李向正

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023）

Sawada-Kotera方程的兩類(lèi)尖孤立波解

李向正

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽(yáng) 471023）

用（G′／G）展開(kāi)法構(gòu)造出了 SK方程的兩類(lèi)尖孤波解。這兩類(lèi)孤波解都有尖峰或倒尖峰，且滿(mǎn)足Rankine-Hugoniot條件和熵條件，是方程的弱解。

Sawada-Kotera方程；尖孤波解；Rankine-Hugoniot條件；（G′／G）展開(kāi)法；弱解

0 引言

研究數(shù)學(xué)物理方程的中心內(nèi)容是求各類(lèi)問(wèn)題的解并研究解的性質(zhì)，使人們對(duì)其所描述的自然現(xiàn)象或過(guò)程能有更深入的認(rèn)識(shí)。間斷性（或奇異性）在自然現(xiàn)象中廣泛存在，如流體動(dòng)力學(xué)中的潰壩，空氣動(dòng)力學(xué)中的激波，廣義相對(duì)論中的黑洞等［1］。非線(xiàn)性發(fā)展方程是近年來(lái)數(shù)學(xué)物理工作者研究的熱點(diǎn)，其弱解一般具有間斷性（或奇異性），對(duì)于特定的自然現(xiàn)象，用弱解來(lái)描述或刻畫(huà)更符合實(shí)際。弱解的存在性可用算子分解方法證明，也可用位勢(shì)井理論和緊致性方法證明［2－3］。根據(jù)壓縮映像原理用伽羅金逼近法可證明弱解的存在性和唯一性［4］。已有的文獻(xiàn)較多地集中于弱解的存在性或唯一性的證明［2－5］，但弱解的解法或構(gòu)造方法很少見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道。

本文研究Sawada-Kotera方程（SK方程）［6］

的尖孤立波解。SK方程可用于共形場(chǎng)理論，二維量子引力規(guī)范場(chǎng)理論和非線(xiàn)性科學(xué)中的Liouville方程的守恒流［7］。文獻(xiàn)［6］用雙曲正切函數(shù)展開(kāi)法得到了SK方程的一些精確解。SK方程的Ham iltonian結(jié)構(gòu)，Lax對(duì)，B?ck lund變換已被研究過(guò)［8］。文獻(xiàn)［9］借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)獲得了SK方程的孤波解和振蕩孤波解。文獻(xiàn)［10］利用SK方程的B?cklund變換，從一個(gè)已知解出發(fā)得到方程的一些精確解。文獻(xiàn)［11］應(yīng)用改進(jìn)的F展開(kāi)法獲得了SK方程的孤波解和三角函數(shù)解。文獻(xiàn)［12］用指數(shù)函數(shù)法獲得了SK方程廣義孤立波解和周期解。但文獻(xiàn)［6－12］均未考慮SK方程的尖孤立波解及其構(gòu)造方法，因而本文主要解決這一問(wèn)題。

1 SK方程的尖孤立波解

方程（1）可寫(xiě)成守恒律形式

方程（1）的尖孤立波解滿(mǎn)足的邊界條件為：

證明 利用洛比達(dá)法則及方程（2）可得：

下面用（G′／G）展開(kāi)法［13－14］求解方程（1）。設(shè)方程（1）的行波解為：

其中，常數(shù)c表示波速；x0為常數(shù)。將式（4）代入方程（1），而后關(guān)于ξ積分一次，根據(jù)邊界條件（3），可設(shè)積分常數(shù)為零，得

此處，要求方程（1）的弱解u（x，t）＝u（ξ）滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性條件

考慮方程（5）中u3，uu″和u（4）的齊次平衡［13－16］，3m＝2m＋2＝m＋4，得平衡數(shù)m＝2，于是設(shè)方程（5）的解可表示為：

其中，a0、a2為待定常數(shù)；G＝G（ξ）滿(mǎn)足二階線(xiàn)性常微分方程

其中，β為待定常數(shù)。特別地當(dāng)β＜0時(shí)，

其中，ξ0、ξ1為常數(shù)。

將式（7）代入方程（5）的左端并利用方程（8），則方程（5）的左端化為（G′／G）的多項(xiàng)式，置多項(xiàng)式的系數(shù)為零，得到關(guān)于a0、a2、β和c的代數(shù)方程組，利用Mathematica（符號(hào)運(yùn)算軟件），解得該方程組的3組解，它們是：

第2類(lèi)孤立波解u10～u12，當(dāng)ξ1＞0時(shí)均有倒尖峰。根據(jù)定理1，解u10～u12也滿(mǎn)足Rankine-Hugoniot條件，因而是方程（1）的弱解。由于熵條件成立，因而解u10～u12為方程（1）的物理解。u7～u12的物理解當(dāng)ξ0＞0（ξ1＞0）時(shí)在間斷曲線(xiàn)上有尖峰（倒尖峰）。據(jù)作者所知，這些解在以往文獻(xiàn)中尚未報(bào)道。解u7的圖形見(jiàn)圖1（取a0＝2），解u10的圖形見(jiàn)圖2（取a0＝2）。

圖1 相同相速c＝16／9下的孤立波u7，從上到下ξ0＝0，ξ0＝1／2，ξ0＝1，ξ0＝3／2

圖2 相同相速c＝16／9下的孤立波u10，從下到上ξ1＝6／5，ξ1＝7／5，ξ1＝8／5，ξ1＝9／5

2 結(jié)論

SK方程的尖孤立波尚未見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道。本文首先給出了滿(mǎn)足守恒律的非線(xiàn)性發(fā)展方程的行波解滿(mǎn)足Rankine-Hugoniot條件的定理，而后利用（G′／G）展開(kāi)法求出了SK方程的具有對(duì)稱(chēng)性的行波解，首次構(gòu)造出了SK方程的兩類(lèi)尖孤立波解。這兩類(lèi)尖孤立波解的振幅均有限，滿(mǎn)足Rankine-Hugoniot條件和熵條件，因而為SK方程的物理解。第1類(lèi)尖孤立波解u7～u9，當(dāng)ξ0＝0時(shí)對(duì)應(yīng)于經(jīng)典的光滑孤波解，因而比經(jīng)典的孤波解更具有一般性。本文的工作拓展了（G′／G）展開(kāi)法［13－14］的應(yīng)用范圍。另外，文獻(xiàn)［1］認(rèn)為尖孤立波可能是淺水波模型的一個(gè)一般性質(zhì)，本文則從數(shù)學(xué)角度嚴(yán)格證明了具有尖孤立波解的方程必須滿(mǎn)足的條件，即滿(mǎn)足定理1的條件，邊界條件（3）及對(duì)稱(chēng)性條件（6），依據(jù)這些條件即可擴(kuò)展具有尖孤立波解的方程的類(lèi)型。

致謝：本文得到王明亮教授的指導(dǎo)，在此表示感謝。

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O175.2

A

1672－6871（2014）02－0078－04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10871129）；河南科技大學(xué)科研創(chuàng)新能力培育基金項(xiàng)目（2010CZ0016）；河南科技大學(xué)博士啟動(dòng)基金項(xiàng)目（09001562）

李向正（1972－），男，河南偃師人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)榉蔷€(xiàn)性數(shù)學(xué)物理方程.

2013－09－25