陸庭

摘 要： 兩角和與差的余弦是《三角恒等變換》第一節(jié)內(nèi)容，也是最重要的一節(jié)內(nèi)容。它是前面三角函數(shù)知識的延續(xù)，又是推導正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎。

關鍵詞： 角 余弦 數(shù)學 教學

一、教學內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容是高一數(shù)學必修4（蘇教版）第三章《三角恒等變換》第一節(jié)的內(nèi)容，重點放在兩角差的余弦公式的推導和證明上，其次是利用公式解決一些簡單的三角函數(shù)問題。

在學習本章之前，已經(jīng)學習了三角函數(shù)及向量的有關知識，從而為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的聯(lián)系提供了重要的工具。本章我們將使用這些工具探討三角函數(shù)值的運算。本節(jié)內(nèi)容不僅是推導正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎，對于三角變換，三角恒等式的證明，三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用，而且其推導過程本身就具有重要的教育價值。

二、學生學習情況分析

本節(jié)課的主要內(nèi)容是“兩角差的余弦公式的推導及證明”，用到的工具有“單位圓中三角函數(shù)的定義”和“平面向量數(shù)量積的定義及坐標表示”，都屬于基礎知識，內(nèi)容簡單，容易理解和接受。但是在向量法證明的過程中，向量夾角的范圍是[0，π]，與兩角差α-β的范圍不一致，學生對角的范圍說明不清，是本節(jié)課的難點。

三、設計思想

教學理念：以“研究性學習”為載體，培養(yǎng)學生自主學習、小組合作的能力。

教學原則：注重學生自主學習與探究能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)學生個性的發(fā)展與小組合作共性的融合。

教學方法：先學后教，小組合作，師生互動。

四、教學目標

知識與技能：了解用向量法推導兩角差的余弦公式的過程，掌握兩角和（差）的余弦公式并能運用公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值。

過程與方法：自主探究兩角差的余弦公式的表現(xiàn)形式，經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導兩角差的余弦公式的過程，并能獨立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用。

情感態(tài)度與價值觀：體驗和感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，感悟事物之間普遍聯(lián)系和轉化的關系。

五、教學重點與難點

重點：兩角差的余弦公式的推導及證明。

難點：引入向量法證明兩角差的余弦公式及兩角差范圍的說明。

六、教學程序設計1.情境創(chuàng)設，課上展示。

課前探究：

課上展示：請同學們展示一下課前所得到的結果吧。

設計意圖：課前以問題串的形式給學生指明研究方向。問題層層遞進，從特殊到一般，使學生的研究具有一定的坡度性。既讓學生容易上手，又讓學生在研究過程中慢慢深入與提高。

主要目的：讓學生自主發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式的表達形式。

通過課上展示，學生把課下研究出來的成果與全班同學共享，產(chǎn)生共鳴，為進一步研究兩角差的余弦公式做好準備，同時增強表達能力及自信心。

2.合作探究，小組展示。

探究一：兩角差的余弦公式的推導

問題4：問題2中我們所得到的結論對于任意角還成立嗎？你能證明嗎？

問題5：觀察我們得到結論的形式，你能聯(lián)想到什么呢？

探究二：兩角和的余弦公式的推導

問題6：你能根據(jù)差角的余弦公式推導出和角的余弦公式嗎？

問題7：比較差角的余弦公式與和角的余弦公式，它們在結構上有何異同點？

通過小組展示，各個小組之間產(chǎn)生思維的碰撞，迸出火花，得到新的靈感與智慧。從而培養(yǎng)學生團結協(xié)作與小組合作的能力。

3.鞏固知識，例題講解。

例1：利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導公式：

例3：化簡cos100°cos40°+sin80°sin40°

設計意圖：教師對各小組展示內(nèi)容做適當點評，并且對“向量法證明的優(yōu)點”，“向量法證明過程的完善”，“向量法中向量夾角與兩角差的范圍的統(tǒng)一”做簡要講解。

例1，例2都是公式的直接應用。例1讓學生體會誘導公式將余弦的和差角公式推導出正弦的和差角公式，為下節(jié)課埋下伏筆。例2中根據(jù)cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的過程都是為推導正弦和差公式，正切和差公式做鋪墊。

變式將例2中具體的角變成抽象的角，利用同角三角函數(shù)公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值時，要注意根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號。

例3：是公式的逆用，培養(yǎng)學生逆向思維的能力，讓學生對公式結構再認識。

4.提升總結，鞏固練習。

提升總結：針對上面的3個例題，談談你學到了什么？

（2）利用兩角和差的余弦公式求值時，應注意觀察、分析題設和公式的結構特點，從整體上把握公式，靈活的運用公式。

（3）在解題過程中，要注意角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，以防增根、漏根。

設計意圖：主要以學生總結為主，老師做適當點評及補充。

七、教學反思

本節(jié)課主要以學生的自主學習、小組合作為主，充分發(fā)揮了學生的自主探究能力和團隊協(xié)作能力，提高了學生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題和解決問題的能力。情境創(chuàng)設中利用三個問題讓學生在課前提前熟悉本節(jié)課所學的內(nèi)容“是什么”，“我能得到哪些結論”，調動了學生的思維與學習的積極性，激發(fā)了學生的求知欲。但是

但是如果給出圖像，則又會限制數(shù)學優(yōu)秀的學生的解題思路與方法，這對矛盾是由學生的差異所決定的。教師在課堂上應指導、啟發(fā)學生，注意教學的示范性，明確解題的規(guī)范性，實現(xiàn)學生在學習過程中知識的跨越?？傊?，教學有法，教無定法，貴在得法，為了提高課堂教學效率，我們要從學生的實際出發(fā)，以學法帶動教法，為高效課堂保駕護航。