任偉芳，偶偉國(guó)，龔 輝，張 敏，朱賽飛，王繼光，張奠宙

（1.浙江省鄞州區(qū)教育局 教研室，浙江 寧波 315100；2.華東師范大學(xué)，上海 200062）

在日常教學(xué)設(shè)計(jì)中，人們常常關(guān)注的問題是：學(xué)生是理解了知識(shí)還是沒有理解知識(shí)，是部分理解還是全部理解等.但是，很少考慮到是不是還有不同類型的理解.當(dāng)代最負(fù)盛名的英國(guó)數(shù)學(xué)心理學(xué)家斯根普（R.Skemp）有一篇著名論文，題目是“關(guān)系性理解和工具性理解”（Relational and Instrumental Understanding）[1]，這是對(duì)“理解”層次認(rèn)識(shí)的一次重大突破.

1 國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)工具性理解和關(guān)系性理解的介紹與評(píng)論

斯根普指出，工具性理解是指一種語義性理解：符號(hào)A所指代的事物是什么.或者一種程序性理解，一個(gè)規(guī)則R所指定的每一個(gè)步驟是什么，如何操作等.簡(jiǎn)言之，就是按照語詞的本意和計(jì)算程序進(jìn)行操作，即“只知是什么，不知為什么”.

關(guān)系性理解則還需對(duì)知識(shí)意義和替代物本身結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識(shí)，獲得概念和規(guī)律（定律、定理、公式、法則等）的途徑，以及規(guī)則本身有效性的邏輯依據(jù)等，簡(jiǎn)言之：“不僅知道要做什么，而且知道為什么”.那么通常所說的理解是指那一種理解呢？

《辭?！方忉屨f：“理解是應(yīng)用已有知識(shí)揭露事物之間聯(lián)系而認(rèn)識(shí)新事物的過程.”[2]《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》將理解解釋為：“能描述對(duì)象的特征和由來，能明確地闡述此對(duì)象與有關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別與聯(lián)系.”[3]李士锜則認(rèn)為，理解一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，是指“在心理上能夠組織起適當(dāng)而有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分”[4].《辭?！?、課程標(biāo)準(zhǔn)和李士锜所說的理解，都涉及“事物間的聯(lián)系”，“對(duì)象的區(qū)別與聯(lián)系”，“認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”等關(guān)鍵詞，實(shí)質(zhì)上都是指“關(guān)系性理解”.因此，通常的教學(xué)實(shí)踐中工具性理解幾乎被忽視.

21世紀(jì)以來，國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)斯根普的“理解分類”進(jìn)行了介紹與研究.馬復(fù)首先分析了斯根普的兩種理解.然后指出，傳統(tǒng)的“定義（定理）—實(shí)例—練習(xí)—習(xí)題”的數(shù)學(xué)教學(xué)模式所表現(xiàn)出來的對(duì)于理解的定位就是“工具性理解”.但教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生獲得的是關(guān)系性理解，而要想達(dá)到“關(guān)系性理解”顯然還需要讓學(xué)生從事其它類型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)[5].在后續(xù)的魏民、鐘志華的論文中，都研究如何從“工具性理解”向“關(guān)系型理解”的轉(zhuǎn)變，加強(qiáng)過程性教學(xué)[6]，卻都未對(duì)“工具性理解”的價(jià)值做出更多的闡述.

2 對(duì)工具性理解進(jìn)行本土化的解釋

斯根普認(rèn)為，工具性理解也是一種理解，并進(jìn)一步指出這種理解還有許多優(yōu)點(diǎn).有些知識(shí)如兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘或分?jǐn)?shù)相除，很難從關(guān)系上去理解.“負(fù)負(fù)得正”以及“除以分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”是很容易記住的規(guī)則，但不易解釋其原因[7].

斯根普的這種說法和中國(guó)研究者固有的一些理念發(fā)生沖突.長(zhǎng)期以來，中國(guó)研究者一直認(rèn)為“知其然而不知其所以然”乃是一種機(jī)械記憶，不能歸屬于理解的范圍.新課改以來，更強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)要設(shè)定“過程性目標(biāo)”，即認(rèn)為學(xué)習(xí)必須“知其然而且要知其所以然”，必須揭示知識(shí)的發(fā)生過程.因此，需要結(jié)合本土的有關(guān)論述，進(jìn)一步闡明工具性理解的意義.

首先想起錢偉長(zhǎng)的一則關(guān)于“刀”的故事.1996年錢偉長(zhǎng)在《自然雜志》復(fù)刊后的卷首篇發(fā)表了一篇文章，其中提到數(shù)學(xué)工具與工程技術(shù)關(guān)系的論述，錢偉長(zhǎng)說：“做一番事業(yè)，用的工具要恰到好處，目的是解決問題.就像屠夫殺豬要用好刀，但這把刀能用好就行，不要整天磨刀，欣賞刀，刀磨得多好??！那是刀匠的事.”錢校長(zhǎng)還說：“不要做刀匠，要做屠夫，去找最合適的刀，去殺最難的問題.”[8]

錢偉長(zhǎng)對(duì)數(shù)學(xué)這把刀在工程上應(yīng)用的論述，和斯根普所說的“工具性理解”意思是相通的.仔細(xì)想來，錢偉長(zhǎng)所說的“刀”就是工具.對(duì)于“刀”，使用者必須能加以識(shí)別，了解它的價(jià)值、效能、用途，會(huì)用它解決各種問題，即知悉“刀”之“然”.這是大多數(shù)“屠夫”應(yīng)知應(yīng)會(huì)的內(nèi)容.一些好的“屠夫”雖然不是刀匠，不必會(huì)制造刀.但是知道一些“刀”的制造過程，“知道其所以然”，有助于用好刀.這相當(dāng)于對(duì)“刀”的關(guān)系性理解.至于一些使用該刀的專家（屠夫），除了能夠創(chuàng)造性地利用這把刀，解決一些復(fù)雜的問題，并轉(zhuǎn)而發(fā)現(xiàn)原“刀”的不足，對(duì)“制刀”提出改革建議.這就不僅知道其所以然，還能發(fā)現(xiàn)新的“然”，由此可以進(jìn)入到創(chuàng)新的層面了.

另一個(gè)與“工具性理解”相關(guān)的是“教學(xué)平臺(tái)理論”.“平臺(tái)”是借用計(jì)算機(jī)科學(xué)的名詞，例如“Windows”文字處理平臺(tái).對(duì)“Windows平臺(tái)”拿來會(huì)用就是了.除少數(shù)專家外，一般人只知其然，不必詳細(xì)了解它的“所以然”（編制過程）.事實(shí)上，許多數(shù)學(xué)內(nèi)容已經(jīng)作為平臺(tái)在使用，例如希爾伯特嚴(yán)格的《幾何基礎(chǔ)》、戴德金的實(shí)數(shù)分割說、康托的實(shí)數(shù)序列說、公理化的實(shí)數(shù)系等等.除非是這方面的專家，普通數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者不必都需要理解其所以然，只要懂得其意義和作用，能夠站到這個(gè)平臺(tái)上往前走就可以了.

中學(xué)數(shù)學(xué)里有一個(gè)突出的例子是數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)和全體實(shí)數(shù)能夠建立起一一對(duì)應(yīng)，即實(shí)數(shù)恰好一對(duì)一地填滿數(shù)軸.這是一個(gè)平臺(tái)，只要“知其所以然”，明了它的意義，會(huì)在架設(shè)直角坐標(biāo)系時(shí)加以使用就可以了.至于它的所以然，要使用“可公度”和“不可公度”線段的理論，相當(dāng)費(fèi)時(shí)費(fèi)事.這一理論在20世紀(jì)50年代還曾出現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)教材，后來就刪除了.現(xiàn)在對(duì)數(shù)軸只做“工具性理解”，將它當(dāng)作平臺(tái)加以使用.

3 數(shù)學(xué)理解的3個(gè)層次——“工具性理解”“關(guān)系性理解”和“創(chuàng)新性理解”

3.1 工具性理解對(duì)教學(xué)有指導(dǎo)意義

中小學(xué)數(shù)學(xué)里，只做“工具性理解”的內(nèi)容很多，大致說來有以下幾類.

第一類，前人使用的語言.數(shù)學(xué)課程里要出現(xiàn)許多專有名詞、符號(hào)、以及表述格式等，都是一種語言，乃是前人形成的習(xí)慣.只要記憶模仿，知其然即可.例如三角比之一的正弦，為什么叫正弦？為什么用sin符號(hào)？為什么二次曲線之一叫橢圓，不叫“扁圓”？幾何證明為什么用因?yàn)椋ā撸┧裕ā啵┠菢拥母袷綍鴮懀@些都是前人不斷總結(jié)選擇、后人繼承修訂的結(jié)果.對(duì)于數(shù)學(xué)語言，主要是使用而不是問其淵源（當(dāng)然數(shù)學(xué)史專家會(huì)進(jìn)行研究）.

第二類，約定俗成的規(guī)則.例如為什么自然數(shù)從零開始？復(fù)數(shù)的乘法為何如此定義？負(fù)負(fù)得正的理由何在？設(shè)置平行公理是否合理？為什么數(shù)學(xué)要用邏輯論證？數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性怎樣形成的，等等.這些問題都是前人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)加以概括而成的運(yùn)算法則和思想體系.只能理解其價(jià)值無法說明其所以然.就以負(fù)負(fù)得正而言，它是一種運(yùn)算規(guī)則.這里可以舉出一些實(shí)例（火車的方向和時(shí)間前后等），也可以用約定一些運(yùn)算規(guī)則（如分配律的保持等）.但是這些不過是一種合理化的說明，并非其全部的“所以然”理由.弄得不好，這種情境創(chuàng)設(shè)往往越說越糊涂，于理解并無大益.反倒是一些簡(jiǎn)單的比喻會(huì)使學(xué)生容易接受和認(rèn)可.譬如反面的反面是正面；不得不做就是要做；左的反面是右；右的反面又是左等語境，用來理解“負(fù)負(fù)得正”的含義倒會(huì)容易些.至于確切知道負(fù)負(fù)得正的所以然，就需要從有理數(shù)公理化體系上加以詮釋，那就超出了基礎(chǔ)教育的范圍.

第三類，無法嚴(yán)格處理的內(nèi)容.中小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念，學(xué)生只能先模糊地承認(rèn)下來，當(dāng)作平臺(tái)使用而無法知其所以然.例如圓周率π是無理數(shù)，證明起來很麻煩，但是不知道為什么π是無理數(shù)，不影響學(xué)生求圓面積、球體積.再如什么是面積和體積的定義？中小學(xué)根本無法嚴(yán)格定義.現(xiàn)行教材的說法是：“物體表面的大小叫做面積”.沒有面積何談大??？因此，這是一個(gè)不嚴(yán)謹(jǐn)描述而已.大家知道，依照測(cè)度理論，面積是一個(gè)有限可加、運(yùn)動(dòng)不變、單位正方形取值為1的平面點(diǎn)集類上的函數(shù).這要在大學(xué)的《測(cè)度論》課程才能搞清楚.對(duì)于這類知識(shí)，當(dāng)然無法在中小學(xué)就知其所以然.

第四類，一些基本技能的訓(xùn)練.中小學(xué)課程里有大量的基本技能訓(xùn)練要求，在一開始時(shí)無法說清為什么要這樣做，只能當(dāng)作平臺(tái)接受下來.例如初中的“有理數(shù)運(yùn)算”、“式的運(yùn)算”，等等，高中里的許多恒等變換如三角變換、絕對(duì)不等式的證明，等等.一開始也只能接受下來，做工具性理解.一個(gè)典型的例子是因式分解，為什么要將一個(gè)多項(xiàng)式分成兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積？這在一開始是無法說明白的，只有在求解一元二次方程時(shí)才顯示其作用.然而這也只是因式分解功能的一部分，而且永遠(yuǎn)也不能把其“所以然”說完整.因式分解的教學(xué)只能從“和差化積”、“積化和差”這種哲學(xué)上的“互逆”機(jī)制上加以解釋，給予工具性理解.

下面以平面直角坐標(biāo)系的教學(xué)為例，分析工具性理解對(duì)教學(xué)的指導(dǎo)意義.

許多坐標(biāo)系的教案，通常都企圖進(jìn)行“關(guān)系性”理解,即想回答“笛卡爾是怎樣想到坐標(biāo)系的？”“如何探索、發(fā)現(xiàn)出來的？”于是就有蜘蛛在天花板上位置，經(jīng)緯度的啟發(fā)，電影院里第幾排第幾座等的情景創(chuàng)設(shè)出來，并抽象為“兩個(gè)數(shù)確定平面位置”的思想作為坐標(biāo)系的來源，以為這就找到了它的“所以然”，其實(shí)這是一種膚淺的教學(xué)設(shè)計(jì).中小學(xué)進(jìn)行平面直角坐標(biāo)系教學(xué)的關(guān)節(jié)點(diǎn)，首先在于原點(diǎn)的設(shè)置.電影院沒有0排0座.教室里學(xué)生座位也沒有0排0座.教師的問題應(yīng)該是問“老師的講臺(tái)應(yīng)該是第幾排第幾座呢？”由此引出0排0座.其次，要知道坐標(biāo)系上的點(diǎn)和有序的實(shí)數(shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的，然后認(rèn)識(shí)原點(diǎn)和象限.最后，讓兩個(gè)橫坐標(biāo)相等的同學(xué)站起來那是一條直線.這樣做可以體現(xiàn)坐標(biāo)系能夠表示數(shù)學(xué)對(duì)象的功能.這些都屬于對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行深刻的工具性理解.這就是說，工具性理解不等于死記硬背，要真正做到工具性理解，把握其數(shù)學(xué)本質(zhì)并不是容易的事情.

3.2 研究關(guān)系性理解的含義有助于學(xué)生形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)

關(guān)系性理解的涵義，馬復(fù)在文[5]中作了解說，對(duì)于該對(duì)象獲得了關(guān)系性理解，包含有4個(gè)層面的意思：

（1）知道——知道該對(duì)象的定義.一些本質(zhì)屬性，若干典型實(shí)例以及與若干其它對(duì)象之間的差異；

（2）應(yīng)用——能歸納、概括事物的特征與規(guī)律.可以在與最初接觸該對(duì)象的相似情境中應(yīng)用該對(duì)象的某些性質(zhì)，通過模仿范例去解決一些問題，并且知道求解過程的合理性；

（3）聯(lián)結(jié)——可以在該對(duì)象與自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)數(shù)學(xué)概念之間構(gòu)成本質(zhì)上的聯(lián)系，擴(kuò)展知識(shí)網(wǎng)；

（4）新題解決——能夠在全新的問題情境中，把所學(xué)的對(duì)象作為一種解決問題的手段、方法甚至思路.用于新問題的解決，并產(chǎn)生新的思想和觀念.

以上對(duì)關(guān)系性理解的界定，有作者自己的解釋和理解，并向前走了重要的一步.但是其中的“知道”，似乎和“工具性理解”有所重疊.在“應(yīng)用”這層意思里，“初步應(yīng)用”如套公式、按規(guī)則運(yùn)算，等等，也屬于工具性理解的要求.至于“問題解決”的部分，能解決全新的數(shù)學(xué)問題，則已經(jīng)超出關(guān)系性理解的范疇，達(dá)到創(chuàng)新性理解的水平了.

關(guān)系性理解的標(biāo)志有以下特征：

（1）揭示知識(shí)發(fā)生過程.包括情境創(chuàng)設(shè)、抽象概括、去粗存精、形式化表示等.

（2）進(jìn)行演繹邏輯分析.對(duì)數(shù)學(xué)定理、原理、規(guī)則進(jìn)行邏輯證明，與周圍知識(shí)進(jìn)行邏輯連接.

（3）提升為數(shù)學(xué)思想方法.將數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和論證提升為數(shù)學(xué)方法.

（4）形成自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)者將數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)過以上的認(rèn)知活動(dòng)之后，形成個(gè)人的數(shù)學(xué)圖式網(wǎng)絡(luò)，并能運(yùn)用于變式狀態(tài)下的數(shù)學(xué)情景.

舉例說明.

例 對(duì)數(shù)的教學(xué).（參見文[9]）

對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的工具性理解，在于能夠識(shí)別符號(hào)log，知道是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù).并能用對(duì)數(shù)表進(jìn)行計(jì)算，將數(shù)字的乘法化為較為簡(jiǎn)單的加法來進(jìn)行.

進(jìn)一步，關(guān)于對(duì)數(shù)的關(guān)系性理解有以下4個(gè)層面：

（1）展示“對(duì)數(shù)”知識(shí)的發(fā)生過程

高中階段進(jìn)行“對(duì)數(shù)”教學(xué)，因?yàn)橐呀?jīng)有了集合對(duì)應(yīng)的概念.在引入時(shí)不妨使用“對(duì)應(yīng)”的概念，加強(qiáng)“對(duì)數(shù)”的直覺了解.先給出如下兩個(gè)對(duì)應(yīng)著的數(shù)列：

探索下列問題：找出兩個(gè)數(shù)列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.目的是培養(yǎng)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、概括抽象、符號(hào)表示等數(shù)學(xué)思維能力.顯然對(duì)應(yīng)關(guān)系為N=2b.模仿算術(shù)運(yùn)算的符號(hào)，如(+, -)、(×, ÷)，用logaN表示對(duì)數(shù)運(yùn)算.

（2）對(duì)數(shù)性質(zhì)的邏輯證明.對(duì)數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵在于把握運(yùn)算規(guī)則logaMN=logaM+logaN.

先舉例計(jì)算16×256的值，可以先計(jì)算

第一行中12對(duì)應(yīng)第二行中的4 096，于是就有16×256=4 096.然后用指數(shù)式進(jìn)行邏輯推導(dǎo).

（3）提升為數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)數(shù)概念的建立涉及“互逆”運(yùn)算的數(shù)學(xué)思想方法.特別地，對(duì)logaMN=logaM+logaN的證明過程，可以提升為關(guān)系—映射—反演（RMI）方法.

（4）形成認(rèn)知結(jié)構(gòu).這需要學(xué)習(xí)者進(jìn)行反思，將相關(guān)知識(shí)融匯為一體，符號(hào)log作為一個(gè)特殊的運(yùn)算和函數(shù)，能與其它運(yùn)算和函數(shù)相區(qū)別又互相聯(lián)系構(gòu)成網(wǎng)絡(luò).

3.3 創(chuàng)新性理解能促使學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成

關(guān)系性理解再深入一步，就會(huì)進(jìn)入創(chuàng)新性理解.所謂創(chuàng)新性理解就是在認(rèn)識(shí)知識(shí)本身結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行提高、推廣和拓展，或者對(duì)某種操作的更新或改變，或者進(jìn)行文化、美學(xué)的欣賞，具有創(chuàng)新的特征.簡(jiǎn)言之：知其然并且知其“新”的“然”和“所以然”.

創(chuàng)新性理解的起點(diǎn)是要能夠清晰而準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì).一個(gè)概念，一個(gè)問題，經(jīng)過各種變式以后，學(xué)習(xí)者仍能剝離那些非本質(zhì)因素，透徹地看清其本質(zhì)所在，就可能產(chǎn)生創(chuàng)新的沖動(dòng).數(shù)學(xué)的發(fā)展總是在推陳出新.沒有“陳”，怎能知道“新”？在學(xué)習(xí)過程中同樣也要“推陳出新”.只有站到前人的肩膀上，才能看到更遠(yuǎn)的地方.華羅庚的讀書法[11]告訴大家，先把書從薄讀到厚，那是在努力獲得關(guān)系性理解.然后從厚讀到薄，就是能夠提綱挈領(lǐng)，掌握其本質(zhì)，以形成個(gè)人的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).一旦知道問題的關(guān)鍵，達(dá)到熟能生巧的境界，就會(huì)出現(xiàn)創(chuàng)新的契機(jī).

創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)理解，是在提出新問題，進(jìn)行新猜想，拓展新內(nèi)容的過程中完成的.學(xué)習(xí)者在新的層次、或者更寬的領(lǐng)域里進(jìn)行居高臨下的觀察，多角度地思考原有的概念和問題，達(dá)到一種新的思維水平.創(chuàng)新性理解的結(jié)果是將原有的學(xué)習(xí)內(nèi)容置于新的認(rèn)知圖景之中，通過比較、分辨，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

4 以二元一次方程和分?jǐn)?shù)的乘法及基本不等式為例進(jìn)行3個(gè)層次的剖析

用以下的3個(gè)例子進(jìn)行說明.

例A 二元一次方程組的理解.

工具性理解：會(huì)用消元法、代入法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.會(huì)用一元二次方程求解雞兔同籠等問題.

關(guān)系性理解：知道字母系數(shù)的二元一次方程求解的過程，理解代入法是一種化歸為一元一次方程的數(shù)學(xué)思想方法.注意到系數(shù)行列式不為0的要求.能夠比較代數(shù)方法和算術(shù)方法求解雞兔同籠等問題的區(qū)別與聯(lián)系.

創(chuàng)新性理解：經(jīng)歷大量的變式練習(xí)之后，掌握了解方程組內(nèi)容的本質(zhì)是將二元化為一元.那么其他二元方程和三元一次方程的求解也應(yīng)該可以進(jìn)行.進(jìn)而用行列式和矩陣進(jìn)行居高臨下的考察.

例B 分?jǐn)?shù)的乘法（Z.Usiskin）.

Z.Usiskin在ICME-12上的演講提出了數(shù)學(xué)理解的5個(gè)維度.他所舉的一個(gè)例子是分?jǐn)?shù)的乘法.

（1）程序性理解：2/3×4/5=？能夠得出答案是8/15.

（2）應(yīng)用性理解：一個(gè)長(zhǎng)方形農(nóng)場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別是2/3 km和4/5 km，那么它的面積是多少？能得到答案8/15 km2.

（3）證明性理解：能夠推理證明a/b×c/d=ac/bd（用乘法交換律、結(jié)合律，乘法的意義等加以證明）.

（4）表示性理解.用圖形表示.如圖1

圖1 表示性理解

以上4個(gè)維度，前兩者屬于工具性理解，后兩者相當(dāng)于關(guān)系性理解.

Usinkin還給出了以下的圖2.從點(diǎn)C連接大梯形的4個(gè)頂點(diǎn)，再在這4條線上截取各自的2/3處，得到的4點(diǎn)構(gòu)成小的梯形.小梯形各邊的長(zhǎng)度是原來大梯形各邊長(zhǎng)度的2/3，即2/3×4/5=8/15.

圖2 創(chuàng)新性理解

圖2已經(jīng)超出了分?jǐn)?shù)乘法的基本含義，進(jìn)入到平面幾何的領(lǐng)域，構(gòu)成了新的認(rèn)識(shí).這實(shí)際上是把2/3當(dāng)作一種施加于4/5之上的操作，具有了新的含義.因此，這是一種創(chuàng)新性理解.

此外Usiskin給出的第五個(gè)維度是歷史文化的維度（說明埃及最早使用分?jǐn)?shù)，等等）.歷史文化維度，則是一種人文思考，也超出了分?jǐn)?shù)乘法演算的范圍.這兩者都有居高臨下的觀察和思考，具有一定的創(chuàng)新性.

例C 基本不等式[10].如果a,b∈R，那么2b+≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）.

對(duì)它的工具性理解，需要知道這是一個(gè)絕對(duì)不等式，即恒不等式.它條件少，結(jié)論明確，能夠應(yīng)用于數(shù)字大小的比較、函數(shù)的最值、以及參數(shù)的適用范圍等簡(jiǎn)單問題的求解.

進(jìn)一步，要對(duì)它進(jìn)行關(guān)系性理解.首先是演繹證明

（綜合法）因?yàn)?a?b)2≥0，所以a2+b2≥2ab.

（比較法）a2+b2?2ab=(a?b)2≥0，則a2+b2≥2ab.

（反證法）假設(shè)a2+b2＜2ab，則(a?b)2＜0，矛盾.

（分析法）欲證a2+b2≥2ab，只要證a2+b2?2ab≥0，而(a?b)2≥0.

通過演繹證明，揭示了基本不等式各個(gè)量之間的相互關(guān)系，理解了這一不等式成立的根據(jù).與此同時(shí)，將之提升到數(shù)學(xué)思想方法，認(rèn)識(shí)到它們最后都是“化歸”為(a?b)2≥0.

基本不等式還可以有超越“關(guān)系性理解”的更高級(jí)的理解成分.首先通過變式練習(xí)和反思，獲得此不等式的巨大的應(yīng)用價(jià)值，把握其本質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)“基本”的含義.如推演以下的不等式：

④a(a?b)≥b(a?b)；

⑦2x≥22ax?a等.

在這些變式的引領(lǐng)下，所獲得的理解成為進(jìn)一步推陳出新的基礎(chǔ).

由此出發(fā)進(jìn)行開拓可以獲得創(chuàng)新性理解，即在更高思維層次上推演一些全新的不等式：

②3a+(a,b∈R+)；

③4a+≥23b2≥222ab等.b

這些不等式的推演，已經(jīng)不是簡(jiǎn)單的運(yùn)用，具有明顯的創(chuàng)新成分.

進(jìn)一步，基本不等式可以和其它領(lǐng)域的知識(shí)聯(lián)系起來，進(jìn)行新的創(chuàng)新思考.

（1）與不等式、方程知識(shí)相聯(lián)系.把a(bǔ)2+b2≥2ab轉(zhuǎn)化為(a+b)2?4ab≥0.這個(gè)形式與根的判別式很像（Δ=b2?4ac），可構(gòu)造以a,b為根的一元二次方程x2?(a+b)x+ab=0，則Δ=(a+b)2?4ab≥0，即a2+b2≥2ab成立.

（2）與函數(shù)知識(shí)相聯(lián)系.設(shè)a,b同號(hào)，把a(bǔ)2+b2≥2ab轉(zhuǎn)化為+≥2，設(shè)=x，可構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義可證，在(0, 1)上函數(shù)是減函數(shù)，在(1, +∞)上是增函數(shù).則f(x)=x+的最小值是2，即x+≥2成立，所以a2+b2≥2ab.從a2+b2≥2ab化為+≥2，條件是a,b要同號(hào)，如果a,b是異號(hào)問題依然成立.

從以上3個(gè)例子，已經(jīng)可以看到3種數(shù)學(xué)理解的聯(lián)系與差異.

5 一個(gè)多層次的數(shù)學(xué)理解分類

如上所述，數(shù)學(xué)理解有工具性理解、關(guān)系性理解和創(chuàng)新性理解3個(gè)層次.皮瑞-基倫的理解模型[11]（如圖3）的最后一個(gè)層次是“發(fā)明創(chuàng)造”.因此，將創(chuàng)新作為一種理解的最高層次早有先例.

圖3 皮瑞-基倫的理解模型

在理解的各個(gè)層次中，創(chuàng)新性理解自然屬于最高級(jí).如圖4所示.3種理解既相對(duì)獨(dú)立又相互聯(lián)系，它們的交融促成綜合性的理解教學(xué)的實(shí)現(xiàn).當(dāng)然，理解有層次性，創(chuàng)新性理解屬最高級(jí)理解.具體地說，每層理解又可以分為不同類型的理解要求.

圖4 數(shù)學(xué)理解示意圖

5.1 工具性理解的分類

（1）識(shí)記性理解.認(rèn)識(shí)并能記憶.例如正弦的定義與符號(hào).

（2）描述性理解.描述其意義，便于識(shí)記.例如負(fù)負(fù)得正，做一些合理性的解釋.

（3）確認(rèn)性理解.舉例說明其正確，獲得確認(rèn).例如分?jǐn)?shù)的顛倒相乘.舉一些具體數(shù)字的實(shí)例，加以確認(rèn).

（4）功能性理解.說明其作用，便于使用.例如直角坐標(biāo)系.關(guān)注原點(diǎn)，表示數(shù)學(xué)對(duì)象.

（5）平臺(tái)式理解.接受下來，投入使用.例如數(shù)軸上點(diǎn)和實(shí)數(shù)系中的數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

5.2 關(guān)系性理解的分類

（1）證明性理解.運(yùn)用邏輯演繹方法展示其生成過程，證明其正確，說明結(jié)論為什么成立.例如定理的證明.

（2）論說性理解.例如函數(shù)概念的形成、實(shí)例操作、過程展示、明確對(duì)象整體把握概念.

（3）反思性理解.將本原的理解提升為數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.例如對(duì)數(shù)，本原理解是作為指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，進(jìn)一步用RMI原理說明乘法運(yùn)算映射為加法運(yùn)算形成同構(gòu)關(guān)系.

（4）結(jié)構(gòu)性理解.用公理化方法揭示其內(nèi)部結(jié)構(gòu).例如從有理數(shù)公理化體系說明負(fù)負(fù)得正的合理性，揭示其內(nèi)在結(jié)構(gòu)的特質(zhì).

5.3 創(chuàng)新性理解的分類

（1）拓展性理解.跳出概念本身的領(lǐng)域，在拓展領(lǐng)域內(nèi)揭示其內(nèi)涵.例如基本不等式和函數(shù)、方程知識(shí)的關(guān)聯(lián)以及發(fā)展為幾何的理解.

（2）復(fù)雜問題解決的理解.將本原的理解通過應(yīng)用獲得新的理解.大量的解題過程都是一種創(chuàng)新過程.例如用向量的數(shù)量積證明三垂線定理，非常簡(jiǎn)潔明了.

（3）推廣式理解.發(fā)現(xiàn)本源知識(shí)的不足加以改造，推陳出新.例如有限數(shù)列向無限數(shù)列的推廣等.

（4）數(shù)學(xué)文化與美學(xué)層面的理解.

以上的理解分類，并不能完全概括數(shù)學(xué)理解的復(fù)雜內(nèi)涵，但是有助于教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，確定合理的教學(xué)目標(biāo).

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