鄒建平

要說(shuō)明一個(gè)命題的正確，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理論證，而要否定一個(gè)命題，則只需舉出一個(gè)符合題設(shè)而與結(jié)論相矛盾的例子就行了.這種與結(jié)論相矛盾的例子叫做反例.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，反例和證明同樣重要.因?yàn)榉蠢诒嫖鲥e(cuò)誤中具有直觀、說(shuō)服力強(qiáng)等突出特點(diǎn)，所以教學(xué)中注重反例的運(yùn)用不但可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和漏洞，而且可以修補(bǔ)相關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)多角度考慮問(wèn)題，從而提高思維的靈活性.其次，教師在教學(xué)時(shí)，不但要適當(dāng)使用反例，更重要的是要善于引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實(shí)際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種探索情景.又由于在通常情況下，許多反例的構(gòu)建不是唯一的，這就需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有深刻、透徹的理解，并調(diào)用他們的數(shù)學(xué)功底，充分展開(kāi)想象，因此，構(gòu)建反例的過(guò)程也是學(xué)生發(fā)散思維的充分發(fā)揮和訓(xùn)練過(guò)程.教學(xué)實(shí)踐證明：恰當(dāng)運(yùn)用反例進(jìn)行教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)新性，深刻理解和掌握所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練正確的解題能力等作用，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已越來(lái)越被人們重視和認(rèn)可.

一、恰當(dāng)運(yùn)用反例，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念

恰當(dāng)運(yùn)用反例，可以進(jìn)一步使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念的反思，引起矛盾沖突，促使學(xué)生積極思維，在矛盾沖突中使學(xué)生對(duì)所學(xué)概念的認(rèn)識(shí)得以完善，從而達(dá)到深刻理解和掌握概念.

二、恰當(dāng)出示反例，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中的定理或性質(zhì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)新的定理或性質(zhì)時(shí)，往往會(huì)忽略定理或性質(zhì)中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，從而造成解題錯(cuò)誤.為了克服這一現(xiàn)象，恰當(dāng)引入反例，可以幫助學(xué)生記憶這些關(guān)鍵詞語(yǔ)，從而達(dá)到掌握定理和性質(zhì)，并能理解性地加以應(yīng)用.

例如，在教學(xué)三角形全等的識(shí)別方法：“有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”時(shí)，學(xué)生習(xí)慣性地忽略?shī)A角中的“夾”字，而誤記為“有兩邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”.于是教師可以出示如下反例：

如圖，BC=BC′，并且AB=AB，∠A=∠A，但△ABC和△ABC′顯然是不全等的.這樣的反例可以使學(xué)生理解此定理中夾角中的“夾”的深刻含義，達(dá)到準(zhǔn)確掌握和運(yùn)用定理的目的.

三、恰當(dāng)引入反例，幫助學(xué)生牢固、準(zhǔn)確掌握公式

四、恰當(dāng)分析反例，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，糾正錯(cuò)誤

在教學(xué)實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)運(yùn)用反例教學(xué)，能有效幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，糾正錯(cuò)誤.一方面，我讓每個(gè)學(xué)生準(zhǔn)備一個(gè)專門(mén)用于訂正練習(xí)中錯(cuò)誤的筆記本，叫學(xué)生自己分析錯(cuò)誤原因，寫(xiě)出正確答案.另一方面，將學(xué)生中帶有共性的容易出錯(cuò)的問(wèn)題放在一起討論，使他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析錯(cuò)誤原因，找出正確的解題方法.每一次的錯(cuò)誤分析其實(shí)都是一次成功的反例研究，對(duì)學(xué)生的進(jìn)步具有很大的推動(dòng)作用.

例如，在教學(xué)分式方程的解法時(shí)，學(xué)生在去分母時(shí)經(jīng)常會(huì)漏乘.教學(xué)中可以準(zhǔn)備如下的例題：

五、恰當(dāng)構(gòu)建反例，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

反例的運(yùn)用、構(gòu)建是猜想、試驗(yàn)、推理等多重并舉的一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性活動(dòng)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體.反例往往是伴隨著數(shù)學(xué)教學(xué)中命題的推廣，正面證明失效后產(chǎn)生的，所以反例構(gòu)建不能就事論事，而要把問(wèn)題的產(chǎn)生過(guò)程，如何構(gòu)建出反例的思維過(guò)程充分展現(xiàn)給學(xué)生，使反例構(gòu)建與整個(gè)推理過(guò)程有機(jī)結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

例如請(qǐng)學(xué)生判斷“一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形”是真命題嗎？

教師在教學(xué)時(shí)可以利用嚴(yán)格的尺規(guī)作圖進(jìn)行如下的反例構(gòu)建：

建立△ABC，使得AB=AC，在△ADC外（∠DAC<∠ABC）作△EAC，使AE=BD，CE=AD.從而有△AEC≌△BDA.則得∠D=∠E，AD=CE.但四邊形ADCE不是平行四邊形.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)地引入一些反例或適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，幫助他們理解數(shù)學(xué)概念、鞏固和掌握定理、公式和法則，糾正一些習(xí)慣性的錯(cuò)誤，全面正確地培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性.