劉式達(dá) 劉式適 付遵濤

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從氣旋和反氣旋談?wù)?、?fù)阻尼

劉式達(dá) 劉式適 付遵濤

北京大學(xué)物理學(xué)院大氣與海洋科學(xué)系氣候與?！?dú)鈱?shí)驗(yàn)室，北京100871

在定常條件下，利用簡(jiǎn)化的大氣運(yùn)動(dòng)控制方程，分析了氣旋與反氣旋的基本特征。在此基礎(chǔ)上，利用常微分方程的定性分析與求解，獲得了氣旋和反氣旋軌道的解析解。接合氣旋與反氣旋的基本特征，論證了正負(fù)阻尼在氣旋和反氣旋運(yùn)動(dòng)中具體體現(xiàn)，并從物理機(jī)理上說明產(chǎn)生氣旋和反氣旋運(yùn)動(dòng)中正負(fù)阻尼的差異在于水平輻合在低層的不同。

正阻尼 負(fù)阻尼 氣旋 反氣旋 軌道

1 引言

很多人往往把阻尼、耗散的概念和摩擦力聯(lián)系在一起，實(shí)際上，這是兩個(gè)不同的概念。力學(xué)上是說，當(dāng)相互接觸的物體做相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們之間就有摩擦力，它的大小和速度成正比，但方向相反（趙凱華，羅蔚茵，1995），即

其中＞0稱為摩擦系數(shù)，是速度向量。

而阻尼和耗散這兩個(gè)概念通常是與系統(tǒng)聯(lián)系在一起的。例如流體力學(xué)中的不可壓縮流體的質(zhì)量守恒定律（也稱作連續(xù)方程）可以表示為（Milne- Thomson，1960）

速度散度div的物理意義是單位體積的體積流量。方程（1）就表示單位時(shí)間流出去的體積等于流進(jìn)來的體積，因而就說該系統(tǒng)是守恒系統(tǒng)。

但是若單位時(shí)間內(nèi)流出去的少流進(jìn)來的多，那么該系統(tǒng)中間就要有一部分流體被耗散掉了，此時(shí)

div＜0, （3）

那么就稱該系統(tǒng)是耗散系統(tǒng)或阻尼系統(tǒng)（Ott，1993，Arnold et al., 1983）。

但是，若流出去的多，流進(jìn)來的少，此時(shí)速度散度

div＞0. （4）

那么該系統(tǒng)稱為什么呢？至少局部若有（4）式成立，就稱為負(fù)阻尼或負(fù)耗散的系統(tǒng)。正如D.Y. Hsieh在他的著作“wave and stability in fluids”所述，負(fù)阻尼是動(dòng)力系統(tǒng)三種不穩(wěn)定的機(jī)制之一（Hsieh，1994）。

大氣科學(xué)中的氣旋和反氣旋是渦旋，正是論述正負(fù)阻尼的范例。在氣壓梯度力、科氏力和摩擦力三力平衡時(shí)，氣旋、反氣旋的斑圖均是螺旋（劉式達(dá)，劉式適，2011）。螺旋的中心均是速度場(chǎng)為零的焦點(diǎn)。氣旋的中心是穩(wěn)定焦點(diǎn)，在北半球，軌道由外向內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。而反氣旋的中心為不穩(wěn)定焦點(diǎn)，軌道由內(nèi)向外順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。因此氣旋是正阻尼系統(tǒng)，反氣旋是負(fù)阻尼系統(tǒng)。下面我們來論證這一點(diǎn)。

2 氣旋、反氣旋的特征

在定常情況下，在氣壓梯度力、科氏力和摩擦力相互平衡的大氣運(yùn)動(dòng)方程為（劉式適，劉式達(dá)，2011）

將（5）式的第一式對(duì)求導(dǎo)，第二式對(duì)求 導(dǎo)，然后相加得到

其中

, （7）

是垂直渦度。

將（5）式的第一式對(duì)求導(dǎo)，第二式對(duì)求導(dǎo)，然后相減得到

（6）式是Poisson方程，若假設(shè)氣旋或反氣旋的垂直渦度是常數(shù)，水平散度也是常數(shù)，那么方程（6）的解是

, （9）

將（9）式代入（5）求得

其中

（11）

從（8）式看出，因?yàn)楹投际钦?shù)，因而垂直渦度和水平散度符號(hào)相反。這正符合氣旋、反氣旋的特征。在北半球，氣旋是正渦度＞0，地面的水平散度＜0；反氣旋是負(fù)渦度＜0，地面的水平散度＞0。

由（9）式看出，等壓線是一個(gè)圓形，這也符合氣旋、反氣旋的實(shí)際情況。

由（6）式看出，對(duì)于氣旋

這表示周圍的氣壓值大于中心的氣壓值，因而中心為低壓。類似，對(duì)于反氣旋

＜0, （13）

這表示周圍的氣壓值小于中心的氣壓值，因而中心為高壓。

由（11）式看出，對(duì)于氣旋＞0，＞0；對(duì)于反氣旋＜0，＜0。

所以歸納講，北半球氣旋、反氣旋的特征如表1。

表1 北半球氣旋、反氣旋的特征

3 正、負(fù)阻尼

上節(jié)說明，用三力平衡方程（5）描述的氣旋與反氣旋正好確切地反映了氣旋和反氣旋的主要特征。

我們將（10）式的第一式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并用第二式代入得到

即

, （14）

（14）的解為

從（15）式看出，常數(shù)表示振蕩頻率，阻尼系數(shù)＞0時(shí)，隨著時(shí)間的增加，振幅衰減；而阻尼系數(shù)＜0時(shí)，隨著時(shí)間的增加，振幅增大。

所以對(duì)于氣旋（＞0）而言，它的軌道是振幅隨時(shí)間衰減的振蕩，那當(dāng)然是阻尼振蕩；而對(duì)于反氣旋（＜0）而言，它的軌道是振幅隨時(shí)間增大的振蕩，那當(dāng)然是負(fù)阻尼振蕩（Starr，1968）。

氣旋與反氣旋的特征性行為見圖1a和b。在圖1中實(shí)線表示軌道，箭頭表示時(shí)間增加的方向。在軌道上取一小面積元，那么對(duì)于氣旋的正阻尼系統(tǒng)，小面積元隨時(shí)間不斷收縮；而對(duì)于反氣旋，小面積元隨時(shí)間不斷擴(kuò)展。這正是正、負(fù)阻尼振蕩的區(qū)別所在。

圖1 （a）氣旋和（b）反氣旋的軌道示意圖

這種正、負(fù)阻尼的差別的物理因素是什么呢？從物理上講，由（11）式看出，主要是水平散度的差別。對(duì)于氣旋＞0，地面的水平散度＜0，它意味著流進(jìn)來的多，流出去的少，見圖1a，那當(dāng)然是耗散系統(tǒng)或正阻尼系統(tǒng)。此時(shí)若無外源提供能量，那么它的軌道就要收縮到焦點(diǎn)吸引子。實(shí)際上大氣運(yùn)動(dòng)是三維的，它滿足的是三維連續(xù)方程（2）式。當(dāng)＜0時(shí)，由（2）式得到＞0，由于地面= 0處= 0，因而必然引起上升運(yùn)動(dòng)。所以盡管從水平面上看流進(jìn)的多，流出去的少。但是這種“外源”使得水平方向的耗散由垂直方向的上升運(yùn)動(dòng)來“補(bǔ)充”，從而使得流出的量增多，它不會(huì)停留在焦點(diǎn)“不動(dòng)”。而由上升運(yùn)動(dòng)補(bǔ)充流出，最后達(dá)到流進(jìn)來與流出去的平衡。

對(duì)于負(fù)阻尼的反氣旋，由圖1b看出，由于地面水平散度＞0，即水平輻散。軌道上的小面積元隨時(shí)間增大，即流進(jìn)來的少，流出去的多。哪里多出來的“大氣”流出呢？原來連續(xù)性方程（2）也告訴了我們。當(dāng)＞0時(shí)必然有＜0，也就是產(chǎn)生下沉運(yùn)動(dòng)，它補(bǔ)充了“流進(jìn)來”的不足。也就是說，“大氣的下沉運(yùn)動(dòng)”使得空氣團(tuán)體積壓縮，外界對(duì)內(nèi)做功，使得下沉的空氣團(tuán)內(nèi)能增加轉(zhuǎn)變成動(dòng)能，這就是負(fù)阻尼的一種“力”。所以，反氣旋在水平方向上負(fù)阻尼的驅(qū)動(dòng)力是下沉運(yùn)動(dòng)，它驅(qū)使大氣螺旋向外。

Arnold V I, Levi M, Szücs J. 1983. Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equation [M]. New York: Springer-Verlag.

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劉式達(dá), 劉式適. 2011. 大氣渦旋動(dòng)力學(xué) [M]. 北京: 氣象出版社. Liu Shida, Liu Shikuo. 2011. Dynamics of Atmospheric Eddy (in Chinese) [M]. Beijing: China Meteorological Press.

劉式適, 劉式達(dá). 2011. 大氣動(dòng)力學(xué) [M]. 北京: 北京大學(xué)出版社. Liu Shikuo, Liu Shida. 2011. Atmospheric Dynamics (in Chinese) [M]. Beijing: Peking University Press.

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劉式達(dá), 劉式適, 付遵濤. 2014. 從氣旋和反氣旋談?wù)?、?fù)阻尼[J]. 大氣科學(xué), 38 (6): 1041?1043, doi:10.3878/j.issn.1006-9895.2013.13259. Liu Shida, Liu Shikuo, Fu Zuntao. 2014. Positive and negative damping in cyclones and anticyclones. [J]. Chinese Journal of Atmospheric Sciences (in Chinese), 38 (6): 1041?1043.

Positive and Negative Damping in Cyclones and Anticyclones

LIU Shida, LIU Shikuo, and FU Zuntao

,,,100871

Under steady conditions, simplified control equations of atmospheric motion are used to analyze the basic characteristics of cyclones and anticyclones. On this basis, analytic solutions of cyclonic and anti-cyclonic trajectories are derived by qualitatively analyzing and solving ordinary differential equations. By combining the basic characteristics of cyclones and anticyclones, it is demonstrated that positive and negative damping behaviors are present in cyclonic and anti-cyclonic motions and that the physical mechanism of the negative damping in these motions results from various types of horizontal convergence at low levels.

Positive damping, Negative damping, Cyclone, Anticyclone, Trajectory

1006?9895(2014)06?1041?03

P432

A

10.3878/j.issn.1006-9895.2013.13259

2013?09?06，2013?11?08收修定稿

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目40975027

劉式達(dá)，男，1938年出生，教授，主要從事大氣湍流與非線性大氣動(dòng)力學(xué)研究。E-mail: liusd@pku.edu.cn

付遵濤，E-mail: fuzt@pku.edu.cn