楊 婷

（西安財(cái)經(jīng)學(xué)院，陜西 西安 710000）

一、引言

博弈論作為描述現(xiàn)實(shí)世界中包含矛盾、沖突、對(duì)抗、合作諸因素的理論和方法，在管理、經(jīng)濟(jì)、軍事等各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域都得到了迅猛的發(fā)展和應(yīng)用。合作博弈作為博弈論的一個(gè)重要分支，主要考慮如何分配的問(wèn)題。合作博弈理論研究的中心問(wèn)題是研究博弈的各種解，也就是研究如何將合作的收益公平合理地分配給每個(gè)合作的參與者。Shapley、Aumann、Maschler、Schimeidler等提出了一系列合作博弈的解，如Shapley值、核心、穩(wěn)定集、談判集等，建立和完善了合作博弈的值理論。

Gillies引進(jìn)了被稱之為核心的一個(gè)解概念，一個(gè)博弈的核心包含這樣的支付向量，每個(gè)聯(lián)盟成員的收益和應(yīng)不少于聯(lián)盟的收益。核心是研究最多的解概念之一，但在很多情況下，核心也是空的。在此基礎(chǔ)上，Shapley和Shubik提出了強(qiáng)ε-核心。

二、具有受限支付的合作博弈

定義2.1：具有特征函數(shù)形式的n人合作博弈是一個(gè)有序?qū)Γ∟,υ），其中N＝｛1,2,……，n｝是參與者的集合，任何的非空子集稱為一個(gè)聯(lián)盟，υ是一個(gè)定義在N的子集上的，滿足υ（φ）=0的實(shí)值函數(shù)（稱為特征函數(shù)）。

定義2.2：博弈（N,υ）的分配的定義為一個(gè)向量x=(x1,x2,…，xn),滿足(i)Σi∈Nxi=υ(N),(ii)x1≥υ({i})對(duì)所有i∈N都成立。

定義2.3：博弈（N,υ）的預(yù)分配的定義為一個(gè)向量x=(x1,x2,…，xn),滿足：

Σi∈Nxi=υ(N)

在預(yù)分配中，保留了分配中的群體合理?xiàng)l件，而舍去了個(gè)體合理?xiàng)l件。

定義2.4：n人合作博弈（N,υ）是超可加，如果對(duì)N的所有子集S,T都有υ(S∪T)≥υ(s)+υ(T)。

定義2.5：n人合作博弈（N,υ）是單調(diào)的，如果對(duì)滿足S?T的N的所有子集S,T都有υ(s)≤υ(T)。

注：如果（N,υ）是非負(fù)超可加博弈，則（N,υ）是單調(diào)的。

定義 2.6：令 0

(i)Σi∈Nxi=rυ(N),(ii)xi≥ciυ({i})對(duì)所有 i∈N都成立。

注意：r=max{ci:i∈N}對(duì)定義2.5中兩個(gè)條件的一致性是必要的。

定義 2.7：令0

定義 2.8：令 c=(c1,c2,…，cn)，0y，如果：

(i)xi>yi對(duì)所有i∈S成立,

(ii)Σi∈Sxi+|S|ε≤max{ci:i∈N}V(S)。

定義 2.9：給定c=(c1,c2,…，cn)，0

定理2.10：非負(fù)超可加博弈（N,υ）的廣義強(qiáng)ε-核心，是滿足下面兩個(gè)條件的n維向量x=(x1,x2,…，xn)的集合：

(i)Σi∈Nxi=rυ(N),(ii)Σi∈Sxi+|S|ε≥max{ci:i∈N}υ(S)對(duì)所有 S?T都成立。

證：當(dāng) S={i}時(shí)，條件(ii)退化為 xi+ε≥ciυ(S)，假定 x滿足條件(i)和條件(ii)，并且對(duì)所有的 i∈S，滿足 yi>xi，那么：

這意味著y優(yōu)超x是不可能的，因此x∈C*ε（υ）。

反之，假定x是一個(gè)不同時(shí)滿足條件(i)和條件(ii)的n維向量。如果x不滿足條件(i)，那么x不是一個(gè)廣義預(yù)分配，因此x?C*ε（υ）。如果x不滿足條件(ii),這意味著對(duì)某個(gè)非空S?T，則：

令：

則α>0，令：

令：

顯然有：當(dāng)i∈S時(shí)，yi>0；而當(dāng)i?S時(shí)，由于：

那么y是一個(gè)廣義分配。

很明顯，

所以 y>x,意味著 x?C*ε（υ）。

則yi不是一個(gè)廣義核心。

三、廣義強(qiáng)ε-核心的性質(zhì)

定理 3.1：若 ε1>ε2，則有

定義3.2：n人合作博弈 (N,υ)，ε0是使得廣義強(qiáng)ε-核心C*ε（υ）≠φ 的最小 ε，稱為博弈的最小廣義核心，記為L(zhǎng)C*。

顯然，若取r=1,ε=0時(shí)，廣義最小強(qiáng)ε-核心就是通常意義下的核心，即LC*=C（υ）。

定理 3.3:令 0

Minimizez=ε

Subject toΣi∈Nxi=rυ(N),

Σi∈Sxi+|S|ε≥max{ci:i∈N}υ(S)

該線性規(guī)劃的解ε*,即為所求最小ε*核心對(duì)ε要求，而其余解x*=(x1*,x2*,…xn*)則是最小ε-核心在C*ε（υ）中所含的分配方案。

證:很顯然，如果 x∈C*ε（υ），由定理2.10，則x滿足上述線性規(guī)劃條件。

反之，假定線性規(guī)劃在x*=(x1*,x2*,…xn*)處取得最小值ε*，其包含在 C*ε（υ）所含的分配方案,使得 C*ε（υ）≠φ，證畢。

例3.4：設(shè)有一個(gè)三人博弈(N,υ)，其中N={1,2,3}，特征函數(shù)的取值如下:很明顯，該博弈是非負(fù)超可加的，且其核心是空集。這是因?yàn)楹诵牡姆峙浔仨殱M足：

x1≥0,x2≥0,x3≥0

x1+x2+x3=1,

由后面的三個(gè)不等式得：

與x1+x2+x3=1矛盾，所以核心是空集。

此時(shí)，強(qiáng)ε-核心非空。

此時(shí)，廣義強(qiáng)ε-核心非空。

四、結(jié)語(yǔ)

廣義強(qiáng)ε-核心是對(duì)強(qiáng)ε-核心的進(jìn)一步擴(kuò)展，是對(duì)核心研究?jī)?nèi)容和方法的豐富。在廣義分配概念的基礎(chǔ)上，本文推廣了傳統(tǒng)合作博弈核心的概念，得到了廣義強(qiáng)ε-核心，并且對(duì)廣義核心建立了類(lèi)似于已有的一些關(guān)于核心的基本結(jié)果。

[1]Neumann von J，Morgenstern O.Theory of Games and Economic Behavior.Princeton:Princeton University Press，1944.

[2]Gillies D B.Some Theorems on n-person Games.Ph.D Thesis，Princetn:Princeton University Press，1953.

[3]Owen G.Game Theory.New York：Academic Press，1955.

[4]劉小冬，劉九強(qiáng)，胡健.具有受限支付的合作博弈研究，應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2012.