué)五年級(jí)學(xué)生的特點(diǎn)是求知欲強(qiáng)、好勝心強(qiáng)、注意力的持久度還不高，所以鄭老師在圍繞教學(xué)目標(biāo)時(shí)進(jìn)行了有益的深度探索，學(xué)生反應(yīng)積極，教學(xué)的有效性得以凸顯.

1. 精心創(chuàng)設(shè)問題情境

眾所周知，小學(xué)生的注意力不易持久，特別是經(jīng)過大課間25分鐘的活動(dòng)，整個(gè)身體活動(dòng)開了，聽到鐘聲一響，一時(shí)半會(huì)兒還難以進(jìn)入上課的狀態(tài)，心似平原走馬，易放難收. 作為教師，一定要采取措施使學(xué)生的心回到課堂. 鄭老師拿出一副撲克牌，說要變一個(gè)魔術(shù)，便引起了學(xué)生的強(qiáng)烈好奇心，課堂立馬安靜了下來(lái). 學(xué)生以為鄭老師就是“劉謙”了. 然后，鄭老師用猜?lián)淇伺频霓k法，讓學(xué)生抽牌、算數(shù)字，老師再用方程的辦法求出了牌面上的數(shù)字. 學(xué)生的興趣一下子就被激發(fā)了，探索的欲望被點(diǎn)燃. 這為教學(xué)的下一個(gè)環(huán)節(jié)打下了良好的基礎(chǔ).

2. 用心鋪墊，形成概念

含有未知數(shù)的等式叫方程，其中涉及兩個(gè)關(guān)鍵詞，一個(gè)是未知數(shù)，一個(gè)是等式. 鄭老師在這個(gè)地方舍得花時(shí)間讓學(xué)生找自己身邊的已知數(shù)和未知數(shù). 如自己的生日對(duì)自己來(lái)說是已知的，可是對(duì)別人是未知的；還說老師的年齡對(duì)我們小朋友來(lái)說是未知的，等等，這讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到了已知數(shù)和未知數(shù)其實(shí)都充斥在了我們的生活中，所以我們要用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界. 她還科學(xué)地利用天平圖片，首先展示的是20+30=50這個(gè)等量關(guān)系（這一步很重要），再用一個(gè)“草莓”圖片替換其中的30，并讓學(xué)生猜測(cè)可能會(huì)出現(xiàn)什么情況. 學(xué)生的反應(yīng)正如老師的預(yù)期，出現(xiàn)了三種情況，學(xué)生則根據(jù)情況將天平進(jìn)行調(diào)整. 老師接著追問，哪一種情況能準(zhǔn)確知道草莓的重量呢？這樣，方程的價(jià)值就被凸顯出來(lái)了. 概念教學(xué)的這個(gè)鋪墊很重要，應(yīng)避免出現(xiàn)“滑過”現(xiàn)象，鄭老師做到了這一點(diǎn).

3. 細(xì)心辨析，理解概念

當(dāng)方程的意義也就是方程的概念形成以后，鄭老師用了很多個(gè)判斷題來(lái)理解概念，從等式入手，有些是代數(shù)式，有些是不等式，有些沒有未知數(shù)，有些含多個(gè)未知數(shù). 特別地，在教學(xué)中，許多的未知數(shù)我們都用x來(lái)表示，但是要突破學(xué)生的思維定式，不要以為只有x才可以表示未知數(shù). 這一點(diǎn)，在相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)中得到了良好的體現(xiàn). 與此同時(shí)，鄭老師又設(shè)計(jì)了“同樣一個(gè)方程可以賦予不同的意義”，這其實(shí)就是數(shù)學(xué)的抽象，使得學(xué)生的思維并不是原地打轉(zhuǎn)，而是出現(xiàn)更大的提升.

4. 開心學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史實(shí)

方程的由來(lái)是勞動(dòng)人民通過生產(chǎn)實(shí)踐得來(lái)了，鄭老師還介紹了我國(guó)古代《九章算術(shù)》中的方程，以及后來(lái)笛卡兒的貢獻(xiàn)，這些史實(shí)圖片資料豐富，讓學(xué)生開闊了眼界，也讓學(xué)生知道了這些“智慧”和探索精神需要我們?nèi)鞒?

5. 教學(xué)是一門藝術(shù)

教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)，沒有最好，只有更好. 在鄭老師的課堂中，我們感受到了她的激情朝氣、干練和組織的有序. 作為一個(gè)只有五年教齡的年輕老師來(lái)說，她已經(jīng)向經(jīng)驗(yàn)老師邁進(jìn)，但是在教學(xué)中，還存在一些問題.

（1）忽略了孩子的心聲，疏于有效追問

在第一個(gè)環(huán)節(jié)中，老師表演了魔術(shù)，有一個(gè)學(xué)生說老師是逆推的，其實(shí)這就是一個(gè)算術(shù)的解法，也就是將這個(gè)牌面上的數(shù)字處于未知的位置，而我們老師說是一個(gè)朋友——方程幫的忙，這樣的回答難以讓學(xué)生信服，可見，此時(shí)的老師急于拋出下面的問題，置學(xué)生的理解于不顧. 其實(shí)，老師可以智慧地回答：“這位同學(xué)的回答相當(dāng)好，用逆推的方法可以解決這個(gè)問題，但老師可用的不是這種辦法呢，老師的辦法還能解決很大的問題呢，大家想知道嗎？”這時(shí)才轉(zhuǎn)入下面的教學(xué)為妥. 對(duì)于一個(gè)經(jīng)驗(yàn)型老師來(lái)說，善于追問應(yīng)該成為一個(gè)分水領(lǐng). 追問是學(xué)生深入思維的內(nèi)核，能找到學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn). 當(dāng)然，教師必要時(shí)的點(diǎn)撥，也有利于學(xué)生思維的提升，如在第二個(gè)環(huán)節(jié)讓大家判斷是不是方程，就應(yīng)引導(dǎo)孩子“你是通過什么判斷的，為什么這樣判斷”，這就是數(shù)學(xué)家波利亞的說法：“要回到定義中去. ”這樣，孩子的認(rèn)識(shí)會(huì)更到位，今后遇到判斷題也會(huì)更自覺地回到定義中去.

（2）多了些預(yù)設(shè)，少了些生成

在這節(jié)課中，鄭老師是用PPT和黑板上準(zhǔn)備的天平教具來(lái)完成的，課堂上可謂是順風(fēng)順?biāo)怯谜n件時(shí)經(jīng)常捆綁住老師的一些手腳，使得老師以設(shè)置好的課件為邏輯順序，如此一來(lái)就很難根據(jù)學(xué)生的具體情況做出相應(yīng)的調(diào)整. 換句話說，就是在預(yù)設(shè)下工夫. 但課堂應(yīng)該是生成的，課堂的生成才是富有生命價(jià)值的. 比如，鄭老師得到3x=270這個(gè)方程時(shí)，大可以放開由學(xué)生來(lái)講解，追問同樣一個(gè)方程可以賦予三種不同的意義：“那么，你還可以給它一個(gè)意義嗎？你能否舉出一個(gè)生活的例子？”雖然學(xué)生可能大多會(huì)去模仿，但我想，只要我們相信學(xué)生，耐心靜待花開，出現(xiàn)一個(gè)長(zhǎng)方形，它的面積是270，寬是3，長(zhǎng)是x這樣的例子應(yīng)該問題不大. 這可是今后幾何直觀的一種應(yīng)用呢！如此的話，不僅有利于學(xué)生思維的發(fā)散，還會(huì)有更多的生成、更多的驚喜. 教師在教學(xué)中不能害怕學(xué)生成為“半路殺出的程咬金”，應(yīng)尊重學(xué)生的主體地位，合理地挖掘教學(xué)資源中存在的教學(xué)價(jià)值. “人們無(wú)法預(yù)料教學(xué)所產(chǎn)生結(jié)果的全部，沒有預(yù)料不到的后果，教學(xué)也就不成為藝術(shù). ”（布盧姆）

■ 寫在最后

聽完這節(jié)課，我們找到了一些教師專業(yè)發(fā)展的軌跡. 教師的專業(yè)發(fā)展一定要以課堂為自己的“一畝三分地”進(jìn)行精耕細(xì)作. 對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)上的銜接，要多閱讀義務(wù)教育的課程標(biāo)準(zhǔn)，知道小學(xué)的知識(shí)在初中如何得到相應(yīng)的發(fā)展，為初中的基礎(chǔ)奠基. 同時(shí)，應(yīng)依據(jù)小學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，尊重小學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格. 概念的教學(xué)一定要讓學(xué)生知道概念形成的來(lái)龍去脈，不要急于求成. 在小學(xué)階段，概念的來(lái)源應(yīng)盡量和學(xué)生的生活進(jìn)行對(duì)接，而在初中階段，概念的來(lái)源應(yīng)該盡量以學(xué)科發(fā)生、發(fā)展的邏輯順序來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué).