彭勝生

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)里的重要內(nèi)容，根與系數(shù)的關(guān)系又是一元二次方程的重點(diǎn)，這個知識點(diǎn)有著較為廣泛的應(yīng)用，習(xí)題內(nèi)容豐富，題目的形式靈活多樣，常與幾何、二次函數(shù)等問題結(jié)合考查，是后續(xù)學(xué)習(xí)和考試的熱點(diǎn)，也是方程理論的重要組成部分.

一、基礎(chǔ)知識

1. 公式的演變過程

2. 知識的使用方法

（1）先把所給的一元二次方程化為一般形式；

（2）注意二次項(xiàng)系數(shù)不等于0這個隱含條件；

（3）公式的運(yùn)用要滿足Δ ≥ 0這個隱含條件. 使Δ ≥ 0這個條件成立的方法有兩種，一是先解出字母的值后代入原方程檢驗(yàn)，然后舍去不合題意的值. 二是先由 Δ≥ 0確定出字母的取值范圍，然后再做取舍.

3. 三個常用結(jié)論

（1）若系數(shù)ac < 0，方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）必有一對異號根；

（2）若系數(shù)a + b + c = 0，方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）必有一根為1；

（3）若系數(shù)a - b + c = 0，方程ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）必有一根為-1.

二、綜合運(yùn)用

1. 不解方程，求與根有關(guān)的代數(shù)式的值

例1 已知：α4 + α2 - 1 = 0，β2 + β - 1 = 0，求β - α2的值.

在解題時經(jīng)常要運(yùn)用方程根的概念，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.

2. 利用常用結(jié)論解決問題

例2 已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2 - （3m + 2）x + 2m + 2 = 0（其中m > 0）. 設(shè)方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1，x2（x1 < x2）.若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y = x2 - 2x1，求這個函數(shù)的解析式.

此題也可利用求根公式求出兩根x1，x2，再代入y = x2 - 2x1，也可得到結(jié)果， 但這種方法稍顯煩瑣且計(jì)算容易出錯.

3. 利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程來解方程

例3 解方程（x2 + 3y2 - 7）2 + |xy - 2| = 0.

4. 已知一根求另一根及未知數(shù)的值

5. 由根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)的值

例5 已知x1和x2是關(guān)于x的方程kx2 + 4x - 3 = 0的兩根，若△ABC的兩條邊長是該方程的兩根，且這兩邊長的差為2，求k的值.

本題除了要考慮未知系數(shù)的取值是否使根的判別式為非負(fù)數(shù)，還要考慮未知系數(shù)的取值是否符合實(shí)際問題的意義. 根與系數(shù)的關(guān)系在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的運(yùn)用相當(dāng)廣泛，知識的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，應(yīng)是同學(xué)們重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容，也要求我們在初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中應(yīng)倍加重視.