楊松濤 張宗利

摘要：計(jì)算思維是目前學(xué)術(shù)界關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，科學(xué)思維能力的提高是促進(jìn)學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力最重要的因素之一。針對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)“組合數(shù)學(xué)”課程的特點(diǎn)，總結(jié)實(shí)際教學(xué)中的工作經(jīng)驗(yàn)以及面臨的主要問(wèn)題，將計(jì)算思維思想融入課堂教學(xué)中，把知識(shí)運(yùn)用的綜合性、靈活性和探索性發(fā)揮到極致，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美，為其它課程建設(shè)提供了有益的探索。

關(guān)鍵詞：計(jì)算思維;組合數(shù)學(xué);教學(xué)改革

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0079（2014）33-0077-02

隨著計(jì)算速度的持續(xù)增加，計(jì)算機(jī)可以解決許多大型的問(wèn)題，然而計(jì)算機(jī)不能獨(dú)立運(yùn)行，它需要通過(guò)編程來(lái)控制。這些程序的核心往往是求解實(shí)際問(wèn)題的組合學(xué)算法。而且，對(duì)于這些算法，運(yùn)行時(shí)間效率和存儲(chǔ)需求分析需要更多的組合學(xué)思想。組合學(xué)問(wèn)題在生活中隨處可見(jiàn)，組合數(shù)學(xué)的思想和技巧不僅用于傳統(tǒng)的自然科學(xué)領(lǐng)域，而且也用于社會(huì)科學(xué)、生物科學(xué)、信息科學(xué)等領(lǐng)域。同時(shí)，大量的研究試圖理解初學(xué)者的認(rèn)知過(guò)程，特別是如何將數(shù)學(xué)巧妙地融合到課堂教學(xué)中，提升其他課程的教學(xué)質(zhì)量。在Piaget認(rèn)知模型中，抽象思維和邏輯推理的關(guān)鍵理論是數(shù)學(xué)，而計(jì)算思維是一種新穎的思維方式，有助于培養(yǎng)抽象思維和邏輯思維以及鍛煉解決實(shí)際問(wèn)題的能力。計(jì)算思維概念首先由Jeannette Wing提出，Jeannette Wing認(rèn)為計(jì)算思維貫穿于所有學(xué)科并被廣泛的應(yīng)用。[1]Denning認(rèn)為計(jì)算思維不是新事物，它持續(xù)蘊(yùn)含在多個(gè)學(xué)科中。但是，我們可以從嶄新的角度理解計(jì)算思維的概念。[2]計(jì)算思維修正了計(jì)算機(jī)科學(xué)等同于計(jì)算機(jī)編程的錯(cuò)誤觀點(diǎn)。許多研究者特別關(guān)注計(jì)算思維驅(qū)動(dòng)下能否深層次地解決問(wèn)題，特別在數(shù)學(xué)理論得到充分運(yùn)用的領(lǐng)域[3]。

一、計(jì)算思維能力的培養(yǎng)

近年來(lái)，計(jì)算思維能力的培養(yǎng)一直是學(xué)術(shù)界討論的焦點(diǎn)問(wèn)題。從表面上看，計(jì)算思維涉及的是人們的一種固有思維方式。但是如果深入分析，它真正涉及的是人們?nèi)绾纬浞掷糜?jì)算思維提供的理念，改變了人們分析和解決問(wèn)題的能力[4]。我們犯的最大錯(cuò)誤可能就是試圖全面強(qiáng)調(diào)實(shí)踐，而忽略了理論知識(shí)的積累，或者試圖全面強(qiáng)調(diào)理論，而忽略了工程實(shí)踐的運(yùn)用。我們的首要問(wèn)題是重新思考教學(xué)模式的改革，從而激發(fā)了以下問(wèn)題的探索：如何體現(xiàn)計(jì)算機(jī)教育的核心價(jià)值？如何在“現(xiàn)實(shí)世界”情景中教數(shù)學(xué)，利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方式來(lái)激發(fā)和介紹數(shù)學(xué)思想？如何盡量把學(xué)生的注意力集中在解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想上？如何將科學(xué)的思維方式運(yùn)用到教學(xué)理論和工程實(shí)踐中，增強(qiáng)分析和解決實(shí)際問(wèn)題能力？

雖然研究者們對(duì)于計(jì)算思維的概念在細(xì)節(jié)方面還存在著一些不同的見(jiàn)解，但是，對(duì)于計(jì)算思維的關(guān)鍵理念的認(rèn)識(shí)是一致的。第一，計(jì)算思維是利用計(jì)算科學(xué)的根本理論來(lái)解決問(wèn)題和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的一種方法。第二，計(jì)算思維意味著在不同層次建立待解決問(wèn)題的抽象，以便更有效的理解問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題;第三，計(jì)算思維意味著將數(shù)學(xué)理論充分運(yùn)用到工程實(shí)踐問(wèn)題中，試圖將待解決問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，以有效的、合理的和安全的方式來(lái)解決問(wèn)題;第四，計(jì)算思維意味著從社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化等各方面考慮問(wèn)題，真正地融入人類的活動(dòng)，更重要的是用以求解問(wèn)題、管理日常生活的計(jì)算概念，以致不再表現(xiàn)為一種抽象的哲學(xué)概念;第五，計(jì)算思維是人類思維在計(jì)算科學(xué)中的體現(xiàn)，決非要使人類像計(jì)算機(jī)那樣地思考，而是人們借助計(jì)算機(jī)開(kāi)發(fā)出更復(fù)雜的工具來(lái)解決人們面臨的更復(fù)雜的問(wèn)題。

二、組合數(shù)學(xué)課程中的計(jì)算思維

科學(xué)、工程和技術(shù)被廣泛地認(rèn)為是改革和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的主要推動(dòng)力。數(shù)學(xué)是現(xiàn)代教育的關(guān)鍵理論，是我們描述、解決問(wèn)題的主要工具，用于對(duì)問(wèn)題形式化描述。組合數(shù)學(xué)不同于其它數(shù)學(xué)分支之處在于：來(lái)源于實(shí)踐，又應(yīng)用于實(shí)踐。組合數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以后迅速發(fā)展起來(lái)的一門(mén)數(shù)學(xué)分支。計(jì)算機(jī)所處理的對(duì)象是離散的數(shù)據(jù)，所以離散對(duì)象的處理就成了計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心，而研究離散對(duì)象的科學(xué)恰恰就是組合數(shù)學(xué)。組合數(shù)學(xué)的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面。本文倡導(dǎo)將計(jì)算思維融入組合數(shù)學(xué)教學(xué)之中，通過(guò)科學(xué)思維方式的指導(dǎo)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。

在數(shù)學(xué)模型中，使用最多的是各種組合數(shù)學(xué)模型。由于組合數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度較大，建立組合數(shù)學(xué)模型需要有很好的數(shù)學(xué)功底，這個(gè)過(guò)程最能體現(xiàn)思維的推理性和嚴(yán)密性，建模過(guò)程中充分體現(xiàn)了分類、分治和遞歸等思維方法。首先，各種計(jì)數(shù)問(wèn)題都可考慮建立組合數(shù)學(xué)模型，遞推關(guān)系是組合數(shù)學(xué)中最常用模型。雖然不討論數(shù)學(xué)規(guī)律而直接利用遞推關(guān)系也可以在理論上解決回溯法計(jì)數(shù)問(wèn)題，但先求解組合數(shù)學(xué)的遞推模型再計(jì)數(shù)可以大大地減低計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度。其次，平面分割問(wèn)題是現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及的一類問(wèn)題，由于其靈活多變，常常讓人們感到棘手。但是，我們只要能夠挖掘出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系和數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，能夠在繁雜的數(shù)據(jù)中找到有價(jià)值的序，往往可使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，方便了問(wèn)題的求解。以下3個(gè)例子是組合數(shù)學(xué)中的典型問(wèn)題，解決這種類型問(wèn)題通常蘊(yùn)藏了計(jì)算思維思想。

例1：假設(shè)有1分、2分、4分，…，2t分的硬幣，如果將n分的紙幣兌換為硬幣，問(wèn)一共有多少種兌換方法？

例2：設(shè)在平面上有n條封閉曲線，任何兩條曲線恰好相交于兩點(diǎn)，而且任何三條曲線不相交于同一點(diǎn)，問(wèn)這些曲線把平面分割成的區(qū)域個(gè)數(shù)。

例3：一個(gè)凸n邊形中，通過(guò)不相交于n邊形內(nèi)部的對(duì)角線，n邊形被拆分成若干三角形，拆分?jǐn)?shù)目為Catalan數(shù)。

計(jì)算思維也稱為構(gòu)造思維，就是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型和方法來(lái)解決問(wèn)題，圖1描述了使用計(jì)算思維解題的思路和步驟。同時(shí)，以上例題的解決啟發(fā)學(xué)生思考以下問(wèn)題：

采用什么樣的構(gòu)造方法建立數(shù)學(xué)模型，模型有什么特點(diǎn)？

如果一個(gè)問(wèn)題對(duì)應(yīng)多個(gè)數(shù)學(xué)模型，按照什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行選擇？

建立的模型是否正確，是否能夠借助計(jì)算機(jī)得以實(shí)現(xiàn)？

本文所討論的以計(jì)算思維為基礎(chǔ)的“組合數(shù)學(xué)”課程，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)計(jì)算思維不屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)家，它應(yīng)當(dāng)是每個(gè)人的基本技能。要想讓每個(gè)人都真誠(chéng)地、發(fā)自內(nèi)心地理解和接受計(jì)算思維的重要性需要一些時(shí)間，該過(guò)程的核心是改變個(gè)人的思維習(xí)慣。不管計(jì)算思維能力的培養(yǎng)需要多少資金和時(shí)間，我們都把它看成是一項(xiàng)投資。像任何有意義的投資一樣，它會(huì)產(chǎn)生成果——解決問(wèn)題能力和創(chuàng)新能力的提高。計(jì)算思維能力的培養(yǎng)能夠發(fā)揮學(xué)生的聰明才智，使其有更多的時(shí)間從事創(chuàng)造性的、只有人腦才能做的個(gè)性化工作。

三、基于計(jì)算思維的組合數(shù)學(xué)課程建設(shè)與實(shí)踐

許多計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生患有“數(shù)學(xué)焦慮癥”，比較困難地理解數(shù)學(xué)概念。這種困難的部分原因可能是由于心理因素，其中數(shù)學(xué)通常呈現(xiàn)給學(xué)生的是重點(diǎn)放在定理和證明上。表1列出了組合數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中面臨的主要問(wèn)題和解決辦法。

表1 學(xué)習(xí)障礙和措施分析

最大的障礙 最有效的方法

對(duì)數(shù)學(xué)缺乏興趣 教師選擇合適的教材，認(rèn)真?zhèn)湔n，合理估計(jì)學(xué)生的基礎(chǔ)能力，保證學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠“聽(tīng)懂課”。只有這樣，才能在一定程度上提高學(xué)生的課堂參與度

缺乏獨(dú)立思考，自主學(xué)習(xí)能力差 淡化考試形式和改變?cè)u(píng)價(jià)體制，迫使學(xué)生注重平時(shí)的課堂學(xué)習(xí)，刺激學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)的過(guò)程中

師生之間缺乏課外交流 加強(qiáng)與學(xué)生的學(xué)術(shù)交流、情感交流，幫助學(xué)生解答疑難困惑

所學(xué)知識(shí)與實(shí)際脫節(jié) 針對(duì)問(wèn)題作引導(dǎo)式指導(dǎo)，選擇靈活、多變的工程案例，使學(xué)生不受固定模式的限制，做到真正的創(chuàng)新

缺乏理論知識(shí)的綜合運(yùn)用 形成一個(gè)完整的、統(tǒng)一的體系，使學(xué)生更準(zhǔn)確、更系統(tǒng)、更完整、更牢固地掌握知識(shí)，更靈活地運(yùn)用知識(shí)，便于學(xué)生的記憶、回憶、應(yīng)用以及提高知識(shí)應(yīng)用的準(zhǔn)確率，使學(xué)生的思維品質(zhì)得到優(yōu)化，提高學(xué)生的實(shí)踐、創(chuàng)新能力

我們堅(jiān)信只要具備兩個(gè)重要因素，任何學(xué)生都可以克服數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的障礙，這兩個(gè)因素就是洞察力和勇氣。洞察力是深入分析和解決問(wèn)題的能力，勇氣將你的洞察力變?yōu)樾袆?dòng)，盡管在行動(dòng)中會(huì)不可避免地遇到各種痛苦。

針對(duì)高?，F(xiàn)有的講授組合數(shù)學(xué)課程的教學(xué)方法，我們提出了將“計(jì)算思維”引入“組合數(shù)學(xué)”課程的建議，該建議得到了學(xué)校和學(xué)院的認(rèn)可。我們采用項(xiàng)目驅(qū)動(dòng)式和問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式方法盡可能地采用聯(lián)系實(shí)際的、具有工程背景的案例，同時(shí)努力揭示相關(guān)領(lǐng)域的各種問(wèn)題的本質(zhì)。除了課堂講解以外，課下討論和實(shí)踐環(huán)節(jié)也是非常重要的。在科學(xué)思維的指導(dǎo)下，學(xué)生的獨(dú)立分析、解決問(wèn)題的能力和團(tuán)隊(duì)合作解決問(wèn)題的能力都得以提高。表2描述了具體的教學(xué)安排。

表2 “組合數(shù)學(xué)”課程教學(xué)安排

教學(xué)內(nèi)容 學(xué)時(shí) 課堂教學(xué)學(xué)時(shí) 討論學(xué)時(shí) 自學(xué)內(nèi)容

排列與組合 8 4 4 逆向思維

遞推關(guān)系與生成函數(shù) 8 4 4 目標(biāo)轉(zhuǎn)化思想

二分圖匹配 8 4 4

組合設(shè)計(jì) 12 6 6 構(gòu)造性思維

在課堂教學(xué)中，我們逐步引入計(jì)算思維的概念，展開(kāi)經(jīng)常性的課堂討論，使學(xué)生樸素的、本能的、潛在的思維能力得以充分發(fā)揮。在課外，學(xué)生通過(guò)自學(xué)的方式自覺(jué)訓(xùn)練和調(diào)整思維模式。雖然，有意識(shí)地訓(xùn)練計(jì)算思維需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，但是，經(jīng)過(guò)不斷的自我感悟、自我訓(xùn)練，這樣堅(jiān)持下去就會(huì)有所收益。實(shí)踐證明，學(xué)生在創(chuàng)新工作中存在不足，其主要原因不是他們欠缺基礎(chǔ)知識(shí)，深層次的原因是他們沒(méi)有培養(yǎng)起利于創(chuàng)新的思維方式，缺乏科學(xué)的思維方法。

四、結(jié)語(yǔ)

針對(duì)“組合數(shù)學(xué)”課程的特點(diǎn)，綜合考慮學(xué)校的具體教學(xué)情況和學(xué)生的自身?xiàng)l件，積極開(kāi)展該課程建設(shè)和實(shí)踐改革。我們將計(jì)算思維融入到該課程的目的是使學(xué)生具備科學(xué)的思維指導(dǎo)思想，提高學(xué)生理解、分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)掘?qū)W生的潛力，促進(jìn)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)的課堂教學(xué)改革進(jìn)行了有益的探索。

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（責(zé)任編輯：劉翠枝）