賈春波 許曉鋁

[摘 要] 學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”時(shí)，筆者以此單元例題教學(xué)的前后順序?yàn)榫€索，收集了學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的一些錯(cuò)誤，并通過統(tǒng)計(jì)、訪談等方式對不同的錯(cuò)因提出了不同的干預(yù)策略.

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué)；錯(cuò)例分析；干預(yù)措施

■ 緣起

計(jì)算教學(xué)是支撐小學(xué)數(shù)學(xué)的最基本框架，占據(jù)著小學(xué)數(shù)學(xué)一半以上的教學(xué)時(shí)間，“筆算除法”是計(jì)算教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn). 筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”時(shí)，時(shí)常出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)例，有些錯(cuò)誤即使教師一再強(qiáng)調(diào)，學(xué)生還是照樣出現(xiàn)，更為奇怪的是，幾乎每屆的學(xué)生都會(huì)犯此類相同的錯(cuò)誤.

因此，為了幫助學(xué)生克服筆算除法學(xué)習(xí)中所遇到的困難，筆者對學(xué)生在學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”中面臨的困難、計(jì)算出現(xiàn)的錯(cuò)誤類型、錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因等進(jìn)行了深入分析，并根據(jù)這些錯(cuò)因在課堂教學(xué)中采取“合理、有效干預(yù)”的措施，從而實(shí)現(xiàn)有效教學(xué).

■ 錯(cuò)例、成因和干預(yù)措施

（一）“直接口算”（如教材最先安排的兩個(gè)例題）

例題1？搖 42÷2？搖？搖？搖？搖 52÷2

典型錯(cuò)例 （如圖1和圖2）

錯(cuò)因分析？搖？搖（1）計(jì)算結(jié)果比較容易得到

要求學(xué)生先嘗試計(jì)算42÷2時(shí)，很多學(xué)生能夠用口算的方法直接找到計(jì)算的結(jié)果21，于是認(rèn)為不需要通過筆算除法的方法得到結(jié)果，也就是說，學(xué)生認(rèn)為，與其用筆算除法進(jìn)行計(jì)算，不如用口算得到21，所以學(xué)生所寫的豎式只不過是口算結(jié)果的表達(dá).

（2）受表內(nèi)除法筆算方法的負(fù)遷移

學(xué)生嘗試計(jì)算42÷2時(shí)，它原有的知識經(jīng)驗(yàn)是三上的“有余數(shù)除法筆算方法”. 有余數(shù)的豎式筆算只需一步就可以了，即先確定商，再用除數(shù)和商相乘，最后相減. 而42÷2需要兩步才能完成，即先要把十位上的4個(gè)十平均分成2份，分完后再分個(gè)位上的2個(gè)一. 學(xué)生不明就里，直接得出結(jié)果21也是情有可原. 但他們會(huì)把這種經(jīng)驗(yàn)推廣到52÷2.

（3）算理不明，算法不清

學(xué)生只是套用筆算除法的形式，對于筆算除法的算理不清，這就是我們通常所說的“沒學(xué)會(huì)”. 由于學(xué)生根本沒有弄明白這樣計(jì)算的道理，算理不明確，從而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.

教學(xué)干預(yù)策略：調(diào)整教學(xué)順序，感悟必要性，減少錯(cuò)誤

“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”不僅需要學(xué)生掌握筆算除法的過程、理解每個(gè)步驟的算理，還要體會(huì)規(guī)范豎式的優(yōu)勢，基于學(xué)生以上的典型錯(cuò)例，我覺得教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)可以：

（1）讓學(xué)生感悟到“筆算除法分兩步算”的必要性

改變例題1中“42÷2”和“52÷ 2”的先后順序. 從學(xué)生的訪談中可知，由于學(xué)生能夠一眼看出42÷2的結(jié)果，所以學(xué)生無法感悟到兩步的必要性和優(yōu)越性. 因此，在實(shí)際的教學(xué)中，筆者先教學(xué)“52÷2”. 雖然有一部分學(xué)生也能通過口算得到結(jié)果，但很多學(xué)生無法直接得到，此時(shí)教師提供操作材料“52根小棒（5捆+2根）”，讓學(xué)生操作. 分法一，有的學(xué)生先分2根，再分4捆，最后拆開1捆，分3步得到結(jié)果26；分法二，先分4捆，再拆開1捆變成10根，并和2根合在一起成為12根，只需2步便得到結(jié)果26. 然后，讓學(xué)生說一說、議一議這兩種分法，讓他們在交流中取得共識——分法二中的“1捆變成10根，并和原來的2根合起來后再分”比較簡單. 最后，讓學(xué)生根據(jù)分法二的步驟寫一寫筆算除法的步驟.

這樣既解決了學(xué)生為什么要從高位除起的原理，又讓學(xué)生感悟了除法筆算中分步“算”的必要性. 經(jīng)過上述過程，再一次嘗試“42÷2”時(shí)，直接寫出得數(shù)的人數(shù)就大大減少了.

（2）在操作中感悟“分兩步算的算理”

從知識角度來看，除法豎式是一個(gè)抽象的計(jì)算過程，學(xué)生需要按照“商、乘、減、比”等一系列程序步驟后才能完成，這個(gè)過程本身的難度會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對筆算除法的理解存在一定的困難. 根據(jù)布魯納的認(rèn)識表征理論，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)時(shí)需要經(jīng)歷“動(dòng)作性表征—映象性表征—符號性表征”，因此初次學(xué)習(xí)“52÷2”時(shí)，需要學(xué)生對分的步驟進(jìn)行操作：第一步，將5捆小棒平均分成2份，每份2捆，還剩一捆；第二步，把剩下的1捆小棒打開，并和2根合在一起成為12根，接著平均分成2份，每份6根，最后把2捆和6根合起來是26根. 上述由操作步驟過渡到分圖形，再抽象成豎式的步驟，形成了“動(dòng)作—圖形—符號”之間的轉(zhuǎn)換，達(dá)到了以動(dòng)作感悟、圖形內(nèi)化、符號抽象的教學(xué)目的.

（3）在比較溝通中明確“分兩步算”的算法

①正確計(jì)算方法和錯(cuò)誤計(jì)算方法之間的對比

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學(xué)生出現(xiàn)以上錯(cuò)誤，主要原因是很多學(xué)生能夠用口算的方法直接找到計(jì)算的結(jié)果21，所寫的豎式只不過是口算結(jié)果的表達(dá)，所以學(xué)生就直接一步到位，根本不知其中之算理——先分十位上的數(shù)，再分個(gè)位上的數(shù).

②“52÷2”與“42÷2”正確算法之間的對比

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以上兩個(gè)筆算的相同之處都是分兩步進(jìn)行計(jì)算，先算十位，再算個(gè)位，不同的是，“42÷2”的十位沒有余數(shù)，算完十位后直接算個(gè)位就可以了，而“52÷2”的十位上有余數(shù)，所以應(yīng)該把十位上余下的數(shù)和個(gè)位合起來繼續(xù)算.

（二）“試商錯(cuò)誤”（如教材安排的例3）

例題2？搖 238÷6

典型錯(cuò)例

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錯(cuò)因分析？搖 筆算238÷6時(shí)，有一部分學(xué)生會(huì)出現(xiàn)上面的豎式形式，為什么會(huì)出現(xiàn)以上的試商錯(cuò)誤呢？主要是因?yàn)閷W(xué)生對乘法口訣掌握得不夠熟練，以及沒能很好地掌握“余數(shù)小于除數(shù)”的知識點(diǎn).

教學(xué)干預(yù)策略：夯實(shí)基礎(chǔ)，增強(qiáng)記憶，減少錯(cuò)誤

（1）保證每個(gè)學(xué)生都能熟練地記憶乘法口訣

表內(nèi)乘法口訣是解決“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”中試商的基石，因此，在開學(xué)初我就進(jìn)行“重過表內(nèi)乘法口訣關(guān)”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，采用教師抽查、同桌互查的方法，讓每個(gè)孩子對每句口訣都能達(dá)到脫口而出的狀態(tài)，保證在試商時(shí)提取“數(shù)字性事實(shí)”的最大可能.

（2）多做“（ ？搖）里最大能填幾”的練習(xí)

采用“（？搖 ）里最大能填幾”的練習(xí)，能幫助學(xué)生在試商中靈活地提取“數(shù)字性事實(shí)”，解決試商的困難. 在試商教學(xué)中，教師要溝通與“（？搖 ）里最大能填幾”之間的練習(xí)，激發(fā)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn). 如“477÷9”，試商十位時(shí)，其實(shí)就是在解決（？搖 ）×9<47，因此，在學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的除法”這一單元伊始，每節(jié)課的前3分鐘我都會(huì)讓學(xué)生快速地計(jì)算6道類似的試題.

在“重過口算關(guān)”和“（ ）里最大能填幾”兩類數(shù)學(xué)活動(dòng)中，筆者特別重視與6，7，8，9這4個(gè)數(shù)字相關(guān)口訣的練習(xí)，因?yàn)楦鶕?jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生特別容易弄錯(cuò)與這4個(gè)數(shù)字相關(guān)的口訣. 通過這種方式，能達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)、增強(qiáng)記憶、減少錯(cuò)誤的目標(biāo).

（三）“有關(guān)0的錯(cuò)誤”

1. 商中間有0的錯(cuò)誤（如教材的例6和例7）

試題3？搖 309÷3 ？搖832÷4

典型錯(cuò)例？搖 （如圖8）被除數(shù)中間有0，商中間也有0：

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（如圖9）被除數(shù)中間沒有0，商中間有0：

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錯(cuò)因分析？搖 產(chǎn)生圖9錯(cuò)誤的原因是沒有解決好圖8中的試題，所以，要特別重視圖8試題的干預(yù). 下面以圖8試題的錯(cuò)例分析和干預(yù)為主.

（1）自認(rèn)為可以不寫“0”：學(xué)生覺得“0除以任何不為0的數(shù)都得0，所以計(jì)算時(shí)可以省略”，所以把103寫成了1□3，但其實(shí)他們知道“1□3”代表103.

（2）漏寫“0”：有一部分學(xué)生知道算法，但在具體操作中卻忘了“商”上要補(bǔ)“0”. 這部分學(xué)生當(dāng)知道錯(cuò)誤后，會(huì)馬上知道錯(cuò)在哪兒. 另外，計(jì)算“832÷4”時(shí)，學(xué)生很容易忘記3÷4不夠除，需用“0”來占位.

（3）不知道怎么處理“0”：當(dāng)除到309的十位時(shí)，由于百位剛好除盡，看到被除數(shù)十位上是“0”，他們不知道怎么處理了，直接跳過了十位，去除個(gè)位. 這部分學(xué)生大多不理解算理，他們覺得1□3就等于13.

教學(xué)策略：嘗試體驗(yàn)，對比辨析

（1）在錯(cuò)誤與正確的對比中理解算理

①先嘗試解決309÷3.

②整體呈現(xiàn)正確和錯(cuò)誤的解題方法.

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③學(xué)生交流.

（估算并判斷哪些是錯(cuò)誤的，你是怎么判斷的）

生：商是13的這些題肯定錯(cuò)了，因?yàn)?09÷3≈100.

（圖10與圖11有什么相同和不同的地方）

生：結(jié)果是相同的，過程不同. 圖10有十位0÷3=0這個(gè)過程，而圖11的豎式中卻沒有.

師追問：為什么可以省略呢？

生：因?yàn)?÷3等于0.

師追問：過程可以省去，但十位上的商怎么辦？

生：過程可以省，但十位上的商不能省，如果省了，就會(huì)變成13.

師：這么一討論，我們知道了正確的計(jì)算方法，那你知道圖13錯(cuò)在哪兒了嗎？

生：圖13把十位上0÷3的過程省略了，也把商0的過程省略了.

（教師讓學(xué)生訂正圖12和圖13中的錯(cuò)誤）

④得出結(jié)論：除到哪一位，商寫在那一位上. 如果是“0”就用“0”占位.

？搖（2）尊重規(guī)律，包容差異

在學(xué)生開始學(xué)習(xí)除法豎式計(jì)算的一段時(shí)間內(nèi)，分拆的策略還不穩(wěn)固，分拆的過程還不是非常熟練，特別是商中間有0的筆算除法的簡化寫法（如圖11），它是在圖10的基礎(chǔ)上簡化而來的，所以學(xué)生要把這種簡化的規(guī)則納入自己的知識結(jié)構(gòu)中是一個(gè)逐步建構(gòu)的過程，而且學(xué)生對新知識的接受過程存有差異，所以我們要允許學(xué)生出現(xiàn)這些類似的看似煩瑣卻合理的計(jì)算過程. 學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過程不能一蹴而就，而是需要一定的時(shí)間，有的學(xué)生甚至需要更長的時(shí)間. 如果教師一味地追求形式簡潔，很可能會(huì)造成學(xué)生建構(gòu)過程中某個(gè)部分的缺失或不正確.

（3）加強(qiáng)商的估算意識和方法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣

教師可用估算的方法培養(yǎng)學(xué)生判斷商是幾位數(shù)，商大概等于多少. 有了這種意識和能力，出現(xiàn)“309÷3=13”的可能性就會(huì)比較小. 因此，在教學(xué)中，教師要抓住機(jī)會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的這種意識和能力. （解決圖9中錯(cuò)誤的方法基本與上述相同，此處不再累述）

2. 商末尾有0的錯(cuò)誤（如教材例6安排的第二個(gè)例題）

試題4？搖 420÷3 310÷8

典型錯(cuò)誤

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錯(cuò)因分析？搖 對于圖14，被除數(shù)是三位數(shù)，最后一位是0，當(dāng)除到被除數(shù)的十位正好除盡時(shí)，不再往下除了. 此題錯(cuò)在商沒有寫完整，當(dāng)十位除盡時(shí)，個(gè)位如果是0，就要在商的個(gè)位上寫0. 學(xué)生沒有很好地理解，當(dāng)被除數(shù)某一位上的數(shù)是0時(shí)，且前面沒有余數(shù)時(shí)，除到這位時(shí)商要用0占位. 對于圖15，受圖14思維的負(fù)遷移，不管十位除后有沒有余數(shù)，直接在個(gè)位上寫上0.

教學(xué)干預(yù)：自我辨析，對比錯(cuò)誤

學(xué)生已經(jīng)有了“商中間有0”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，對于這一類錯(cuò)誤的糾正，教師應(yīng)放手讓學(xué)生去辨析. 教師應(yīng)提供足夠的空間和時(shí)間，通過問題的引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我糾正，步驟如下：

（1）提供錯(cuò)例.

（2）快速判斷正確與否. （讓學(xué)生感悟用估算方法進(jìn)行判斷的優(yōu)越性，以此培養(yǎng)其估算意識）

（3）自己做一做這個(gè)題目，與它對比一下.

（4）集體交流這個(gè)題目錯(cuò)在哪兒.

■ 兩點(diǎn)感悟

1. 計(jì)算錯(cuò)誤是好的教學(xué)資源

出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤很正常，因?yàn)樗鼈兪菍W(xué)生在學(xué)習(xí)“除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法”中一個(gè)積極思考的表現(xiàn). 這些不成熟的思維或行為中存在很多積極的因素. 教師需要做的工作是根據(jù)學(xué)生的這些錯(cuò)誤，通過統(tǒng)計(jì)、調(diào)查、訪談等方式找到真實(shí)的錯(cuò)因，根據(jù)這些錯(cuò)因采取不同的方法，以取得有效的效果.

2. 不同的錯(cuò)因要有不同的干預(yù)策略

不同錯(cuò)因引發(fā)的錯(cuò)題要采取不同的干預(yù)措施. 比如，錯(cuò)題是因?yàn)榛A(chǔ)不扎實(shí)、經(jīng)驗(yàn)負(fù)遷移且錯(cuò)誤人數(shù)很多等所引起的錯(cuò)誤，可以采用提前干預(yù)的策略，因?yàn)槭状纬晒Φ慕虒W(xué)才是最有效的教學(xué). 而對于常犯的錯(cuò)誤，可以采用適時(shí)干預(yù)、對比感悟的方式，因?yàn)橛喺e(cuò)誤僅僅靠教師正面示范是不夠的，需要學(xué)生一個(gè)自我否定的空間和時(shí)間.