張陽開，梁策力，陳朝東

（1.西南大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，重慶 400715；2.西南大學 教育學部，重慶 400715）

爭鳴指因觀點不同在政治或學術等問題上展開激烈辯論.它既包括觀點上的對立、認識上的分歧，也包括實踐中的反復[1].1997年發(fā)生的加州數(shù)學戰(zhàn)爭中就存在許多爭鳴，例如，計算器要不要引入學校數(shù)學，如果允許走進課堂，則何時引入等[2].中國數(shù)學教育發(fā)展中也存在許多爭鳴問題[3～8].當前，高考數(shù)學（以下簡稱高考）能否使用計算器（科學型計算器）的問題，既是一個熱點問題，也是一個爭鳴問題.各省市對高考使用計算器的規(guī)定有所不同：大部分省市明確規(guī)定不允許攜帶計算器進入考場，如江蘇、山西、河北、河南、云南、四川、山東、內(nèi)蒙古等；有部分省市則規(guī)定高考可以使用計算器，如上海、湖北、陜西等.高考使用計算器對高考命題、教師的教和學生的學都會產(chǎn)生正反兩方面的影響.因此，自2000年上海市規(guī)定高考可以使用計算器起，關于高考使用計算器的爭鳴就一直不斷，甚至愈演愈烈.基于文獻綜述和訪談發(fā)現(xiàn)，這一爭鳴主要存在兩種不同的認識傾向：一種認為高考不能使用計算器；另一種則認為高考可以使用計算器.

1 高考不能使用計算器

盡管部分省市已經(jīng)明確提出高考可以使用計算器，但是反對的呼聲仍然很高.2012年4月2日，《東方早報》談到，高考命題專家袁小平在“新民晚報上海高考論壇”上呼吁“上海高考數(shù)學應取消計算器題”[9].除此之外，還有許多專家、學者、一線教師持反對意見，他們主要出于以下考慮：

1.1 使用計算器會降低學生的運算能力

運算能力是中國傳統(tǒng)三大數(shù)學能力之一.中國對運算能力的強調(diào)貫穿于數(shù)學課程設置、實施和評價的始終.長期以來，在中小學數(shù)學課程標準中，培養(yǎng)學生的運算能力都是一條重要的教學要求.數(shù)學雙基教學也非常注重培養(yǎng)學生的運算速度，并得到了運算速度有益于高效思維的經(jīng)驗.數(shù)學考試，無論是小學、初中，還是高中，都強調(diào)對計算速度的考查.尤其是高考數(shù)學題量大，而考試時間短（只有兩個小時），因此對計算速度的考查尤為突出.中國數(shù)學教育對學生運算能力的強調(diào)可見一斑.訪談發(fā)現(xiàn)，一些專家、學者認為，若高考允許使用計算器，學生將不再重視對一些基本知識的記憶，例如常見角的三角函數(shù)值.如此一來，勢必會造成學生對計算器的依賴，最終將導致運算能力的下降，甚至是不再了解基本算理.有教研員提出，實行新課改后計算器進入中小學教學，進入中考考場，造成烏魯木齊市首批使用計算器的高三學生運算能力弱，恐影響高考[10].

1.2 使用計算器后一些傳統(tǒng)的計算型試題將被淘汰

高考允許使用計算器后，對于一些傳統(tǒng)的數(shù)值計算題，學生只要會使用計算器就能解決，這些試題的難度被降低，同時，傳統(tǒng)的解題思路遭到摒棄.原本這些試題欲考查的知識點得不到考查，由此，這部分試題便失去了意義，終將被淘汰.

例如，1998年高考題：下列關系式正確的是（ ）

此題原本欲考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和相關指數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì).計算器進入高考考場后，考生不再需要掌握這些知識點也能輕易求解.再如，1997年高考題：已知tg=，求sin(?+的值.就此題來說，原本欲考查的知識點有：同角的三角函數(shù)關系、倍角的正弦和余弦公式、三角函數(shù)的誘導公式、二角和的正弦公式等.然而，利用計算器，考生完全可以繞開這些知識點，只需按若干下計算器按鈕，就可直接求得結果[11].可見，計算器進入高考考場后，一些考查函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)基本公式等基礎知識的傳統(tǒng)計算題都將被淘汰.

1.3 使用計算器可能會引發(fā)考試作弊

人們常說，科學技術是一把雙刃劍，它給人類帶來福利的同時，也帶來了一些麻煩，正如高考中的作弊問題.訪談發(fā)現(xiàn)，有部分高中一線教師認為，在科技發(fā)達的今天，如果允許考生將計算器帶進考場，勢必很難控制考場秩序，將會增加監(jiān)考難度.因此他們認為，高考允許使用計算器可能會引發(fā)作弊，進而破壞考試公平、公正的原則，影響教育公平.雖然教育部、學校和社會都非常關注教育公平問題，采取了許多反作弊措施，例如，制訂了懲處高考作弊者的法規(guī).教育部最新頒布的《國家教育考試違規(guī)處理辦法》規(guī)定，可視作弊情節(jié)的嚴重程度分別對高考作弊者給予懲處.情節(jié)特別嚴重的，可以給予暫停參加各種國家教育考試1至3年的處理[12].但是，盡管如此，高考作弊事件仍然是頻頻發(fā)生.鑒于此，部分高中教師反對高考使用計算器.

2 高考可以使用計算器

部分專家、學者、家長和學生認為，高考可以使用計算器，甚至是非常有必要使用計算器.有人質(zhì)疑，現(xiàn)在已是信息時代，在數(shù)據(jù)處理時，誰不使用計算器？如果高考考試內(nèi)容仍需死記硬背，以手工計算為主是否適宜？另外，還有張奠宙先生[13]等數(shù)學教育家也支持高考使用計算器.總結起來，支持者主要持以下幾類觀點.

2.1 使用計算器可使高考試題更貼近現(xiàn)實

弗賴登塔爾認為，數(shù)學來源于現(xiàn)實，應用于現(xiàn)實[14].數(shù)學教育不僅要教現(xiàn)實的數(shù)學，而且還要考現(xiàn)實的數(shù)學.這不僅能讓學生了解數(shù)學的應用價值、樹立正確的數(shù)學觀，而且還能提高學生運用所學數(shù)學知識解決實際問題的意識，培養(yǎng)問題解決的能力.然而，由于現(xiàn)實中的數(shù)學問題往往涉及許多復雜的數(shù)據(jù)、繁瑣的計算以及高考考試時間限制等原因，高考試題總是遠離實際，即便試題中的背景是現(xiàn)實的，試題中的數(shù)據(jù)也是“精心設計”的，是“規(guī)范”的.例如，在解三角形的高考試題中所求的角往往都是、、等特殊值.這會使學生認為數(shù)學都是數(shù)學家“想”出來的，學習數(shù)學就是為了解決“數(shù)學題”，不利于培養(yǎng)正確的數(shù)學觀.基于此，高考應該允許使用計算器.這樣一來，高考試題不僅可以具有現(xiàn)實生活背景，還可以出現(xiàn)現(xiàn)實生活中的數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“現(xiàn)實的數(shù)學”，使高考題目更加貼近現(xiàn)實.

2.2 使用計算器有助于學生更充分地思考試題

高考數(shù)學題量大，但考試時間短.考生需要花大量時間用于計算，因此就缺少時間對考題充分進行思考，甚至不能做完所有的題目.2009年6月8日，《南國都市報》談到，有考生質(zhì)疑：“高考中的很多試題，我明明知道解題方法，可因為把大量時間浪費在了繁瑣的運算上，導致很多題不是不會做，而是來不及做.如果有計算器幫忙，答題速度會快得多.”[15]對于數(shù)學的基本運算，如四則運算、乘方和開方運算、指數(shù)和對數(shù)運算、角度和弧度的互化、三角函數(shù)求值運算等，都可以運用計算器來計算.因此，若高考允許使用計算器，利用計算器運算快速、準確的特點，學生既可以擺脫繁重的數(shù)值計算、避免錯誤，又可以節(jié)約時間，將更多時間用于思考試題，更充分地理解題意.

2.3 使用計算器有助于學生更好地掌握使用計算器的技能

計算器的使用，可以給生活帶來方便，可以提高工作效率.使用計算器是學生從小就需要掌握的基本技能.中國數(shù)學教育越來越重視計算器在數(shù)學課程中的應用.從建國以來歷次頒布的小學數(shù)學課程標準（教學大綱）可以看出，作為現(xiàn)代計算工具，計算器正在逐步取代籌算、算盤等傳統(tǒng)計算工具，登上小學數(shù)學課程的舞臺.如今，可以毫不夸張地說，計算器的使用是現(xiàn)代社會每個公民必備的基本技能之一.尤其是對于工科、理科專業(yè)的大學生來說，在專業(yè)知識學習和考試過程中，都離不開計算器.但是，受傳統(tǒng)文化影響的中國學生實踐動手能力一直被認為是弱項[16].然而，若把高考使用計算器作為一項基本要求，學生在平時的學習中就會重視計算器的操作技能，并且反復練習使用.進而獲得熟練使用計算器這一基本動作技能，增強實踐動手能力.

2.4 使用計算器有助于學生更好地掌握數(shù)學的基本知識

在使用計算器的過程中，學生可以經(jīng)歷實驗、觀察、發(fā)現(xiàn)和反思等數(shù)學活動，同時探索具體問題中的數(shù)量關系、變化規(guī)律等數(shù)學知識，這些過程可以加深他們對數(shù)學基本知識的理解，同時積累數(shù)學活動經(jīng)驗.例如，在作指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象時，學生可以使用計算器計算出非整數(shù)指數(shù)冪，然后列表、描點、畫出圖象.在計算的過程中，學生可以觀察和猜想函數(shù)的單調(diào)性并驗證，發(fā)展合情推理能力.這個過程可以加深學生對不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的認識，進而牢固地掌握這些知識.再如，經(jīng)歷計算器產(chǎn)生隨機數(shù)的過程，學生可以更加深刻地理解隨機事件、隨機變量等概念；在統(tǒng)計該過程中某個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)時，學生能夠深刻地理解概率的基本概念.

2.5 使用計算器有助于教師轉變教學觀念

中國傳統(tǒng)的數(shù)學教學往往是“掐頭去尾燒中段”，教學中忽視了數(shù)學概念的獲得及數(shù)學應用的過程.高考允許使用計算器后將有助于教師轉變這一觀念.現(xiàn)以上海市為例來說明這一點.自上海高考允許使用計算器以來，上海高考命題組在以能力立意的思想指導下進行了許多有意義的嘗試，大膽地把計算器的使用融入試題中，使高考試卷呈現(xiàn)許多喜人的面貌，如對探究能力的考查更加具體生動、新編應用問題更加趨近實際等[17].可見，高考允許使用計算器后，將會給高考試題的命制帶來很大的變化.考查探究能力的試題非常注重學生對陌生概念的習得與理解，這會讓教師關注數(shù)學概念教學，注重學生獲得數(shù)學概念的過程.而應用題則趨近實際，強調(diào)數(shù)學的應用，促進教師關注數(shù)學在實際中的應用，重視學生數(shù)學應用意識的形成和應用能力的培養(yǎng).

3 對高考使用計算器的思考

關于高考能否使用計算器的爭鳴，應該鼓勵，而不應回避.爭鳴往往使真理越辯越明，使爭論的孰是孰非越來越清楚；爭鳴往往能夠推動學科的發(fā)展.數(shù)學教育爭鳴則是推動數(shù)學教育科學發(fā)展的強大動力.在綜合考慮爭論雙方觀點的基礎上，研究者認為，計算器進入考場是社會發(fā)展的必然趨勢，高考不僅不應禁止使用計算器，而且還應該倡導.下面從高考使用計算器的必要性和反對觀點的再思考兩方面來說明這一點.

3.1 高考使用計算器的必要性

除了認同上述支持在高考中使用計算器的理由外，研究者還將從《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》[18]（以下簡稱《高中課標》）對高中數(shù)學課程使用計算器的要求和高中數(shù)學教材使用計算器的現(xiàn)狀兩個方面來進一步說明高考使用計算器的必要性.

3.1.1 《高中課標》對高中數(shù)學課程使用計算器的要求

隨著計算機技術的迅猛發(fā)展，數(shù)學技術進入數(shù)學課程在21世紀將是國際趨勢，世界各國正紛紛為此作準備[19]，中國也不例外.統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，《高中課標》非常重視在數(shù)學課程中運用計算器.《高中課標》中關于“計算器”的表述一共有15處，如表1所示.可以看出，《高中課標》在以下3個板塊中對計算器的使用提出了建議或要求：第一、前言的課程基本理念部分.《高中課標》把“注重信息技術與數(shù)學課程的整合”作為高中課程的基本理念之一，并指出，要“盡可能使用科學型計算器、各種數(shù)學教育技術平臺，加強數(shù)學教學與信息技術的結合”，“鼓勵學生運用計算機、計算器等進行探索和發(fā)現(xiàn)”.第二、內(nèi)容標準部分.無論是必修部分還是選修部分，《高中課標》都強調(diào)使用計算器.例如，《高中課標》在數(shù)學1中的對數(shù)函數(shù)一節(jié)，提出了“能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象”的教學要求.第三、實施建議部分.對于計算器的使用，《高中課標》在教學、評價、教材編寫方面都給出了定位.例如，在教材編寫建議中指出，“提倡使用計算器或計算機”.由表1還可以看出，《高中課標》對高中課程中的計算器使用有兩個層次的要求.第一個層次的要求是教師應鼓勵學生使用計算器，例如，《高中課標》在教學建議中指出，教師“應鼓勵學生使用計算機、計算器等工具”.第二層次的要求是學生要能使用計算器.例如，《高中標準》在數(shù)學1中的函數(shù)與方程一節(jié)，提出了“能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象”的教學要求.《高中課標》對計算器的使用提出了很高的要求，若在高考這一重要評價中不允許使用，這豈不是自相矛盾？因此，研究者認為在高考中應該要使用計算器.

表1 《高中課標》中有關計算器的表述

3.1.2 高中數(shù)學教材使用計算器的現(xiàn)狀

考慮到使用的廣泛性和普遍性，文章以人教A版高中數(shù)學教材必修1—5（以下簡稱高中教材）[20]為研究對象，統(tǒng)計分析高中數(shù)學教材關于計算器使用的現(xiàn)狀.結果發(fā)現(xiàn)，高中教材總體上非常重視計算器的使用.具體來說，高中教材中關于計算器的使用有以下幾方面的特點：第一、使用的頻次多，一共有77次.第二、涉及的知識領域廣，包括函數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計三大領域，在各領域中的使用頻次如表2所示.第三、涉及的板塊多，包括習題、例題、探究、邊框、小結、正文六大板塊.計算器在各個板塊中出現(xiàn)的頻次如表3所示.在高中教材中，計算器主要出現(xiàn)在例題和習題中，用于輔助計算.

表2 計算器使用在各知識領域的分布

高中教材對計算器的使用要求和《課標》一致，都分為兩個水平，第一個水平是可以使用計算器（25次）.第二個水平是需要使用計算器（52次）.眾所周知，中國是一個考試大國，高考依舊在發(fā)揮其“指揮棒”作用，它往哪指，就往哪走，它考什么，就教什么.如若高考不允許使用計算器，高中教學可能就不再重視與計算器使用相關的數(shù)學知識.例如，函數(shù)與方程一節(jié)中有一處：借助計算器或者計算機用二分法求方程2x+3x=7的近似解.教學中將不教授用二分法求方程近似解這一知識點，最終導致學生不了解用二分法求方程近似解的原理，更無法掌握這一求解方法.因此，從高中教材計算器使用的現(xiàn)狀來看，高考中應該要使用計算器.

3.2 對反對觀點的再思考

首先，有人擔心高考使用計算器后一些傳統(tǒng)的計算型試題將被淘汰.這種觀點未免太過保守，隨著時代的發(fā)展，一些舊的考題必將被新的考題所取代.這是數(shù)學教育、高考試題發(fā)展中的“物競天擇、適者生存”，屬再正常不過的事情了.況且，還可以通過編寫其它形式的考題來考查因計算器進入高考考場而被淘汰的試題欲考查的知識點.其次，有人擔心高考使用計算器會降低學生的運算能力，反對高考使用計算器.這種擔心是多余的.正如張奠宙先生所說：“正像發(fā)明了汽車不必擔心人腳會退化一樣，計算器是人腦的延長，只會提高人腦的效率，而不是相反.”“我有時在想，高科技在現(xiàn)今數(shù)學教育中的運用已相當深入，而我們?nèi)怨潭ㄈ斯び嬎悖靥げ讲磺?，這似乎像當年用大刀長矛對付火炮火槍一樣，雖然功夫了得，卻仍然敗下陣來.我們縱然可以拿數(shù)學奧林匹克冠軍，到頭來卻在技術使用上落在后面，豈不是又要挨打？”[21]另外，“計算器和算籌、珠算盤一樣，都屬于計算工具，它們應該在不同歷史時期發(fā)揮對數(shù)學及數(shù)學教育發(fā)展的推動作用.”[22]最后，有人擔心高考使用計算器可能會引發(fā)作弊.這種擔心就更沒有必要了，因為可以通過一定的方式來防止作弊.防作弊的方法至少有以下3種：其一、可以像上海市一樣，規(guī)定高考使用的計算器不能帶有儲存功能，計算器上面不能有涂抹的痕跡.其二、可以由學校統(tǒng)一發(fā)放高考使用的計算器.其三、可以通過屏蔽信號或其它高科技方式來防止作弊.

基于上述分析可以看出，高考不僅可以使用計算器，而且應該使用計算器.相應地，數(shù)學課堂教學也應重視計算器的應用.在美國，1987年以來，計算器成為了微積分教學的重要工具，由此引起了教學內(nèi)容與方法的改革[23].這啟迪中國數(shù)學課堂教學在應用計算器時，必須充分考慮計算器對數(shù)學學習內(nèi)容和方式的影響[24].讓計算器不僅成為學生的計算工具，也成為他們的學習工具，利用計算器來幫助理解和掌握數(shù)學知識.

教育信息化是教育現(xiàn)代化的根本要求，而計算器的使用則是教育信息化的基礎.隨著時代的進步，學生走上工作崗位后都需要使用計算器輔助運算.高考允許學生使用計算器，是信息時代的根本要求，是社會發(fā)展的必然趨勢.

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