湯勇

摘 要：教師教書不僅要停留在“教知識”上，而且應該教會學生會學，成為一名“思考者”. 教師應該教給學生掌握學習的方法，掌握科學研究的方法，學會自己獨立地獲取知識，學會從不知開始，一步一步地達到問題的核心，直至問題最終的構建和解決.

關鍵詞：思考；解題；理解；培養(yǎng)

偉大的科學家愛因斯坦曾經(jīng)說過：想象力比知識更重要. 過去教師的定位是“傳道授業(yè)解惑”，社會的不斷進步，對教師提出了更高的要求，教學理解為“教師如何教，學生如何學”. 教師不是僅僅停留在“教知識”上，而是教學生學會學習——會學，成為一名“思考者”，掌握學習的方法，掌握科學研究的方法，學會自己獨立地獲取知識，學會從不知開始，一步一步地達到問題的核心，直至最終構建和解決問題. 那么，如何將學生培養(yǎng)成為一名“思考者”呢？

[?] 教學的首要任務——教“怎樣思考”

平時教學中經(jīng)常聽到學生說：“老師講的我都懂，但自己做就不會了.” 這是什么原因呢？就是教師沒有把“讓他自己會做”的方法教給他. 那么怎樣把“讓他自己會做”的方法教給他呢？

首先是解決“你是怎么想到的”然后解決“怎樣讓他也想到”，好的教師“想給學生聽”，“想給學生看”，差的教師“做給學生看”，“讓好學生做給差學生看”.

然后教大多數(shù)學生能想到的方法——“教育效法自然”（盧梭）. 教本原的方法，有“技巧”的也要教“技巧”，是怎么想出來的？比如求 1+2+3+……+100，要想高斯怎么會想到“首尾相加”的，而不是僅學習“首尾相加”這一操作.

最后教“怎樣思考”，“怎樣才能想到”，這是數(shù)學教學的核心任務. 比如，若3a=0.618，a∈[k， k+1]，k∈Z，則k=________.

思考如下：

（1）是什么問題？求什么？ 求值問題，求k，區(qū)間左端點.

（2）3a=0.618是什么？ 冪；當a等于多少時，3a=0.618.

（3）[k，k+1]是什么？ k∈Z→相鄰整數(shù)區(qū)間.

（4）a∈[k，k+1]是什么？ k≤a≤k+1，它能推出什么？

[?] 解題教學——教學生“學解題”

學生的主要任務并不是解題，而是“學”解題. 教師教的重點和學生學的重點， 不在于“解”而在于“學解”. “解”作為出發(fā)點去關注解題的結果，“學解”作為出發(fā)點去關注思路的尋找，學解題的核心是學思路的尋找. 如何教學生學思路的尋找？我們要堅持“以理解題意為核心”的原理進行解題教學.

比如2012年江蘇高考第14題：已知正數(shù)a，b，c，且 5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，那么的取值范圍是________.

（1）著手解題：它是什么問題？ 是由不等關系，求取值范圍的問題.

求什么？ 求的取值范圍.

（2）理解題意：“它”是什么（意思）？ 大于什么？小于什么？

“它”怎么表示？ 求：_____≤≤_____.

是什么？還能怎么表示？還能寫出其他的表達式嗎？只能到條件中去找！已知a，b，c是正數(shù)，（這極大便利不等式運算），5c-3a≤b≤4c-a，還能怎么表示？

5c-3a≤b，①

b≤4c-a，②

5c-3a≤4c-a. ③

由①②可得，2a≥c④，將④代入②，得b≤8a-a，b≤7a，則≤7.

再求大于等于多少. 要求大于等于多少，還能怎么表示？由clnb≥a+clnc能推出什么？

推得a≤clnb-clnc=cln

，得a≤cln

，ln

≥>0，用它能表示 嗎？缺少什么？——b. 將不等式兩邊同除以，得≤，顛倒分子分母，可得≥，

⑤還能怎樣表示？令=x，由⑤得≥（lnx>0）.

要求的極值，怎么求？——用函數(shù)求導.

令y=，y′=

′=，令=0，解得x=e.

當xe時，lnx>1， y′=>0，此時單調(diào)遞增，所以當x=e時，lnx=1，y取最小值，即y=≥e，得≥y≥e，所以∈[e，7].

[?] “從無到有”地尋找思路

遇到一個陌生的問題，怎么去想呢？如何著手解題呢？如何“從無到有”地尋找思路，由“所有”去探索“所無”？“理解題意”是解題學習第一環(huán)節(jié)，解題第一位是理解題意，但它卻往往被學習者所忽視. 善于解題的人用一半時間理解問題，只用另一半時間完成解答. 學生不能很好解題的最重要原因，一是沒有重視理解題意的意識，二是沒有養(yǎng)成理解題意的良好習慣，三是沒有掌握如何理解題意的方法. 所以教師要教學生學從著手解題的啟發(fā)性提示語、理解題意的啟發(fā)性提示語去尋找思路.

比如2011年江蘇高考第13題：設1≤a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是________.

尋找思路：（1）它是一個什么問題？求什么？ 數(shù)列問題，奇數(shù)項成等比數(shù)列，偶數(shù)項成等差數(shù)列，求q的最小值.

（2）1≤a1≤a2≤…≤a7，它表示什么？ 數(shù)列，是a1=1的遞增不減數(shù)列.

（3）a1，a3，a5，a7成等比數(shù)列，公比q它還能怎么表示？ a3=a1q=q，a5=q2，a7=q3.

（4）a2，a4，a6成等差數(shù)列，公差為1它還能怎么表示？ a2，a4=a2+1，a6=a2+2.

（5）1≤a1≤a2≤…≤a7，它還能怎么表示？具體化.

1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3…①

還缺少什么？ 缺少a2和q，

a2有什么性質(zhì)？ 1=a1≤a2≤a3，

q有什么性質(zhì)？ 1≤a2≤q，要q最小，必須a2要最小，則a2=1.

代入①，有q≥1，因為q≠1，所以q>1，有q2≥2，得q≥；有q3≥3，得q≥. 因為<，所以q≥.

[?] 著手解題的啟發(fā)性提示語

（1）它是一個什么問題？它要求（或求證）的是什么？——什么范疇的問題？——“盯著目標”——求（或求證）什么？

（2）現(xiàn)有哪些材料？——題設中的條件.

（3）有哪些工具？——已經(jīng)學過的相關概念、命題、公式和方法.

（4）還缺少什么材料？能否從現(xiàn)有的材料和工具中找到？

（5）如何運用這些條件和工具？

（6）是否還有條件沒有利用？如何利用？

這些思考不是文字簡單瀏覽和思想上的一掠而過，而是深究每一個對象的意義、性質(zhì)，不同對象的關系，特別是能否轉(zhuǎn)換為其他的意義、關系. 這些思考并不是孤立進行的，是貫穿在上述所有問題思考之中. 這是用于著手解題的最基本的思考方法.

[?] 理解題意的啟發(fā)性提示語

如何深究？——對題意深究，如何轉(zhuǎn)換？——將形式轉(zhuǎn)換.

（1）它是什么？如何表示？還能如何表示？（轉(zhuǎn)換）

（2）它有什么性質(zhì)？如何表示？還能如何表示？

（3）它們有什么關系？如何表示？ 還能如何表示？

（4）由題設中的條件能夠推出什么？還能推出什么？

（5）中途結論之間有什么關系？它們可以怎樣利用？

（6）它是否與某個解過的題有聯(lián)系？能否利用這個聯(lián)系？

這里的“它”，是每一個句子、名詞、概念、關系、表達式、符號、符號的上標下標、圖形中的點線面等等. 教學生尋找解題思路，教師就要提供有效的指導思維操作的策略、解題的啟發(fā)性提示語等.

比如，已知函數(shù)f（x）=+（a>0）是偶函數(shù)，求a的值.

教師要教學生問：（1）它是一個什么問題？——函數(shù)問題；（2）求什么？——求a. （3）已有什么材料？條件是什么？（4）理解題意——逐一搞清楚：“它”是什么？怎么表示？還能是什么？——含自然對數(shù)、分式的比較復雜函數(shù)，x∈R. “偶函數(shù)”是什么？——f（-x）=f（x）. f（-x）是什么？還能怎么表示？

即f（-x）=+ [f（-x）=f（x）][ ]+=+

a-

（ex-e-x）=0 a-=0 a=±1 [a>0][ ]a=1.

[?] 培養(yǎng)學生良好的讀題習慣

（1）要求學生解題時先反復讀題.

（2）要求學生用自己的語言反復敘述問題.

（3）要求達到不看題就能完整敘述問題后，才開始動筆解題.

（4）要求用不同的表達方式反復敘述問題.

（5）要求解釋題中各個名詞的意義（用概念思考），包括每個符號的含義（用符號表示），每句話的含義（換一種說法或表述）.

（6）要求盡可能畫一張圖.

（7）要求盡可能對每個名詞，、每個符號、每句話換一種表示.

（8）要求把看不懂的符號或表達式具體化. （抽象符號具體化）

（9）要求解釋圖中每一個點、線、面的含義，盡可能寫出它們的表達形式.

（10）要求發(fā)揮想象力，訴說自己對題意的聯(lián)想或猜想.

[?] 培養(yǎng)學生尋找解題思路

（1）數(shù)學解題的啟發(fā)性提示語要在“用”上下工夫.

（2）數(shù)學解題的啟發(fā)性提示語是對波利亞解題表的運用和發(fā)展，看上去很普通，但對啟發(fā)尋找解題思路作用很大. 關鍵在于堅持用，用好了，用習慣了，用的水平提高了，解題能力就能大大提高，它的價值就體現(xiàn)出來了. 必須在運用提示語的過程中學習提示語，在“用”中學，只有不斷運用，才能提高運用的水平，提高解題能力.

（3）對解題的啟發(fā)性提示語，教師要首先提高自己運用的水平. 教師教學生學習上述提示語時，關鍵也在于教師自己要用. 教學上要求學生做到的，教師自己首先要做到. 教師首先自己一定要堅持用，用給學生看，學生學著用，逐步感悟，潛移默化，持之以恒，習慣成自然.

[?] 理解題意是一種重要的探索活動

“理解題意的啟發(fā)性提示語”是一種元認知提示語，是引導學生自我啟發(fā)的方法，本質(zhì)是教學生學會思考. 啟發(fā)性提示語的作用只是引導學生自己去探索，去發(fā)現(xiàn)，而不是代替學生去探索和發(fā)現(xiàn). 所以，用啟發(fā)性提示語理解題意是一種重要的探索活動. 波利亞說“問題的求解比起問題的明確表達來，就常常不需要那么多的見識和獨創(chuàng)了.” 可見，理解題意、明確表達問題是需要較多見識和獨創(chuàng)的. 這說明理解題意是富有獨創(chuàng)性的工作，是需要相當見識的.所以，理解題意的探索過程，是探索能力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)過程. 教學生“理解題意的啟發(fā)性提示語”，就是教學生如何去探索，就是教學生學會思考.

愛因斯坦曾說：“學習知識要勤于思考. 思考，再思考，我就是靠這個學習方法成為科學家的.” 這句話正說明了思考的重要性.所以我們教師應該幫助學生掌握思考的技能，使他們走出單純的知識記憶而善于聯(lián)想、敢于判斷、勇于創(chuàng)造，從而學會學習，成為一名“思考者”.