趙亮+晏海軍+郭孔輝

文章編號：16742974(2014)05002006

收稿日期：20131016

基金項(xiàng)目：廣西科學(xué)研究與技術(shù)開發(fā)計劃項(xiàng)目（111070018A）

作者簡介：趙 亮（1979-），男，湖南懷化人，湖南大學(xué)高級工程師，博士

通訊聯(lián)系人，E-mail:liangzhaohn@126.com

摘 要：建立懸架側(cè)傾力學(xué)模型，利用結(jié)構(gòu)力學(xué)的初參數(shù)法，推導(dǎo)出帶穩(wěn)定桿的扭轉(zhuǎn)梁的扭轉(zhuǎn)剛度解析解，在此基礎(chǔ)上建立了其等效在車輪處的側(cè)傾角剛度的數(shù)學(xué)模型，通過與ABAQUS軟件建立的有限元模型的仿真結(jié)果對比驗(yàn)證其可靠性.結(jié)合NSGAⅡ算法對懸架的側(cè)傾角剛度及橫梁總質(zhì)量進(jìn)行了優(yōu)化，結(jié)果表明橫梁質(zhì)量和側(cè)傾角剛度得到很好的折中，證實(shí)了該優(yōu)化方法較為可靠，對扭轉(zhuǎn)梁后橋開發(fā)初級階段總成特性參數(shù)的設(shè)計、選擇具有理論指導(dǎo)意義.

關(guān)鍵詞：扭轉(zhuǎn)梁懸架；力學(xué)模型；初參數(shù)；扭轉(zhuǎn)剛度；側(cè)傾剛度；優(yōu)化

中圖分類號：U463.33 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Calculation and Optimization of the Roll Stiffness

of Torsion Beam Rear Suspension



ZHAOLiang1,2,YAN Haijun1,GUOKonghui1,2



(1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan Univ,Changsha,

Hunan 410082,China;2.Liuzhou Konghui Automotive Technologies Co Ltd, Liuzhou,Guangxi 545000,China)

Abstract:A suspension roll mechanic model was set up, and by using the initial parameter method of structural mechanics, the analytical solution of the torsional stiffness of torsion beam with stabilizer bar was deduced, on the basis of which the mathematical model of its equivalent roll stiffness at the wheels was established. The mathematical model was verified by simulating the corresponding model set up with ABAQUS software. Then, combined with NSGAⅡ algorithm, an optimization was conducted on the roll stiffness and the total quality of the beam. The results have shown that the roll stiffness and total quality of the beam get a good balance and the optimization method is reliable, which has theoretical guidance for the design and choice of characteristic parameters of the torsion beam rear axle in the primary stage of development.



Key words:torsion beam suspension；mechanical model；initial parameter；torsional stiffness；roll stiffness；optimization



扭轉(zhuǎn)梁式懸架是一種半獨(dú)立懸架，整個后橋由扭轉(zhuǎn)橫梁和縱向擺臂焊接而成.當(dāng)汽車曲線行駛時，懸架橫梁產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，起到增加懸架側(cè)傾角剛度、減小車身傾角和提高汽車操縱穩(wěn)定性的作用.

懸架的側(cè)傾角剛度是影響汽車側(cè)傾穩(wěn)定性的主要因素之一[1]，直接影響到汽車操縱穩(wěn)定性的一些性能指標(biāo)，如不足轉(zhuǎn)向度、中性轉(zhuǎn)向側(cè)向加速度.目前工程上對扭轉(zhuǎn)梁的分析多采用生成扭轉(zhuǎn)梁模態(tài)中性文件的方法進(jìn)行分析,如文獻(xiàn)［2-3］都是通過有限元軟件建立模態(tài)中性文件對扭轉(zhuǎn)梁懸架進(jìn)行K&C分析；該方法是基于實(shí)際的物理結(jié)構(gòu),幾乎沒有進(jìn)行優(yōu)化的可能性,因此提出扭轉(zhuǎn)梁懸架的側(cè)傾角剛度的數(shù)值解析法.

本文根據(jù)扭轉(zhuǎn)梁式后橋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了懸架的側(cè)傾力學(xué)模型，推導(dǎo)了帶穩(wěn)定桿扭轉(zhuǎn)梁的扭轉(zhuǎn)剛度等效在車輪處的側(cè)傾角剛度的數(shù)學(xué)模型，并與虛擬樣機(jī)ADAMS仿真的結(jié)果做了對比分析.在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步以扭轉(zhuǎn)橫梁和穩(wěn)定桿截面尺寸參數(shù)為設(shè)計變量，采用改進(jìn)的非支配排序遺傳算法(NSGAⅡ)對側(cè)傾剛度及橫梁質(zhì)量進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，一次性獲得pareto解集，通過選取合適的解，減少了懸架的非簧載質(zhì)量，提高了懸架的側(cè)傾角剛度，為補(bǔ)償彈簧剛度的不足、提高整車平順性、降低汽車的穩(wěn)態(tài)振動頻率、改善行駛特性提供了可能.對扭轉(zhuǎn)梁后橋開發(fā)初級階段總成特性參數(shù)的設(shè)計、選擇具有深刻的理論指導(dǎo)意義，提高了扭轉(zhuǎn)梁懸架的設(shè)計效率.

1 等效側(cè)傾角剛度的計算

懸架側(cè)傾角剛度是指汽車側(cè)傾時（車輪保持在地面上），單位車身轉(zhuǎn)角下，懸架系統(tǒng)給車廂總的彈性恢復(fù)力偶矩[4].

1.1 懸架力學(xué)模型的建立

根據(jù)側(cè)傾運(yùn)動的實(shí)際行駛情況，當(dāng)車輪位移較小即擺臂在小角度發(fā)生擺動時，與車身的連接襯套簡化為球鉸，后橋左右輪心處承受反向的垂向力，產(chǎn)生對橫梁的扭矩，同時縱向擺臂與車體的鉸接點(diǎn)處產(chǎn)生垂向支反力.結(jié)合扭轉(zhuǎn)梁非獨(dú)立懸架的具體結(jié)構(gòu)可畫出如圖1所示的側(cè)傾時的懸架受力圖[5].

橫梁的扭轉(zhuǎn)力矩T由兩對力偶產(chǎn)生，可以得到方程：

2(FZLb+F′ZLa)=T(1)

式中a為橫梁軸線到車身連接球絞中心的縱向距離；b為橫梁軸線到輪心的縱向距離.

扭矩T由橫梁的扭轉(zhuǎn)剛度k和兩端面相對扭轉(zhuǎn)角θ所得：

T=kθ (2)

4個外力分別對懸架縱向?qū)ΨQ軸線取矩,有力矩平衡便可得方程：

FZLd+F′ZLc=0(3)

式中c為左右輪心的距離；d為左右球絞中心的距離.

圖1 力學(xué)模型

Fig.1 Mechanical model

1.2 扭轉(zhuǎn)剛度計算

在桿件兩端加上一對大小相等且反向的力矩M，如圖2所示，設(shè)兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角為θ，將扭轉(zhuǎn)剛度定義：

k=Mθ(4)

橫梁扭轉(zhuǎn)剛度由兩部分提供.一部分由V型截面梁，一部分由穩(wěn)定桿.下面分別對兩部分扭轉(zhuǎn)剛度進(jìn)行求解.



圖2帶穩(wěn)定桿的扭轉(zhuǎn)梁示意圖

Fig.2 Torsion beam with stabilizer bar diagram

1.2.1V型截面梁扭轉(zhuǎn)剛度計算

V型截面梁為非圓截面開口薄壁桿件，左右兩端焊接在兩縱擺臂上，因此橫梁發(fā)生扭轉(zhuǎn)時翹曲自由度受到了約束，因此只能通過約束扭轉(zhuǎn)理論來計算橫梁扭轉(zhuǎn)剛度.運(yùn)用約束扭轉(zhuǎn)初參數(shù)解法求解之前，必須對約束扭轉(zhuǎn)系數(shù)k進(jìn)行求解[6].

k=l0GJdE1JW（5）

折算彈性模量：

E1=E1－μ2（6）

材料的剪變模量：

G=E2(1+μ)（7）

截面中線長度：

s=2(pr+L)（8）

截面的自由扭轉(zhuǎn)慣性矩：

Jd=13∑idit3=13×st3（9）

式中l0為橫梁長；r為截面中線圓弧部分半徑；L為矩形部分長度；t為扭轉(zhuǎn)梁厚度；p為圓弧所對應(yīng)的弧度；G為材料剪切模量；E為材料彈性模量；μ為泊松比；E1為折算彈性模量；JW為截面主扇性慣性矩；Jd為截面自由扭轉(zhuǎn)慣性矩.

下面用扇形面積法對JW進(jìn)行求解.

由于是對稱截面，截面與對稱軸z相交于點(diǎn)M,將圓心o與M點(diǎn)分別設(shè)為參考扇性極點(diǎn)與參考扇性零點(diǎn)，如圖3所示.將M0點(diǎn)沿截面中線順時針旋轉(zhuǎn)α角度到達(dá)M點(diǎn),該點(diǎn)的參考扇性面積為：

w1=αr2,0≤α≤p(10)

M點(diǎn)距z軸的距離為:

y1=rsinα(11)

圓弧部分主扇性慣性矩為：

Jyw1=∫Ay1w1dA=tr4∫p0αsin αdα(12)

矩形與圓弧部分的交點(diǎn)c沿矩形中線方向移動長度b到c1點(diǎn)，該點(diǎn)的扇性面積為：

Jyw1=∫Ay1w1dA=tr4∫p0αsin αdα(13)

c1點(diǎn)距z軸的距離為:

y2=rsin p+bsin θ (14)

矩形部分主扇性慣性矩為：



圖3主扇性極點(diǎn)求解示意圖

Fig.3Main pole solution diagram

Jyw2=∫Ay2w2dA=

∫l0(br+pr2)(sin pr+sin θb)tdb(15)

整個截面的主扇性慣性矩為：

Jyw=2Jyw1+2Jyw2(16)

整個截面對z軸的慣性矩：

Jy=∫Ay2dA=

23tcos 2(p)L3+23tL(3r2+t24)sin 2p+

rtL2sin (2p)+tr3(p－cos p sin p)(17)

由公式e=JywJy即可求得e的值，即參考扇形極點(diǎn)o向左移動距離e即為主扇性極點(diǎn)的位置，如圖4所示.



圖4 主扇性慣性矩求解示意圖

Fig.4 Main moment of inertia diagram

確定了主扇性的極點(diǎn)和零點(diǎn)，就可以得到M點(diǎn)的主扇性面積為：

wM=2×(SΔAOM－S扇形OMOM)=

ersin α－αr2（18）

則圓弧部分主扇性慣性矩為：

Jw1=∫Aw2MdA=∫p0(ersinα-αr2)2trdα(19)

對矩形部分進(jìn)行分析，c1點(diǎn)的主扇性面積為：

wC1=SAMN0－S弓形NCC1=

SΔAOC1－S扇形OCMO－SΔOCC1=

e(rsin p+bsin θ)－pr2－br（20）

則2段的主扇性慣性矩為：

Jw2=∫Aw2PdA=

∫l0(e(sinpr+sinθb)-pr2-br)2tdb(21)

整個截面主扇性慣性矩為：

Jw=2Jwa+2Jwb（22）

由公式(5)~(22)求得約束扭轉(zhuǎn)系數(shù)k后，基于約束扭轉(zhuǎn)的初參數(shù)解法[6]，任選梁的一端作為初始截面，設(shè)梁受的扭矩為M，則可得到初始的參數(shù)扭轉(zhuǎn)角θ0，扭率θ′0，雙力矩B0，扭矩L0.那么可得初始向量：

{Z0}=0 0 -B0GJd L0GJd

當(dāng)x=l0時的邊界條件有

θ′l0=0；Ll0=M

根據(jù)約束扭轉(zhuǎn)公式有：

θl0

0

-Bl0GJd

MGJd=

1l0Kshkchk-1l0-l0kshk

0chkkl0shk1-chk

0l0kshkchkl0kshk

0001?0

0

-BOGJd

LoGJd

根據(jù)第1，第2和第4個方程易解得

L0=M

B0=Ml0－Ml0chkkshk

θl0=Ml0(1-chk)2GJdkshk+Ml0GJd(1-shkK)



在此便可以得到該薄壁橫梁的扭轉(zhuǎn)剛度:

kl=Mθl0（23）

1.2.2 扭桿扭轉(zhuǎn)剛度計算

扭桿為圓截面閉口薄壁截面，在扭轉(zhuǎn)載荷作用下不發(fā)生翹曲，其扭轉(zhuǎn)剛度可以用自由扭轉(zhuǎn)的公式計算：

kg=π(d41-d42)G32l0(24)

整個扭轉(zhuǎn)梁的扭轉(zhuǎn)剛度為：

k=kl+kg（25）

1.3 橫梁扭轉(zhuǎn)角

扭轉(zhuǎn)梁懸架車輪的運(yùn)動可以等效為以車身連接點(diǎn)o1與橫梁對稱面剪切中心（上文求得的主扇性極點(diǎn)）o2的連線矢量t為轉(zhuǎn)軸擺動[7]，如圖5所示.右輪心與右襯套硬點(diǎn)坐標(biāo)見表1．



圖5等效運(yùn)動學(xué)模型

Fig.5Equivalent kinematics model

表1 懸架硬點(diǎn)坐標(biāo)

Tab.1 Suspension hardpoint coordinates

硬點(diǎn)名稱

x

y

z

輪心o

3 624.1

762.5

320.0

襯套中心o1

3 213.6

573.5

305.9

基于多體計算動力學(xué)歐拉四元素法[8]，定義：

縱向單位矢量p′=［1,0,0］T；

旋轉(zhuǎn)軸的歐拉角矢量t=［tx,ty,tz］T；

歐拉四元素矢量：

q=［λ0,λ1,λ2,λ3］T=

［cos (β2),txsin (β2),tysin (β2),tzsin (β2)］T變換矩陣:

T=

2(λ20+λ21)-12(λ1λ2-λ0λ3)2（λ1λ3+λ0λ2）

2(λ1+λ2)+λ0λ3)2(λ20λ22)-12（λ2λ3-λ0λ1）

2(λ1+λ3-λ0λ2)2(λ2λ3+λ0λ1)2（λ20+λ23）-1

矢量p′繞擺軸轉(zhuǎn)過β角得到矢量p=Tp′.

發(fā)生側(cè)傾運(yùn)動時如圖6所示，橫梁兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角θ定義為[9]：

θ=2tan-1pzpx(26)

1.4 側(cè)傾角剛度計算

根據(jù)定義，已知截面參數(shù)及懸架結(jié)構(gòu)參數(shù)，由式(1)~(26)，設(shè)定輪跳范圍（即對應(yīng)的β的范圍），在每個分析步完成都有一個力矩和角度的變化，即可以求得側(cè)傾角剛度CK:

CK=dTd=12dFdZB2

式中B為輪距.



圖6橫梁扭轉(zhuǎn)角示意圖

Fig.6Bar torsion angle

2 數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證

考慮到襯套對扭轉(zhuǎn)剛度的影響，將擺臂與車身用球鉸鏈接，在有限元軟件ABAQUS中建立了扭轉(zhuǎn)梁式后懸架有限元仿真分析模型，如圖7所示.



圖7 ABAQUS有限元仿真模型

Fig.7 ABAQUS simulation model

根據(jù)上文推導(dǎo)出的懸架側(cè)傾剛度計算公式，在MATLAB中編寫程序進(jìn)行仿真，繪出懸架側(cè)傾剛度隨反向輪跳上下20 mm的變化曲線圖，并將其與有限元仿真的數(shù)據(jù)作對比，結(jié)果如圖8所示.

由圖8可以看出ABAQUS懸架側(cè)傾剛度曲線在小范圍內(nèi)隨輪跳呈非線性變化，而理論模型側(cè)傾角剛度呈線性變化，這是由于扭轉(zhuǎn)梁懸架是一種半獨(dú)立懸架，左右輪相互產(chǎn)生橫向干涉，引起扭轉(zhuǎn)角非線性變化，而理論模型完全等效成拖曳臂式獨(dú)立懸架，故過程中扭轉(zhuǎn)角隨輪跳呈線性變化，所求得的曲線也呈線性變化.同時理論模型沒有考慮到擺臂的彎曲及扭轉(zhuǎn)剛度，這也導(dǎo)致理論值較仿真值要偏小的原因.總的來說，通過理論推導(dǎo)出來的側(cè)傾剛度與ABAQUS仿真值比較接近，驗(yàn)證了該數(shù)學(xué)推導(dǎo)的正確性.

輪跳/mm

圖8 側(cè)傾剛度對比曲線圖

Fig.8Roll stiffness curve

3 基于NSGAⅡ算法多目標(biāo)優(yōu)化

NSGAⅡ算法是一種基于快速分類的、采用精英策略的多目標(biāo)遺傳算法.首先,隨機(jī)生成父代種群,然后對種群進(jìn)行快速非勝出排序.根據(jù)每個非支配解的分級水平為指定適應(yīng)值.進(jìn)行選擇、復(fù)制和變異操作生成具有N個個體的子代種群, 父代和子代混合利用精英策略構(gòu)造出新種群, 并重復(fù)循環(huán)[10].

3.1 多目標(biāo)優(yōu)化模型的建立

考慮到該類懸架在橫梁與縱臂焊接處往往會出現(xiàn)應(yīng)力集中，需要通過加強(qiáng)板、拓?fù)鋬?yōu)化等措施來改善其應(yīng)力分布，而這對于數(shù)學(xué)求解應(yīng)力帶來了不便.

基于上述考慮，本文以橫梁及扭桿的截面尺寸參數(shù)作為設(shè)計參數(shù)，其初始值與各變量范圍見表2，建立以桿件的質(zhì)量和側(cè)傾剛度為目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下:

minf1(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=m

f2(x1,x2,x3,x4,x5,x6)=1U

s.t.xmin ≤xi≤xmax 

式中m為橫梁的質(zhì)量,m=2(pr+L)tl0ρ,ρ為材料密度；U為輪跳過程中的平均側(cè)傾剛度；p，r，t，L，d2，d1分別代表設(shè)計變量x1，x2，x3，x4，x5，x6；l0為橫梁長.

表2 截面尺寸設(shè)計參數(shù)

Tab.2 Section design parameters

變量

p/（°）

t/mm

L/mm

r/mm

d1/mm

d2/mm

初始值

65

5

82

19.5

21

15

下限值

58

4

70

17

19

13

上限值

72

6

90

22

23

17

3.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

采用Matlab編寫的NSGAⅡ程序,應(yīng)用上述數(shù)學(xué)模型,在懸架上下跳動20 mm的過程中,對兩個目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化.在種群規(guī)模為100,交叉概率為0.9,變異概率為0.1時,進(jìn)行500代進(jìn)化后得到該多目標(biāo)優(yōu)化的Pareto最優(yōu)解集,如圖9所示.

目標(biāo)函數(shù)f1/kg

圖9多目標(biāo)優(yōu)化Pareto解集

Fig.9 Multiobjective optimization of Pareto solution set



顯然，從圖9可以看出橫梁的質(zhì)量與平均側(cè)傾剛度的倒數(shù)是一對矛盾體，往往不可能使得這兩目標(biāo)同時達(dá)到最優(yōu)，只能在各目標(biāo)之間進(jìn)行協(xié)調(diào)權(quán)衡與折中處理，盡可能滿足各目標(biāo)達(dá)到最優(yōu).

為了使f1，f2盡可能最優(yōu)，本文取A點(diǎn).fn=(f1，f2)=(7.86,21.19)；響應(yīng)的設(shè)計變量為：xn=(x1，x2，x3，x4，x5，x6)=(62.86，18.38，4，70，15.25，23).

通過計算得出優(yōu)化前的質(zhì)量f′1、平均側(cè)傾角剛度f＇2，f＇n=(f1＇，f2＇)=（9.95，19.13）．

對比優(yōu)化前后目標(biāo)函數(shù)的值，優(yōu)化后帶穩(wěn)定桿的橫梁總質(zhì)量減少了10.95%，同時側(cè)傾角剛度增加了10.77%，可以得出優(yōu)化效果比較理想，為扭轉(zhuǎn)梁開發(fā)提供了設(shè)計空間.

4 結(jié) 論

建立了帶橫向穩(wěn)定桿的扭轉(zhuǎn)梁截面參數(shù)與其等效在車輪處側(cè)傾角剛度之間的數(shù)學(xué)模型，與虛擬樣機(jī)ADAMS仿真的結(jié)果保持較高的一致性，驗(yàn)證了模型的正確性.基于該模型，采用改進(jìn)的非支配排序遺傳算法(NSGAⅡ)對側(cè)傾剛度和橫梁的質(zhì)量進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，獲得pareto解，結(jié)果表明該優(yōu)化方法是可行的.為補(bǔ)償彈簧側(cè)傾剛度的不足，提高整車平順性能提供了可能[11].對扭轉(zhuǎn)梁懸架設(shè)計初級階段總成特性參數(shù)的設(shè)計、選擇具有深刻的理論指導(dǎo)意義，提高了扭轉(zhuǎn)梁懸架的設(shè)計效率.

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