龔彥琴，張維忠

（1.蘭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.浙江師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004）

印度共和國(guó)，簡(jiǎn)稱(chēng)印度，別稱(chēng)婆羅多，位于亞洲南部，是由28個(gè)邦和7個(gè)中央直轄區(qū)組成的聯(lián)邦制政體.作為目前僅次于中國(guó)的第二人口大國(guó)，印度2001—2011年的人口平均增長(zhǎng)率高達(dá)1.64%，超過(guò)中國(guó)增長(zhǎng)速度的3倍.自獨(dú)立后的65年里，印度依靠教育調(diào)和不同民族、不同宗教、不同語(yǔ)言間的文化沖突，以信息技術(shù)為支柱產(chǎn)業(yè)，走出了一條教育振興經(jīng)濟(jì)的自主之路，其經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)值得中國(guó)借鑒與學(xué)習(xí).中國(guó)2001年教育部頒發(fā)了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，經(jīng)過(guò)10年的課程改革實(shí)驗(yàn)，2011正式公布了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》.學(xué)習(xí)借鑒國(guó)外數(shù)學(xué)課程改革經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步落實(shí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念與具體要求急為迫切[1～2].然而，國(guó)內(nèi)對(duì)印度數(shù)學(xué)教育的研究幾乎空白，因此這里對(duì)印度高級(jí)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的評(píng)介就顯得尤為重要.

1 印度的數(shù)學(xué)課程改革

印度基礎(chǔ)教育課程經(jīng)歷了多次改革.1985年，印度政府順應(yīng)世界教育改革的大潮宣布將對(duì)現(xiàn)行教育制度進(jìn)行改革.同年，頒布了題為《教育的挑戰(zhàn)——政策透視》的文件，號(hào)召社會(huì)各界進(jìn)行廣泛討論.在聽(tīng)取討論意見(jiàn)的基礎(chǔ)上，政府在1986年制定了《國(guó)家教育政策》，并公布了名為《1986國(guó)家教育政策：行動(dòng)計(jì)劃》的24點(diǎn)實(shí)施計(jì)劃[3].正是這種思想促成了10+2+3學(xué)制在全國(guó)的實(shí)施（普通教育10年，包括初小5年，高小3年和初中2年；高中教育2年，稱(chēng)為分科教育，也就是說(shuō)根據(jù)學(xué)生的愛(ài)好、興趣、個(gè)性、能力實(shí)行差別化教育；高等教育3年，學(xué)生通過(guò)3年的大學(xué)學(xué)習(xí)，可得到學(xué)士學(xué)位）.此次改革中，對(duì)課程內(nèi)容做出改動(dòng)，如：之前僅在大學(xué)講授的算法下放到高中，刪除了射影幾何.此次改革后，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的焦慮和在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中失敗體驗(yàn)的負(fù)擔(dān)沒(méi)有變化，來(lái)自邦考試、入學(xué)考試和名校機(jī)構(gòu)的壓力在城市中創(chuàng)建了一個(gè)激烈競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境.此外，許多孩子由于無(wú)法應(yīng)付數(shù)學(xué)課程的需要，數(shù)學(xué)就成了他們輟學(xué)的“殺手”.

2005年印度國(guó)家教育與培訓(xùn)委員會(huì)（National Council for Educational Researchand Training，簡(jiǎn)稱(chēng)NCERT）頒布的《國(guó)家課程框架》（National Curriculum Framework，簡(jiǎn)稱(chēng)NCF）掀起了印度新一輪的課程改革.進(jìn)入21世紀(jì)后，世界課改潮流的引領(lǐng)與推動(dòng)，促使印度重新審視過(guò)去改革成效甚微的問(wèn)題.例如，印度在第一個(gè)五年計(jì)劃期間，國(guó)家教育經(jīng)費(fèi)的56%撥給了初等教育，為什么一直沒(méi)能實(shí)現(xiàn)普及義務(wù)教育.同時(shí)面對(duì)經(jīng)濟(jì)全球化帶來(lái)的挑戰(zhàn)，政府認(rèn)識(shí)到要轉(zhuǎn)向提高教育質(zhì)量、鞏固兒童入學(xué)率、減輕學(xué)生壓力等方面，而不是提出不切實(shí)際的宏偉目標(biāo).最重要的是，要在保證統(tǒng)一有序的教育體制下促進(jìn)印度多元化發(fā)展，就如NCF所言：“區(qū)別的存在是上天賜予我們的禮物，我們需要保護(hù)這種多元的存在，并使它繁榮發(fā)展.”[4]NCERT在此框架搭建的課程體系基礎(chǔ)上，于2006年制定了基礎(chǔ)教育各科教學(xué)大綱（syllabus），加快統(tǒng)一全國(guó)課程的步伐.

這里介紹的印度普通教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱文件為：Syllabus for Classes at the Elementary Level：Math (VI-VIII)，由NCERT編定并于2006年6月出版，是印度歷史上第一個(gè)全國(guó)性的統(tǒng)一課程文件.

2 印度高級(jí)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱總體特點(diǎn)

高級(jí)小學(xué)教學(xué)大綱的發(fā)展一直試圖強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的理解和發(fā)展孩子思維.它強(qiáng)調(diào)將高小視為一個(gè)過(guò)渡階段，是孩子從具體的材料和經(jīng)驗(yàn)中學(xué)習(xí)抽象概念過(guò)渡到更高抽象性的階段.被認(rèn)定為一個(gè)讓孩子學(xué)會(huì)理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言與符號(hào)的平臺(tái).課程旨在幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是一門(mén)與人們的經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)的學(xué)科，并且被應(yīng)用在日常生活中，它是對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)的抽象，主要從以下兩方面展開(kāi)：

第一，強(qiáng)調(diào)使孩子學(xué)習(xí)從特殊到一般、從具體到抽象的過(guò)程，鞏固和擴(kuò)大孩子的經(jīng)驗(yàn)幫助她概括并學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí)，然后檢驗(yàn)得出的普遍規(guī)律.幫助孩子們更好地發(fā)展邏輯思維，同時(shí)通過(guò)證明領(lǐng)會(huì)概念也是十分重要的.重點(diǎn)不在于教會(huì)孩子如何使用已知的計(jì)算法則，而是幫助孩子找到一種適合的解決不同數(shù)學(xué)問(wèn)題的合理的方法.這是除了僅僅給孩子講授已知的計(jì)算法則外最有效的收獲.孩子也應(yīng)被期許自己提出問(wèn)題并通過(guò)小組合作和一些課外活動(dòng)的方式來(lái)解決它.這樣會(huì)讓數(shù)學(xué)深入為一種興趣愛(ài)好.

第二，認(rèn)為語(yǔ)言是發(fā)展數(shù)學(xué)理解力的一個(gè)重要組成部分，希望孩子們能有機(jī)會(huì)去理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言，以及理解問(wèn)題或描述中潛在的邏輯結(jié)構(gòu).僅僅向孩子們解釋概念的意思是不夠的，但是應(yīng)該幫助他們參與概念的形成過(guò)程，從而逐漸形成自己對(duì)概念的理解.應(yīng)給孩子條件讓其發(fā)展研究自己提出的定義并用一些新的數(shù)據(jù)和信息來(lái)驗(yàn)證.這并不意味著不會(huì)給他們清晰正確的概念，而是為他們自己思考留足空間.

因此，本課程不強(qiáng)調(diào)算法和記憶，而是強(qiáng)調(diào)邏輯思考的能力和理解與發(fā)展理論的能力.同時(shí)，避免超綱的概念和思想.要在這一階段將分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、空間認(rèn)識(shí)、數(shù)據(jù)處理和變量強(qiáng)調(diào)為一個(gè)構(gòu)成孩子理解抽象數(shù)學(xué)概念的基石.發(fā)展空間概念的理解力也是一個(gè)重點(diǎn)，這部分將包括對(duì)稱(chēng)性以及對(duì)二維三維空間表示的理解.教學(xué)大綱同時(shí)將數(shù)據(jù)處理作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要組成部分.它還包括數(shù)據(jù)的表示，以及用可能性和概率的知識(shí)對(duì)數(shù)據(jù)作簡(jiǎn)單分析.

以下的課程理念是培養(yǎng)孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信和能力，從而有基礎(chǔ)去學(xué)習(xí)更多同時(shí)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建立興趣.它的重點(diǎn)不在于復(fù)雜的算法與數(shù)值計(jì)算，而在于培養(yǎng)估算的能力和對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解.高小階段數(shù)學(xué)教科書(shū)設(shè)計(jì)的一般理念：

◆在教材的設(shè)計(jì)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是：用孩子們會(huì)的且他們自己能夠理解的語(yǔ)言來(lái)編寫(xiě)，并要求他們以小組合作的形式開(kāi)展學(xué)習(xí)活動(dòng).老師則只提供支持和幫助.

◆整個(gè)教材應(yīng)該深入和來(lái)源于孩子的生活環(huán)境.孩子們能用語(yǔ)言表達(dá)他們的理解、概括和對(duì)概念的想法，能提出并完善自己下的定義.

◆需要為孩子們提供推理的空間，并對(duì)不同想法進(jìn)行邏輯論證.他們將依據(jù)邏輯論證，識(shí)別不正確的和不被接受的推理與邏輯公式.

◆孩子們觀察模型并歸納規(guī)律.識(shí)別除了普遍法則的規(guī)律，將這些規(guī)律拓展到新的情形中，并檢驗(yàn)其有效性.

◆需要意識(shí)到不僅有許多解決問(wèn)題的方法和替代方法，而且也有很多可用的備選策略.問(wèn)題應(yīng)該有多種正確的解決方法.

◆應(yīng)該意識(shí)到檢驗(yàn)和證明之間的區(qū)別.應(yīng)該接觸一些簡(jiǎn)單的證明以至于他們能意識(shí)到什么是證明.

◆課本不應(yīng)過(guò)于單調(diào)而應(yīng)以不同的方式來(lái)吸引孩子.這個(gè)觀點(diǎn)可能會(huì)影響包括語(yǔ)言、描述的性質(zhì)和一些例子，是否附有圖解.應(yīng)用漫畫(huà)或動(dòng)畫(huà)去說(shuō)明一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，包括一些故事或者孩子感興趣的一些文章.

◆數(shù)學(xué)應(yīng)成為一個(gè)不斷探索創(chuàng)新而不是尋找已知的舊答案的學(xué)科.復(fù)雜的問(wèn)題往往需要一些未知的計(jì)算法則.

◆數(shù)學(xué)的目的不是讓孩子學(xué)習(xí)定義，因此不應(yīng)以講授定義和解釋開(kāi)始.概念和定義應(yīng)該通過(guò)孩子自己觀察，探索并概括而來(lái).當(dāng)學(xué)生對(duì)概念形成了清晰的認(rèn)識(shí)，他們就會(huì)在討論結(jié)束時(shí)得出定義.

◆除了向他們的朋友和同事提出問(wèn)題以外，孩子們應(yīng)該被期許同時(shí)向自己提出問(wèn)題.

◆教科書(shū)也應(yīng)要求教師構(gòu)想出一些與文章相關(guān)的問(wèn)題，來(lái)迎合班上學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和需要.

◆應(yīng)在各個(gè)章節(jié)之間呈現(xiàn)連續(xù)性.接下來(lái)應(yīng)該給學(xué)生一些機(jī)會(huì)來(lái)說(shuō)一說(shuō)他們對(duì)于話(huà)題的感受.

3 印度高級(jí)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱具體內(nèi)容

3.1 六年級(jí)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容

數(shù)系 （60課時(shí)）

（i）了解數(shù)系

鞏固最大為5位數(shù)的數(shù)字的數(shù)感，數(shù)的規(guī)格、估算，識(shí)別更小或更大，等等.位值（用概括和延伸的方法），運(yùn)算連接：利用符號(hào)<，>，=，利用括號(hào)，包含大數(shù)字運(yùn)算的文字（應(yīng)用）題，在所有運(yùn)算之后的結(jié)果最大可達(dá)五位數(shù).包括長(zhǎng)度和質(zhì)量單位的轉(zhuǎn)換（從大到?。?，數(shù)字運(yùn)算的結(jié)果的估計(jì).大數(shù)數(shù)感的介紹，初步熟悉位數(shù)可能達(dá)到8位的大數(shù)或者大數(shù)的估計(jì).

（ii）玩數(shù)字游戲

括號(hào)的簡(jiǎn)化，倍數(shù)和因數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的整除規(guī)律（都通過(guò)觀察模式.首先幫助學(xué)生推導(dǎo)出一些，然后要求學(xué)生得到基本模式的組合的整除）.偶數(shù)和奇數(shù)，素?cái)?shù)和合數(shù)，互素?cái)?shù)，分解素因素，每個(gè)數(shù)都可以分解為素因數(shù)的乘積.HCF（最大公約數(shù)）和LCM（最小公倍數(shù)），用分解素因數(shù)和長(zhǎng)除法求得最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)相差就等于兩個(gè)數(shù)的乘積.所有這些都包含在情境中，給學(xué)生展現(xiàn)學(xué)習(xí)這些的意義，并為他們提供學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

（iii）整數(shù)

自然數(shù)，整數(shù)，數(shù)的性質(zhì)（交換律，結(jié)合律，分配律，加法特性，乘法特性），數(shù)軸.發(fā)現(xiàn)模式，學(xué)生制定看到的數(shù)的模型，識(shí)別并形成由學(xué)生完成的原則（隨著對(duì)代數(shù)熟悉程度的增長(zhǎng)，學(xué)生就可以表達(dá)一般模式）.

（iv）負(fù)數(shù)和整數(shù)

負(fù)數(shù)是如何產(chǎn)生的，負(fù)數(shù)的模型，負(fù)數(shù)與日常生活的聯(lián)系，負(fù)數(shù)的排序，負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置.“學(xué)生來(lái)發(fā)現(xiàn)”模型，識(shí)別并形成規(guī)則.整數(shù)是什么，整數(shù)在數(shù)軸上的識(shí)別，整數(shù)的加減法運(yùn)算，在數(shù)軸上展示運(yùn)算（加上負(fù)整數(shù)會(huì)使得值減?。麛?shù)的比較，整數(shù)的排序.

（v）分?jǐn)?shù)

復(fù)習(xí)什么是分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)作為整個(gè)數(shù)的一部分，表示分?jǐn)?shù)（在數(shù)軸上繪制），分?jǐn)?shù)如同除法，真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)、等值分?jǐn)?shù)，比較分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)加減法（避免大量復(fù)雜的不必要的任務(wù)）.（不斷接近抽象的分?jǐn)?shù)）

復(fù)習(xí)十進(jìn)小數(shù)的概念，十進(jìn)小數(shù)中位值的概念，分?jǐn)?shù)和十進(jìn)小數(shù)的相互轉(zhuǎn)換（在這里要避免循環(huán)小數(shù)），涉及小數(shù)加減法的應(yīng)用題（兩種運(yùn)算都與金錢(qián)、質(zhì)量、長(zhǎng)度和溫度有關(guān)）.

代數(shù) （15課時(shí)）

代數(shù)學(xué)介紹

通過(guò)模型、適當(dāng)?shù)膽?yīng)用題與一般規(guī)律介紹變量（例如5×1=5等）

從更多的例子中找到類(lèi)似的規(guī)律

利用上下文中簡(jiǎn)單易懂的例子，介紹新知識(shí)（單運(yùn)算）

比率與比例 （15課時(shí)）

比率的概念

比例是兩個(gè)比率的等式

歸一化方法（只含有正變分）

文字（應(yīng)用）題

幾何學(xué) （65課時(shí)）

（i）基礎(chǔ)幾何概念（二維）

介紹幾何學(xué)，它與日常生活有聯(lián)系并反映了生活經(jīng)驗(yàn)

直線(xiàn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)

開(kāi)放圖形與封閉圖形

封閉圖形的內(nèi)部與外部

直線(xiàn)的和曲線(xiàn)的邊界

角——頂點(diǎn)、邊、內(nèi)部、外部

三角形——頂點(diǎn)、邊、角、內(nèi)部和外部、高線(xiàn)和中線(xiàn)

四邊形——邊、頂點(diǎn)、角、對(duì)角線(xiàn)、鄰邊和對(duì)邊（只討論凸四邊形），四邊形的內(nèi)部和外部

圓——圓心、半徑、直徑、弧度、扇形、弦、段、半圓、周長(zhǎng)、內(nèi)部和外部

（ii）理解基本圖形（二維與三維）

測(cè)量線(xiàn)段

測(cè)量角度

一組直線(xiàn)

——相交或垂直

——平行

銳角、鈍角、直角、平角、優(yōu)角、周角、零角

三角形的分類(lèi)（以邊和角為依據(jù)）

四邊形的分類(lèi)——不規(guī)則四邊形、平行四邊形、矩形、正方形、菱形

簡(jiǎn)單多邊形（介紹）（和不規(guī)則圖形一樣，一直介紹到八邊形的規(guī)則圖形）

識(shí)別三維圖形：正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體、球體、圓錐體、棱柱體（三角形的）、錐體（三角形的和正方形的），能在生活環(huán)境中找出這些并識(shí)別這些圖形

三維圖形的基本元素（面、邊和頂點(diǎn)）

正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體、圓錐體和四面

（iii）對(duì)稱(chēng)性（回憶）

觀察并識(shí)別二維反射對(duì)稱(chēng)物體

簡(jiǎn)單二維物體的反射運(yùn)算（鏡像反射）

識(shí)別反射對(duì)稱(chēng)（識(shí)別反射軸線(xiàn)）

（iv）作圖（使用直尺、量角器、圓規(guī)）

繪制一條線(xiàn)段

構(gòu)造一個(gè)圓

垂直平分線(xiàn)

作一個(gè)角（使用量角器）

作60°，120°的角（使用圓規(guī)）

利用角平分線(xiàn)作30°，45°，90°的角等.（使用圓規(guī)）

作一個(gè)與已知角相等的角（使用圓規(guī)）

過(guò)一點(diǎn)：a）直線(xiàn)上一點(diǎn)；b）直線(xiàn)外一點(diǎn)，作一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)

測(cè)量 （15學(xué)時(shí)）

周長(zhǎng)的概念和面積介紹

通過(guò)各種圖形引進(jìn)周長(zhǎng)的概念，并使學(xué)生大致理解其意思.介紹相同周長(zhǎng)的不同圖形.矩形和正方形的面積概念，列舉與周長(zhǎng)和面積相關(guān)的不同的錯(cuò)誤概念的例子.

矩形的周長(zhǎng)——它的特例——正方形.推導(dǎo)矩形的周長(zhǎng)公式，然后通過(guò)模型推導(dǎo)出正方形的周長(zhǎng)公式.

數(shù)據(jù)處理 （10學(xué)時(shí)）

（i）什么是數(shù)據(jù)——選擇數(shù)據(jù)以檢查假設(shè)

（ii）搜集并整理數(shù)據(jù)——如用統(tǒng)計(jì)欄和表格組織數(shù)據(jù)

（iii）統(tǒng)計(jì)圖表需要測(cè)量圖表解釋與作圖

（iv）根據(jù)所給數(shù)據(jù)作柱狀圖，并對(duì)其增長(zhǎng)做出解釋

3.2 七年級(jí)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容

數(shù)系 （50課時(shí)）

（i）了解數(shù)系：整數(shù)

整數(shù)的乘法和除法（通過(guò)模式）.除數(shù)為0的除法是無(wú)意義的.

整數(shù)的性質(zhì)（包括加法和乘法的特性，交換律，結(jié)合律，分配律（通過(guò)模式））.這些也包括由整數(shù)而來(lái)的例子.涉及到用一般形式表達(dá)交換律和結(jié)合律的性質(zhì).反例的構(gòu)建，有些由孩子提供.例如減法不可用交換律這樣的反例.

包含整數(shù)的文字（應(yīng)用）題（所有運(yùn)算）

（ii）分?jǐn)?shù)和有理數(shù)

分?jǐn)?shù)的乘法

分?jǐn)?shù)作為運(yùn)算的數(shù)

分?jǐn)?shù)的倒數(shù)

分?jǐn)?shù)的除法

包含帶分?jǐn)?shù)的文字題

有理數(shù)的介紹（包括數(shù)軸上表示有理數(shù)）

有理數(shù)的運(yùn)算（所有運(yùn)算）

用小數(shù)表示有理數(shù)

有理數(shù)的文字題（所有運(yùn)算）

十進(jìn)制小數(shù)的乘除法

單位換算（長(zhǎng)度單位、質(zhì)量單位）

文字題（包含所有運(yùn)算）

（iii）冪

指數(shù)只能是自然數(shù).

指數(shù)定律（通過(guò)觀察模式得出一般規(guī)律）

（iv）am·bm=（ab）m

代數(shù) （20小時(shí)）

代數(shù)式

寫(xiě)出包含1—2個(gè)變量的代數(shù)式（簡(jiǎn)單的）

辨別常量、系數(shù)和冪

同類(lèi)項(xiàng)和異類(lèi)項(xiàng)，公式的次數(shù)，例如x2y等（指數(shù)≤3）

代數(shù)式的加減法（系數(shù)是整數(shù)）

只含一個(gè)變量的涉及兩種運(yùn)算（避免復(fù)雜的系數(shù)）的簡(jiǎn)單線(xiàn)性方程（在上下文的問(wèn)題中）

比率與比例 （20學(xué)時(shí)）

比率與比例（復(fù)習(xí)）

繼續(xù)學(xué)習(xí)、鞏固并一般化表述歸一化方法

介紹百分?jǐn)?shù)

理解百分?jǐn)?shù)是分母為100的分?jǐn)?shù)

將分?jǐn)?shù)和小數(shù)轉(zhuǎn)換成百分?jǐn)?shù)，反之亦然

應(yīng)用于利潤(rùn)和虧損上（只是單一的交易）

應(yīng)用于單利上（過(guò)去的時(shí)間段發(fā)生的）

幾何學(xué) （60學(xué)時(shí)）

（i）理解圖形

一對(duì)角（線(xiàn)性的、互補(bǔ)的、互余的、相鄰的、相互垂直）（證明并簡(jiǎn)單驗(yàn)證一對(duì)相互垂直的角）

被一直線(xiàn)所截的平行線(xiàn)的性質(zhì)（錯(cuò)角、同位角、內(nèi)角、外角）

（ii）三角形的性質(zhì)

三角形內(nèi)角和的性質(zhì)（通過(guò)折紙驗(yàn)證與證明平行線(xiàn)的使用性質(zhì)，注意驗(yàn)證與證明的區(qū)別）

外角性質(zhì)

兩邊之和大于第三邊

勾股定理（需證明）

（iii）對(duì)稱(chēng)性

復(fù)習(xí)反射對(duì)稱(chēng)

軸對(duì)稱(chēng)的概念，觀察二維物體的對(duì)稱(chēng)軸（90°，120°，180°）

從90°旋轉(zhuǎn)至180°的簡(jiǎn)單圖形的運(yùn)算

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)與反射對(duì)稱(chēng)的圖形舉例（同時(shí)具備兩種運(yùn)算）

反射對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)的圖形舉例，反之亦然

（iv）用二維表示三維

用二維表示遮擋的面來(lái)繪制三維圖形

識(shí)別并計(jì)算頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)、網(wǎng)數(shù)（立方體、圓柱體、圓錐體）

將圖形與物體相匹配（能夠識(shí)別名稱(chēng)）

通過(guò)視覺(jué)估計(jì)繪制空間

（v）全等

重合即全等（例如：刀片、郵票等）

將全等的概念延伸到一些簡(jiǎn)單的幾何圖形中，例如三角形、圓形等

全等的條件（已證）SSS、SAS、ASA、RHS

（vi）作圖（使用圖尺、量角器、圓規(guī)）

過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作一條已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)（利用交錯(cuò)角的推論簡(jiǎn)單證明作為備注）

構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的三角形，和已有的三條邊一樣，給出一條邊和兩個(gè)角構(gòu)造三角形，或者給出兩條邊及其夾角構(gòu)造三角形

測(cè)量 （15學(xué)時(shí)）

復(fù)習(xí)周長(zhǎng)、圓周長(zhǎng)的概念

面積

利用正方形、矩形、三角形、平行四邊形、圓形的基本單位面積介紹測(cè)量的概念，兩個(gè)矩形和兩個(gè)同心圓中間的面積測(cè)量

數(shù)據(jù)處理 （15學(xué)時(shí)）

（i）搜集并整理數(shù)據(jù)——為假設(shè)檢驗(yàn)選擇所需的數(shù)據(jù)

（ii）平均數(shù)、中位數(shù)和未歸類(lèi)數(shù)據(jù)的眾數(shù)——理解它們意味著什么

（iii）繪制柱狀圖

（iv）通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)感受概率.事件的可能性就像擲硬幣和骰子等.制表并記錄骰子在若干次投擲中從1至6數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù).將它與擲硬幣的觀察表格作對(duì)照.觀察拋出的一串?dāng)?shù)字，體會(huì)隨機(jī)性的概念.

3.3 八年級(jí)數(shù)學(xué)具體內(nèi)容

數(shù)系 （50課時(shí)）

（i）有理數(shù)

有理數(shù)的性質(zhì)（包括特性）用表達(dá)式的一般形式來(lái)描述性質(zhì)

鞏固有理數(shù)的運(yùn)算

有理數(shù)在數(shù)軸上的表示

在任意的兩個(gè)有理數(shù)中間存在另一個(gè)有理數(shù)（使學(xué)生知道，與整數(shù)不同，如果找到兩個(gè)不同于其它整數(shù)的有理數(shù)，這樣的話(huà)就可以找到越來(lái)越多的在他們之間的數(shù)）

文字題（高級(jí)邏輯，兩種運(yùn)算，包括面積等概念）

（ii）冪

整數(shù)作為指數(shù)

整數(shù)次冪的指數(shù)定律

（iii）平方，平方根，立方，立方根

平方與平方根

利用因式分解法和分解法可求不多于四位數(shù)和不多于兩位小數(shù)的數(shù)的平方根

立方和立方根（只有數(shù)的因式分解至多包含3種數(shù)）

估算平方根和立方根，學(xué)會(huì)不斷接近所求數(shù)字的過(guò)程

（iv）玩數(shù)字游戲

會(huì)寫(xiě)并理解兩位數(shù)或三位數(shù)的通式（100a+10b+c,其其中a，b，c只能是0—9之間的數(shù)字），參與到相關(guān)的多樣的智力游戲中去（例如找到基本涉及四則運(yùn)算的任一個(gè)被字母代替的未知數(shù)字）.學(xué)生去解決并發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題和數(shù)字游戲.

數(shù)字游戲和活動(dòng)

推論出用通式表示的兩位數(shù)或三位數(shù)被2，3，5，9，10除的規(guī)則

代數(shù) （20小時(shí)）

（i）代數(shù)式

代數(shù)式的乘除（系數(shù)是整數(shù)）

一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤（例如2+x≠2x，7x+y≠7xy）

恒等式（a±b）2=a2±2ab+b2，a2?b2=（a?b）（a+b）因式分解（簡(jiǎn)單的代數(shù)式）例如如下的類(lèi)型a（x+y），（x±y）2，a2?b2， （x+a）·（x+b）

有關(guān)乘除法的上下文問(wèn)題中（應(yīng)用題），解決只有一個(gè)變量的線(xiàn)性方程（避免方程中復(fù)雜的系數(shù)）

比率與比例 （25學(xué)時(shí)）

應(yīng)用于百分比、損益、管理費(fèi)用、折扣、稅上的有些難度的問(wèn)題

單利和復(fù)利間的區(qū)別（復(fù)利每年增長(zhǎng)3倍，或者每半年增長(zhǎng)3倍），通過(guò)一些模型得出復(fù)利的公式，并將它應(yīng)用于單利的情況中去

正變分——簡(jiǎn)單的與直接的應(yīng)用題

逆變分——簡(jiǎn)單的與直接的應(yīng)用題

時(shí)間與工作問(wèn)題——簡(jiǎn)單的與直接的應(yīng)用題

幾何學(xué) （40學(xué)時(shí)）

（i）理解圖形

四邊形的性質(zhì)——四邊形的內(nèi)角和為360°（已證）

平行四邊形的性質(zhì)（已證）

（i）平行四邊形對(duì)邊相等，（ii）平行四邊形對(duì)角相等，（iii）平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分.[（iv），（v），（vi）由（ii）得來(lái)]（iv）矩形對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分.

（v）菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分.

（vi）正方形對(duì)角線(xiàn)相等，它們互相垂直且平分.

（ii）用二維表示三維

識(shí)別圖片，并將它們與實(shí)物匹配起來(lái)[插入結(jié)合二維和三維圖形的更復(fù)雜的例子，（不超過(guò)兩個(gè)）].

繪制二維圖形來(lái)表示三維物體（以此類(lèi)推）

計(jì)算頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，驗(yàn)證關(guān)于三維多面體的歐拉公式（正方體、長(zhǎng)方體、四面體、棱柱和棱錐）

（iii）作圖

四邊形作圖：

一個(gè)4條邊和一條對(duì)角線(xiàn)

3條邊和兩條對(duì)角線(xiàn)

3條邊且包含兩個(gè)角

兩條鄰邊和三個(gè)角

測(cè)量 （15學(xué)時(shí)）

（i）一個(gè)梯形和一個(gè)多邊形的面積

（ii）體積的概念，使用一個(gè)基本單元測(cè)量正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體的體積

（iii）體積和容量（容量的測(cè)量）

（iv）正方體、長(zhǎng)方體、圓柱體的表面積

數(shù)據(jù)處理 （15學(xué)時(shí)）

（i）閱讀柱狀圖，將未歸類(lèi)的數(shù)據(jù)分組，構(gòu)造柱狀圖來(lái)表示分組的數(shù)據(jù)，并對(duì)圖表做出解釋.

（ii）利用合理的數(shù)據(jù)繪制簡(jiǎn)單的餅圖.

（iii）鞏固并歸納像擲硬幣和拋骰子等的事件可能性的概念.將它與生活中事件的可能性聯(lián)系起來(lái).重復(fù)投擲相同的硬幣或骰子，然后觀察出現(xiàn)的事件的頻率.

連續(xù)投擲很多完全相同的骰子或者硬幣，統(tǒng)計(jì)結(jié)果并得到許多獨(dú)立事件.觀察這些重復(fù)事件中搜集的數(shù)據(jù)，并與拋硬幣的數(shù)據(jù)做比較.觀察拋出的一串?dāng)?shù)字，體會(huì)隨機(jī)性的概念.

介紹圖表 （15學(xué)時(shí)）

預(yù)備

（i）坐標(biāo)軸（橫縱坐標(biāo)軸單位相同），笛卡爾平面

（ii）繪制不同情況的點(diǎn)（正方形的周長(zhǎng)與長(zhǎng)度，正方形的面積與其邊長(zhǎng)的函數(shù)，繪制不同數(shù)字的倍數(shù)，單利與年數(shù)，等等）

（iii）離開(kāi)坐標(biāo)圖進(jìn)行觀察

觀察線(xiàn)狀圖

觀察距離—時(shí)間的圖表

[1]張維忠，孫慶括.多元文化視角下的初中數(shù)學(xué)教科書(shū)比較[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（2）：44-48.

[2]劉曌，楊光偉，唐恒鈞.中日兩國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程統(tǒng)計(jì)與概率的比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，22（3）：63-66.

[3]闞閱.中等教育普及化與新世紀(jì)印度高中教育改革[J].比較教育研究，2010，（6）：37-42.

[4]National Curriculum Framework 2005[EB/OL].http://www.ncert.nic.in/index.htm