張石鳳

摘 要：貝葉斯公式的應(yīng)用一直以來都是一個難點，尤其是在尋找導(dǎo)致隨機變量試驗中某事件發(fā)生的原因上。本文對完備事件組、全概率公式做了簡要分析，對貝葉斯公式做了詳盡的說明，并且通過舉例分析了對貝葉斯公式的運用。

關(guān)鍵詞：全概率公式；完備事件組；貝葉斯公式

全概率公式給了我們一個實際計算某些事件概率的公式，只要一旦我們知道了在各事件發(fā)生條件下該事件發(fā)生的概率，則該事件的無條件概率可以從全概率公式求得，也就是說，只要知道了各種原因發(fā)生條件下該事件發(fā)生的概率（原因概率），該事件的無條件概率可通過全概率公式求得。反之，若已知各種原因概率，設(shè)在進行隨機試驗中某事件已經(jīng)發(fā)生，在這條件下求各種原因發(fā)生的條件概率，這是概率論重要的研究課題之一。為了達到這個目的，我們經(jīng)常把已經(jīng)發(fā)生的事件看成是一個“結(jié)果”，把若干個不相容的簡單事件看成是導(dǎo)致這一結(jié)果發(fā)生的不同原因，再通過計算這些簡單事件的概率、這些事件發(fā)生條件下已經(jīng)發(fā)生事件的概率及運用概率的加法、乘法和除法得到最終結(jié)果。貝葉斯公式就是這種思想方法的一個反映，它是概率的加法、乘法與除法的綜合。

一、貝葉斯公式的分析

1.完備事件組

設(shè)實驗E的樣本空間為Ω，A1，A2，…，An為E的一組事件，若A1，A2，…，An兩兩互不相容，并且■=Ω則稱A1，A2，…，An為試驗E完備事件組。

2.全概率公式

設(shè)試驗E的樣本空間為Ω，如果A1，A2，…，An是Ω的一個完備事件組，且P（Ai）>0（i=1，2，…，n），則對于E的任一事件B，有P（B）=■P（Ai）P（B/Ai）。

注：全概率公式是將求復(fù)雜事件B的概率P（B）轉(zhuǎn)化為求概率P（Ai）與P（B/Ai）（i=1，2，…，n）乘積的和。

3.貝葉斯公式解析

設(shè)事件為A1，A2，…，An試驗E的完備事件組，對于任一事件B，如果P（B）>0，則有：P（B/Ai）=■=■（i=1，2，…，n）。

（1）首先要認識事件B是試驗E的一個事件，且把事件B看成是一個“結(jié)果”。

（2）完備事件組A1，A2，…，An理解成導(dǎo)致這一結(jié)果發(fā)生的不同原因，P（Ai）（i=1，2，…，n）是各種原因發(fā)生的概率，通常在“結(jié)果”發(fā)生之前就已經(jīng)明確的，有時可以從以往的經(jīng)驗中求得，因而稱之為先驗概率。

（3）貝葉斯公式是在“結(jié)果”B已經(jīng)發(fā)生之后，再去考慮各種原因發(fā)生的概率P（B/Ai）（i=1，2，…，n）。

（4）該公式可以通過以下幾個步驟：第一，由條件概率得P（B/Ai）=■；第二，分子通過乘法公式得P（AiB）=P（Ai）P（B/Ai）；第三，分母通過全概率公式得P（B）=■P（Ai）P（B/Ai）；將第二、第三的結(jié)果帶入第一即得貝葉斯公式。

有時，我們把P（B/Ai）稱為“原因”概率，而稱P（Ai/B）為“事后”概率，從貝葉斯公式可看出：“事后”概率可通過一系列的“原因”概率求得。P（Ai）（i=1，2，…，n）是在不知道事件B是否發(fā)生的情況下各事件發(fā)生的概率，在知道B發(fā)生之后，對概率P（Ai/B）（i=1，2，…，n）就有了新的估計，貝葉斯公式從數(shù)量上刻畫了這種變化。

二、貝葉斯公式運用

例：對以往數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明，當(dāng)機器處于良好狀態(tài)的時候，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品合格率為90%，而當(dāng)機器存在某些故障時，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品合格率為30%，并且每天機器開動時，處于良好狀態(tài)的概率為75%。已知某日生產(chǎn)出來的第一件產(chǎn)品為合格品，求此時該機器處于良好狀態(tài)的概率。

分析：該試驗是“機器生產(chǎn)產(chǎn)品”，已知試驗結(jié)果為事件B“生產(chǎn)出來的第一件產(chǎn)品為合格品”，從題可知，影響該產(chǎn)品合格的原因有兩個，分別記為A：“機器處于良好狀態(tài)”，■：“機器存在某些故障”，記該試驗樣本空間為Ω，則有A∩■=φ，即A與■互不相容；于是A、■為一個完備事件組，可運用貝葉斯公式。

解：設(shè)A表示事件“機器處于良好狀態(tài)”，■表示事件“機器存在某些故障”，B表示事件“生產(chǎn)出來的第一件產(chǎn)品是合格品”，則A、■是一個完備事件組，且P（A）=75%=0.75；P（■）=25%=0.25；P（B/A）=90%=0.9；P（B/A）=30%=0.3。

根據(jù)貝葉斯公式，有

P（A/B）=■=■

=■=0.9=90%

三、貝葉斯公式運用準(zhǔn)則

通過對貝葉斯公式及公式運用的分析，可總結(jié)出下列準(zhǔn)則：先已知“結(jié)果”已經(jīng)發(fā)生，在結(jié)果發(fā)生之后去尋找導(dǎo)致該結(jié)果發(fā)生的所有原因，完備事件組A1，A2，…，An往往是隨機試驗中導(dǎo)致該結(jié)果發(fā)生的所有原因，這些原因及其發(fā)生的概率通常在“結(jié)果”發(fā)生之前就已經(jīng)明確的。結(jié)果發(fā)生時，我們并不知道具體是哪個原因?qū)е碌?，要求的就是在結(jié)果已經(jīng)發(fā)生的前提下是某個原因（Ai）導(dǎo)致的概率。

參考文獻：

[1]梁之舜.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]吳贛昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第四版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.