范冬梅

【摘 要】 本文分析了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力方面的不足，指出如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，并設(shè)計(jì)了一節(jié)課予以示范。

【關(guān)鍵詞】 創(chuàng)新思維；教學(xué)設(shè)計(jì)；素質(zhì)教育；數(shù)學(xué)

創(chuàng)新思維決定一個(gè)人能否創(chuàng)新及創(chuàng)新能力的大小，是素質(zhì)教育的核心，注重對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育已成為國(guó)人的共識(shí)。而素質(zhì)教育的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，對(duì)開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力至關(guān)重要。在這一過(guò)程中，數(shù)學(xué)因其特定的內(nèi)容和方法有著得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，數(shù)學(xué)教師也就義不容辭地站在了時(shí)代的前列，責(zé)無(wú)旁貸地肩負(fù)起歷史的使命，應(yīng)該有所作為而且可以大有作為。

審視我們傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育，做得并不到位。不能否認(rèn)，我們的數(shù)學(xué)教育有值得驕傲的地方，比如，學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、基本技能嫻熟、在國(guó)際數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)不凡，國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中更是捷報(bào)頻傳。但也必須承認(rèn)還存在著相當(dāng)嚴(yán)重的問(wèn)題，比如數(shù)學(xué)思維品質(zhì)不高，缺乏靈活性、深刻性和批判性；創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力較差；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式單一、被動(dòng)；對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感體驗(yàn)消極等等。認(rèn)真分析，除了教育制度和考試制度等原因，是我們的教學(xué)思想和觀念、教學(xué)內(nèi)容和方法使然，尤其是后者。在內(nèi)容方面，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材過(guò)分注重自身的邏輯性和完整性，高高在上，不重視數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景，與現(xiàn)實(shí)生活嚴(yán)重脫節(jié)，學(xué)生學(xué)到的東西在日常生活中用不著，而日常生活中需要的知識(shí)學(xué)生卻沒(méi)學(xué)到（據(jù)統(tǒng)計(jì)，70%的學(xué)生以后用不到小學(xué)以后的數(shù)學(xué)知識(shí)），從而讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)無(wú)用進(jìn)而無(wú)趣。而對(duì)于有價(jià)值的部分，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)又掐頭去尾，過(guò)分注重“成熟”知識(shí)（結(jié)論）的傳授，而忽視了知識(shí)的“來(lái)龍”（如何來(lái)）和“去脈”（做何用），掐掉的“頭”（知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程）和去掉的“尾”（知識(shí)的應(yīng)用）則正是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的精彩部分。在教學(xué)方法上，我們過(guò)分強(qiáng)調(diào)“精講多練”，而一味的精講，固然使學(xué)生理解到知識(shí)的方方面面，但也剝奪了學(xué)生探索創(chuàng)新的時(shí)間和空間，致使學(xué)生創(chuàng)新的意識(shí)泯滅了，創(chuàng)新的精神懈怠了，創(chuàng)新的能力退化了。而學(xué)生的多練，強(qiáng)化的是模仿和服從，鞏固的是重復(fù)和操作，獲得的只是運(yùn)算的技巧和速度，失去的則是能力提高的機(jī)會(huì)。大量的時(shí)間、有限的精力和殘存的對(duì)于數(shù)學(xué)的興趣和愛(ài)好在多練中“煉”掉了，換來(lái)了在現(xiàn)代社會(huì)看來(lái)似乎是屠龍之技的、與受益終身的創(chuàng)新能力相比價(jià)值不大的所謂“技能”。久而久之，人的思維發(fā)展為此而受到阻礙。因此，在強(qiáng)調(diào)素質(zhì)教育的今天，當(dāng)務(wù)之急是讓學(xué)生由現(xiàn)在的被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)向主動(dòng)的探索、積極的建構(gòu)知識(shí)。與此相適應(yīng)，教師的教育思想和觀念、教學(xué)方式和手段要全面更新：數(shù)學(xué)觀——從數(shù)學(xué)定律觀轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)過(guò)程觀，即在傳授知識(shí)的同時(shí)，注重表達(dá)一種探索精神；教育觀——從“以教師為中心”轉(zhuǎn)向“以學(xué)生發(fā)展為中心”，從“學(xué)知”轉(zhuǎn)向“求知與發(fā)展”；教學(xué)觀——強(qiáng)調(diào)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)，從追求固定的教學(xué)方式轉(zhuǎn)向一切有利于創(chuàng)造性思維培養(yǎng)的優(yōu)異手法；教學(xué)手段——從紙筆演算轉(zhuǎn)向以現(xiàn)代技術(shù)、信息工具為輔助的多種方式的訓(xùn)練。為此，筆者對(duì)“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”這節(jié)課進(jìn)行了設(shè)計(jì)，在用《幾何畫(huà)板》制作的課件的支持下，試圖再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。

算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景

某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800，深為3m，如果池底每1的造價(jià)為150元，池壁每1的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？

二、基本概念

1、對(duì)任意兩正數(shù)a與b，我們把叫做a、b的算術(shù)平均數(shù)；

2、對(duì)任意兩正數(shù)a與b，我們把叫做a、b的幾何平均數(shù)。

三、基本定理

1、提出問(wèn)題

任意兩正數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)與它的幾何平均數(shù)之間有什么樣的大小關(guān)系？即：若a、bR，問(wèn)與的大小關(guān)系如何？

2、探索發(fā)現(xiàn)

實(shí)驗(yàn)一（演示幾何畫(huà)板制作的課件，以下實(shí)驗(yàn)同）

A、B是平面內(nèi)任意兩點(diǎn)，l是線段AB的垂直平分線，P是平面內(nèi)不和A、B重合的動(dòng)點(diǎn)。度量線段PA、PB的長(zhǎng)分別記為a、b，即

a==…

b==…

計(jì)算=…

=…

任意拖動(dòng)P點(diǎn)，觀察a、b及、的變化情況。

3、猜測(cè)定理

任意兩正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)，等號(hào)成立。即（a、b）

4、邏輯證明

點(diǎn)撥學(xué)生用比較法證明，注意分析等式成立的條件。

四、定理的初步推廣

1、類(lèi)比定義

三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)

三個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)

2、類(lèi)比猜測(cè)三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與它們的幾何平均數(shù)之間的關(guān)系：（

3、驗(yàn)證猜測(cè)

實(shí)驗(yàn)二A、B、C是平面內(nèi)任一正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，O是中心，動(dòng)點(diǎn)P是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任一點(diǎn)，度量線段PA、PB、PC的長(zhǎng)分別記為.即

計(jì)算

任意拖動(dòng)P點(diǎn)，觀察以上值的變化情況，從而驗(yàn)證猜測(cè)。

五、定理的再推廣

1、若四個(gè)正數(shù)呢？

2、若五個(gè)正數(shù)呢？

歸納：對(duì)于任意n（n≥2）個(gè)正數(shù)，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）

六、應(yīng)用

1、問(wèn)題：若兩正數(shù)的積是定值（比如9），和有何規(guī)律？若兩正數(shù)的和為定值（比如9），積有何規(guī)律？

實(shí)驗(yàn)三如圖是反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限中的部分，P是其上的任意一點(diǎn)。PA、PB分別是P到X軸、Y軸的垂線，A、B是垂足，度量線段PA、PB的長(zhǎng)分別為a、b，即

a=

b=

計(jì)算a·b=9

a+b=…

任意拖動(dòng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，a·b=9是定值，而a+b在變。觀察可得：如果兩個(gè)正數(shù)的積是定值，則兩數(shù)的和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，兩數(shù)的和取最小值。

實(shí)驗(yàn)四線段AB的長(zhǎng)是9，P為線段AB上不和A、B重合的任一點(diǎn)。度量線段AP、PB的長(zhǎng)分別為a、b，即a=

b=

計(jì)算a+b=9

任意拖動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)，a+b=9是定值，而a·b在變，觀察可得：如果兩個(gè)正數(shù)的和是定值，則兩數(shù)的積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，兩數(shù)的積取最大值。

2、例：已知X、Y都是正數(shù)，求證：

（1）如果積xy是定值P，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值2；

（2）如果和x+y是定值S，那么當(dāng)x=y時(shí)，積x·y有最大值.

證明：略

解決開(kāi)始提出的問(wèn)題（略）

練習(xí)：一段長(zhǎng)為L(zhǎng)m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

參考文獻(xiàn)：

[1]齊建華等.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育.鄭州：大象出版社，2001.3