林德旺

【關(guān)鍵詞】《圓的對稱性》 概念

課堂教學(xué)

【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）02A-

0073-02

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，我們往往會在不經(jīng)意間“遭遇”各種意料之外的情形。正確處理情理之中與意料之外的生成，不僅促使學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解更加透徹，也凸顯了學(xué)生在課堂教學(xué)活動中的主體地位，幫助學(xué)生在探究活動中獲得更為全面的發(fā)展。

一、合情引入——從實際需要起始

數(shù)學(xué)概念的建立過程，是建立在學(xué)生對一類事物的具體感知基礎(chǔ)上的，只有積累了足夠的感性體驗，并以問題導(dǎo)向為指引，幫助學(xué)生從中抽象出其本質(zhì)屬性，數(shù)學(xué)概念才能清晰地烙在學(xué)生的腦海中。在教學(xué)實踐中，教師要創(chuàng)設(shè)與教學(xué)內(nèi)容緊密相連，便于學(xué)生進行抽象思考的具體場景，使學(xué)生感到抽象的必要性，認識到概念建立的有效價值。

如，在教學(xué)人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《圓的對稱性》一課的導(dǎo)入階段，筆者首先出示了趙州橋的圖片，以簡短的語言向?qū)W生介紹了趙州橋的歷史淵源，讓學(xué)生產(chǎn)生強烈的探究欲望。同時，結(jié)合趙州橋的具體形狀，讓學(xué)生形象地感知跨度（弧所對的弦長）、拱高（弧的中點到弦的距離），為學(xué)生對概念的理解建立一個具體的表象。接著筆者提出探究活動的起始問題：現(xiàn)有一艘貨船，已知船長8米，船寬4米，能否從橋下通過呢？以經(jīng)過實際情境包裝下的問題引發(fā)學(xué)生思考。

師：如果你是船長，你打算怎樣確定能否安全通過？

生：我要知道橋拱最高的地方離水面有多少米，防止貨船的最上面擦到橋拱。

生：還有船身的寬度要比橋墩的跨度小。

……

最后筆者讓學(xué)生動手操作，進一步拉近學(xué)生與學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的距離，組織學(xué)生在一系列的實踐活動中思考并探究——

1.畫一畫：在一張半透明的紙上畫一個圓，并通過圓心O作一條直徑。

2.折一折：將圓沿著直徑折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？

3.連一連：將圓O的直徑標(biāo)為AB，作出弦CD并與AB相垂直，垂足為E。

4.想一想：思考弧AC與弧AD之間有什么關(guān)系？弧BC與弧BD之間又有什么關(guān)系？

從“小步快進”中，讓學(xué)生在觀察、操作和小組合作交流中，逐步形成對垂徑定理的具體感知，以在操作過程中的問題指向引領(lǐng)學(xué)生不斷思考，從而拉動學(xué)生的思維一步步地前行。

二、合理形成——確定抽象表達

概念的形成過程，往往是建立在數(shù)學(xué)符號的具體表達上的。數(shù)學(xué)符號兼具簡明性和直觀性，教師在引導(dǎo)學(xué)生進行抽象思維的過程中，及時進行點撥和指導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生通過自我探究和感悟，透析概念背后蘊含的具體內(nèi)涵，了解并列和從屬關(guān)系下事物之間的聯(lián)系和區(qū)別，使得概念的形成更為牢固。運用符號語言或圖形語言，幫助學(xué)生明確表達概念的內(nèi)涵和外延，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念中的概括性和濃縮性，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。同時，讓學(xué)生真正掌握概念符號的意義，學(xué)會運用符號語言對概念定義進行描述，能夠促進學(xué)生壓縮思維過程，使得思考更為順暢。

如，在引導(dǎo)學(xué)生對垂徑定理進行理解時，教師具有針對性地對下面幾點進行了點撥：

（一）適當(dāng)提煉，方便記憶

垂徑定理可以通過“兩個條件”和“三個結(jié)論”進行記憶和理解，為了避免學(xué)生形成機械式記憶，教師以圖表的樣式，引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)。

讓學(xué)生對垂徑定理進行剖析，挖掘其中的內(nèi)涵，教師適當(dāng)點撥，最終形成下表：

（二）依托圖形，公式記憶

以一般對圖形中字母的規(guī)范用法，對半徑、弦心距及弓高的關(guān)系進行記憶，使得學(xué)生在應(yīng)用知識中提取相關(guān)記憶內(nèi)容時，能即時在腦海中浮現(xiàn)出相關(guān)圖形的信息。如在記憶弓高時，結(jié)合兩種不同情況下弓高的計算公式，學(xué)生能迅速在腦中提取圖形（如右圖）：

以圖表或圖形的方式，在幫助學(xué)生理解識記的過程中提供“扶手”的作用，使得學(xué)生學(xué)有依托、記有憑借。同時教師有意識地拉伸了概念建立的過程，幫助學(xué)生經(jīng)歷在教師引導(dǎo)下的“二次發(fā)現(xiàn)”，便于學(xué)生梳理自身的知識結(jié)構(gòu)，使得新知與舊知之間能夠建立聯(lián)系，形成知識脈絡(luò)，避免死記硬背。

三、意外生成——促進深化理解

在實際探究過程中，因為學(xué)生的個性體驗和多樣化認知基礎(chǔ)，他們會提出各種旁逸斜出的問題，給出各種彰顯另類的想法。教師要尊重學(xué)生思維的獨特性，挖掘他們表達背后所經(jīng)歷的觀察、猜想和思考過程，為課堂上的有效生成搭建合理的框架，在各種糾偏和拓展中深化學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解。

在貨船通過橋洞的問題情境中，有學(xué)生提出疑問：如果考慮該貨船上的貨物，比如船上搭載的貨物高度為2米，則應(yīng)該怎樣進行思考與解答？

師：他的問題你們聽懂了嗎？

生：我聽懂了！我認為這個問題提得很好，貨船上裝載貨物是很常見的現(xiàn)象。

生：我覺得這才是一個很好的生活實際問題。

師：是??！帶著數(shù)學(xué)的眼光到生活中觀察、思考，真好！那么，這樣一來，貨船在水中就會……

生：往下沉一點。

師：也就是水面與船面的距離也發(fā)生了變化，吃水量更多了。在通過橋洞之前，我們在測量時發(fā)現(xiàn)貨箱底與水平面持平，根據(jù)圖中提供的數(shù)據(jù)，請你算一算，這艘貨船能順利通過嗎？

……

教師首先給予提問的學(xué)生高度的贊揚，這個具有現(xiàn)實化氣息的問題，具有很深刻的挖掘價值。教師敏銳地把握了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中生成的價值，避免了課堂上由教師唱獨角戲的現(xiàn)象，吸引全體學(xué)生的參與，擴大了課堂對話面，讓學(xué)生體驗到課堂教學(xué)進程中自身的能動性，激發(fā)了學(xué)生獨立思考、全面思考的熱情。同時從課堂教學(xué)實際出發(fā)進行統(tǒng)籌，將生成的變化進行調(diào)整，在本課的最后總結(jié)測試階段再次予以出示，使得整節(jié)課首尾呼應(yīng)，渾然一體。

四、別樣變式——提升靈活運用

在數(shù)學(xué)概念的運用階段，教師應(yīng)充分利用變式，變換問題的表面特征如角度、層次、背景等，突出問題的內(nèi)在實質(zhì)，以問題的漸進性逐步培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提升學(xué)生對于概念掌握的深刻程度。同時，為避免機械重復(fù)訓(xùn)練，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和自身需要，進行有針對性的編排，在變化中反復(fù)多維理解，保持練習(xí)的新鮮感，激起學(xué)生練習(xí)的熱情。

在教學(xué)中，筆者設(shè)計了以階梯狀層次分布的練習(xí)題組，幫助學(xué)生由淺入深地掌握本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

層次一：如圖①，在⊙O中，△ABC是一個頂角為40°的等腰三角形，求∠B的度數(shù)。

層次二：如圖②，⊙O的直徑有AD、BE、CF，且∠1=∠2=∠3。弦AB、CD、EF相等嗎？為什么？

層次三：如圖③，點A、B、C、D均在⊙O上，已知AB=DC，試證明AC=BD。

通過調(diào)整圖中三角形的形狀、位置和個數(shù)，讓學(xué)生在變化中體會不變，幫助學(xué)生熟練運用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能應(yīng)用垂徑定理等解決有關(guān)問題。為了讓學(xué)生擺脫單純紙面練習(xí)的枯燥和單調(diào)，筆者進一步加強了習(xí)題與生活之間的貫通聯(lián)系，促進學(xué)生在知識實際運用中的靈活變通——

層次四：在生活中我們經(jīng)常要確定圓形的圓心。有這樣一個工具（如圖⑤），MN所在的直線與AB相互垂直且平分AB，用這個工具最少只要兩次就能找到圓心，你能說明其中的數(shù)學(xué)道理嗎？

層次五：如圖⑥，張強家圓形餐桌上的玻璃碎了。要配與一塊原來的圓形玻璃一樣大小的坡璃，張強應(yīng)該帶哪一塊玻璃去商店呢？請說明理由。

開展概念教學(xué)時，兼顧“合情合理”和“出乎意料”，使得學(xué)生在概念的建立與運用過程中，既讓概念的學(xué)習(xí)過程扎實而穩(wěn)固，同時又充滿各種驚奇和挑戰(zhàn)。在兩者的平衡之間行走，概念教學(xué)就可以擺脫呆板單一的教學(xué)套路。

（責(zé)編 林 劍）