顏冠群

一、悖論與悖論教學(xué)法

1.悖論?！般Ｕ摗币辉~源于古希臘，屬邏輯學(xué)名詞，也可稱作“逆論”或“反論”。這個(gè)詞的意義較為豐富，它囊括了一切與人的直覺(jué)和日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的結(jié)論，現(xiàn)在多指在表面上看似能自圓其說(shuō)的命題或理論體系，在邏輯上卻可以推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論。

一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)中具體可分為三種悖論。一類稱為“佯謬”，即這個(gè)論斷看似絕對(duì)錯(cuò)誤，卻是正確的；一類論斷恰恰相反，看似是正確的，實(shí)際卻被證明是錯(cuò)誤的；還有一類論斷，它的一組推論看起來(lái)天衣無(wú)縫，卻在邏輯上蘊(yùn)含著自相矛盾。正如黑格爾所說(shuō)：矛盾正是對(duì)知性的局限性的超越和這種局限性的消解。悖論的出現(xiàn)往往是因?yàn)槿藗儗?duì)某些概念的理解、認(rèn)識(shí)不夠深刻或存在錯(cuò)誤所導(dǎo)致的。而解決悖論的過(guò)程則是發(fā)展認(rèn)識(shí)并超載這種歷史局限性的過(guò)程。悖論的提出，曾經(jīng)在歷史上給數(shù)學(xué)帶來(lái)極大的挑戰(zhàn)和震撼。而隨著對(duì)悖論不懈的探討和研究，數(shù)學(xué)本身也成就了巨大的變革和發(fā)展。

2.悖論教學(xué)法。在以知識(shí)為本位的傳統(tǒng)教學(xué)中，悖論往往是受擯棄的，因?yàn)閭鹘y(tǒng)教學(xué)關(guān)注知識(shí)的傳授與接收，對(duì)于悖論這般“似是而非”或是“自相矛盾”的論斷避而不談，以免淆惑視聽(tīng)是最佳之道。本文所探討的悖論教學(xué)法，則反其道而行，是把悖論適當(dāng)引入高數(shù)課堂的一種教學(xué)方法。在課上提出一個(gè)悖論，往往能激起學(xué)生巨大的好奇心和共鳴。他們一步步走入平坦無(wú)奇的小道，遵循著一條無(wú)懈可擊的推理思路往前走，忽然之間，發(fā)現(xiàn)自己已置身于矛盾之中，究竟是哪錯(cuò)了？悖論造成的強(qiáng)烈震撼使思維陷入左右搖擺的境地，于是他們努力試圖推翻它或是提出一系列的辦法解決它。正是在這樣不知不覺(jué)的過(guò)程中，學(xué)生也一步步走入了創(chuàng)設(shè)的課堂情境?？梢哉f(shuō)，正是由于悖論本身的奇妙魅力，在課堂中若能不失時(shí)機(jī)地引入，并且應(yīng)用得當(dāng)，不但不會(huì)誤入歧途，陷入思維誤區(qū)，還將幫助學(xué)生認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣和內(nèi)驅(qū)力。正如邏輯學(xué)家赫茨貝格說(shuō)：“悖論之所以具有重大意義，是由于它們使我們看到我們對(duì)某些根本概念的理解存在多大的局限性，事實(shí)證明，它們是產(chǎn)生邏輯和語(yǔ)言的新觀念的豐富源泉。”

悖論教學(xué)法的理論依據(jù)可以從兩方面來(lái)探討：一是從心理學(xué)理論來(lái)看。一方面，教師在課堂中設(shè)計(jì)合理的悖論，誘使學(xué)生走入“錯(cuò)誤的泥潭”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)后必然在心理上產(chǎn)生警覺(jué)，這種警覺(jué)可以有效防止思維定式的消極作用。另一方面，在教學(xué)中適時(shí)引入悖論，然后再加以否定，通過(guò)正誤對(duì)比，可引起學(xué)生的注意，使學(xué)生記憶深刻。二是從學(xué)習(xí)理論來(lái)看。悖論教學(xué)法可以將學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生自主的積極活動(dòng)，學(xué)習(xí)不再是被動(dòng)接受知識(shí)的過(guò)程，而是主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程。學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、分析和消除悖論的過(guò)程中，進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)、自主學(xué)習(xí)和重新調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使知識(shí)經(jīng)驗(yàn)更豐富和知識(shí)結(jié)構(gòu)更合理、更系統(tǒng)。

二、悖論教學(xué)法的應(yīng)用價(jià)值

1.激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。在傳統(tǒng)的高數(shù)課堂教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生往往覺(jué)得數(shù)學(xué)理論枯燥乏味、煩瑣難懂，導(dǎo)致學(xué)生課堂持續(xù)注意時(shí)間普遍較短，學(xué)習(xí)內(nèi)容和效果都很難得到有效落實(shí)。悖論教學(xué)法的實(shí)質(zhì)，是讓學(xué)生心理形成一種認(rèn)知失調(diào)，以激發(fā)其探究心理，培養(yǎng)直接或近景性的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力。所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”。在數(shù)學(xué)課堂中適時(shí)引入悖論，正是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)新穎、有效的探究性學(xué)習(xí)情境，使其與學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維定式產(chǎn)生矛盾，引發(fā)知識(shí)結(jié)構(gòu)上的不協(xié)調(diào)和進(jìn)一步?jīng)_突，造成心理上的懸念和思維上的刺激，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探索的興趣。在實(shí)踐中適當(dāng)應(yīng)用悖論教學(xué)法，發(fā)起積極主動(dòng)參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓個(gè)體體驗(yàn)到有能力來(lái)對(duì)待外部世界所帶來(lái)的變化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，主動(dòng)探索新情境；也讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)并非“空中樓閣”，而是真正地源于生活，高于生活。

2.有助于理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵與本質(zhì)。數(shù)學(xué)知識(shí)往往包含多重屬性，學(xué)生對(duì)某一知識(shí)、概念的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷逐步剔除非本質(zhì)屬性，從干擾因素中辨析出本質(zhì)內(nèi)涵的“曲折”思維進(jìn)程。高等數(shù)學(xué)中涉及的概念大都是以無(wú)限結(jié)構(gòu)為思想基礎(chǔ)建立的，理論性強(qiáng)，較為抽象，邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)密而復(fù)雜，要把握其中的內(nèi)涵往往比較困難。悖論的課堂應(yīng)用恰恰對(duì)思維進(jìn)行了辨析、比較的操練，加強(qiáng)了思維的曲折感和沖擊力，讓學(xué)生的認(rèn)知水平從思維表層進(jìn)一步深入，落實(shí)到深處。同時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的理解過(guò)程，也是靈活運(yùn)用和拓展的過(guò)程。在實(shí)踐教學(xué)中，對(duì)悖論如此“鮮活”的實(shí)例思考過(guò)程正是在應(yīng)用中鞏固、拓展的過(guò)程。在選擇悖論時(shí)，教師可適當(dāng)加工處理，并精心設(shè)計(jì)，加強(qiáng)其與課堂知識(shí)的聯(lián)系，體現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)有效的正向遷移。

3.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。“數(shù)學(xué)是一門理性思維的學(xué)科”。在新一輪的高數(shù)課程改革中，我們普遍認(rèn)為：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能依靠單純的模仿和記憶，主動(dòng)實(shí)踐、自主探索和合作交流是學(xué)習(xí)的重要方式。課堂上，一個(gè)悖論的提出、分析和消解的過(guò)程，往往是對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)概念或理論從表面到實(shí)質(zhì)、從片面到全面、從錯(cuò)誤到正確的認(rèn)識(shí)過(guò)程。悖論不失為理解數(shù)學(xué)問(wèn)題和鍛煉數(shù)學(xué)思維的良好契合點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)和策略游戲，正是對(duì)學(xué)生思維的廣度、深度開(kāi)展訓(xùn)練。學(xué)生在悖論的分析和解決中開(kāi)拓思路，深化問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得過(guò)程，同時(shí)培養(yǎng)思維的批判性、敏捷性和創(chuàng)造性，提高數(shù)學(xué)推理、空間推理和邏輯推理能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的審美能力。“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種”?？梢哉f(shuō)，“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美”。數(shù)學(xué)之美是數(shù)學(xué)科學(xué)力量的理性之美，也是通過(guò)數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)折射出的人類力量之美。悖論以揭露理論內(nèi)在深刻矛盾的方式提出問(wèn)題，對(duì)悖論問(wèn)題的探究，正是審美主體對(duì)于數(shù)學(xué)中存在的美的真實(shí)反映，在感受、追求和欣賞的同時(shí)，不僅讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美充滿熱忱信念，也讓他們體會(huì)到數(shù)學(xué)美的精髓。這種美不單是形式上對(duì)稱、劃一的和諧美，更是邏輯上的抽象美、結(jié)構(gòu)上的整體美、內(nèi)容上的嚴(yán)謹(jǐn)美、方法上的創(chuàng)造美和思路上的應(yīng)用美。悖論教學(xué)法讓學(xué)生更直觀感受到現(xiàn)代數(shù)學(xué)所具有的美妙、多樣，甚至幽默性質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞力，可以作為當(dāng)前高數(shù)課程改革的有益嘗試。

三、悖論教學(xué)法的應(yīng)用策略

1.悖論設(shè)疑，導(dǎo)入新課。導(dǎo)入新課是指在講授新的知識(shí)內(nèi)容之前，教師本著一定的教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)具體內(nèi)容的特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的引子，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)的行為方式。目的在于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，點(diǎn)明課堂教學(xué)的主要內(nèi)容，為講授新課做好鋪墊，是教學(xué)中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。成功的課堂導(dǎo)入好比磁鐵，能牢牢地吸引學(xué)生的注意力，撥動(dòng)學(xué)生的思維之弦，使之產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲望和高漲的學(xué)習(xí)熱情。悖論在部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)講授前就可以作為很好的引子進(jìn)行設(shè)疑，引出新的知識(shí)點(diǎn)。

2.導(dǎo)致悖論，鞏固知識(shí)。在高數(shù)課堂教學(xué)實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)，由于認(rèn)知水平的局限性或是負(fù)遷移的作用，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解往往不能準(zhǔn)確把握，經(jīng)常處于一知半解、似懂非懂的狀態(tài)。因此，知識(shí)的鞏固必須貫穿于教學(xué)過(guò)程的始終，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的感知、理解和實(shí)際應(yīng)用，都會(huì)對(duì)知識(shí)的鞏固起到重要作用。在課堂上恰當(dāng)導(dǎo)致悖論，正確引導(dǎo)，可以有效加深理解，把握實(shí)質(zhì)。導(dǎo)致悖論教學(xué)法的關(guān)鍵是在講授過(guò)新的知識(shí)點(diǎn)后，設(shè)法引出悖論，然后再用事實(shí)、理?yè)?jù)否定它，從而澄清錯(cuò)誤概念，真正牢固樹(shù)立起正確的概念。

3.悖論懸疑，承前啟后。在傳統(tǒng)高數(shù)課堂教學(xué)中，教師總津津樂(lè)道于在一節(jié)課上解決了多少問(wèn)題。而在新一輪的課改中，我們定位于學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主人，那作為教師，就應(yīng)該努力把沒(méi)有“問(wèn)題”的學(xué)生教成有“問(wèn)題”的學(xué)生。理想的一節(jié)課，不是教了幾個(gè)概念，講授了幾條定理，而是在解決問(wèn)題的過(guò)程中，又產(chǎn)生了多少新問(wèn)題。只有這些無(wú)窮無(wú)盡的問(wèn)題，才能引起學(xué)生的思考和探索?，F(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)悖論就是一種不錯(cuò)的案例，有一些甚至已經(jīng)成為了“懸案”，這樣的懸疑無(wú)須避諱，倒不妨在課堂最后作為課堂小結(jié)的延伸，留給學(xué)生去討論、去思考。這些悖論懸疑，可以成為吸引學(xué)生繼續(xù)前行的動(dòng)力。