楊 娟，李 星

（（1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，銀川 750021；2.寧夏大學(xué) 民族預(yù)科教育學(xué)院，銀川 750002）

電磁材料作為一類(lèi)多功能材料，因其特有的電磁耦合效應(yīng)在電子技術(shù)、超聲技術(shù)、智能工程及其它先進(jìn)智能結(jié)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用。在電磁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中對(duì)其缺陷研究意義十分重要。

裂紋為常見(jiàn)缺陷，預(yù)存于器件中或器件使用時(shí)因外荷載產(chǎn)生。隨探礦技術(shù)、無(wú)損檢測(cè)技術(shù)、雷達(dá)及聲納技術(shù)發(fā)展及對(duì)工程結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷作用下問(wèn)題研究，彈性波散射理論研究引起普遍關(guān)注。文獻(xiàn)［2－3］研究彈性復(fù)合材料中裂紋對(duì)SH波的散射。文獻(xiàn)［4］研究壓電纖維、彈性材料界面曲線型裂紋對(duì)反平面剪切波散射作用。文獻(xiàn)［5］研究正交各型異性功能梯度材料中裂紋對(duì)SH波散射。諸文獻(xiàn)均假設(shè)彈性波垂直入射，與實(shí)際情況不符。文獻(xiàn)［6］利用對(duì)偶積分方程方法研究了功能梯度壓電壓磁材料中裂紋對(duì)以任意角度入射的SH波的散射。文獻(xiàn)［7－8］考慮限制導(dǎo)通邊界條件下，假設(shè)SH波以θ角入射，利用Copson方法研究了功能梯度壓電帶拼接半無(wú)限大壓電材料及功能梯度壓電層拼接半無(wú)限大功能梯度材料中裂紋對(duì)SH波的散射。文獻(xiàn)［9］采用積分方程方法研究了功能梯度材料涂層下壓電底層中裂紋對(duì)SH波的散射。，現(xiàn)在還未見(jiàn)到有關(guān)壓電拼接電磁復(fù)合材料中裂紋對(duì)SH波的散射研究問(wèn)題的報(bào)道。

本文利用積分變換技術(shù)結(jié)合求解對(duì)偶積分方程Copson方法研究壓電材料拼接電磁復(fù)合材料中裂紋對(duì)以θ角入射的SH波散射。用Fourier變換將混合邊值問(wèn)題求解轉(zhuǎn)化為對(duì)偶積分方程求解。獲得裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子、電位移強(qiáng)度因子及磁通量強(qiáng)度因子。通過(guò)數(shù)值算例分析裂紋長(zhǎng)度、裂紋到界面距離、入射角及波數(shù)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響。

圖1 壓電材料粘接于電磁復(fù)合材料中裂紋對(duì)SH波散射的幾何模型Fig.1 Geometry of scattering of the SH wave on a crack magnetoelectroelastic composites bonded to a piezoelectric material

1 問(wèn)題描述

考慮的問(wèn)題見(jiàn)圖1，壓電材料粘接于下半平面為半無(wú)限大電磁復(fù)合材料，內(nèi)含長(zhǎng)2a裂紋，上半平面為半無(wú)限大壓電材料。xoy平面為各向同性面，與之垂直方向（z向）為極化方向。為描述方便，將結(jié)構(gòu)分三個(gè)區(qū)域：裂紋以下為區(qū)域D3，裂紋至界面為區(qū)域D2，裂紋至界面距離為h，界面以上為區(qū)域D1。

SH波以θ角入射、作用于裂紋時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)為反平面剪切，屬斷裂力學(xué)意義的Ⅲ型裂紋問(wèn)題。不為零位移僅有一個(gè)，即 w（x，y，t）為x，y的函數(shù)，t為時(shí)間變量。由波的疊加關(guān)系可知總波場(chǎng)、入射場(chǎng)及散射場(chǎng)關(guān)系為

式中：上標(biāo)（t），（j）表示總位移場(chǎng)、入射場(chǎng)；w（x，y，t）為散射場(chǎng)。

壓電材料本構(gòu)方程表示為

式中分別為壓電材料應(yīng)力、電位移、電勢(shì)、剪切模量、壓電常數(shù)及介分別為電磁復(fù)合材料應(yīng)力、電位移、磁通量、電勢(shì)、磁勢(shì)、剪切模量、壓電系數(shù)、介電參數(shù)、壓磁耦合系數(shù)、電磁耦合系數(shù)及磁導(dǎo)率。圖1中 k＝2，3分別對(duì)應(yīng) D2、D3區(qū)域。

設(shè)入射波為平面諧波，入射波形式為

因入射波、散射波時(shí)間因子相同，散射波場(chǎng)可寫(xiě)為

2 問(wèn)題轉(zhuǎn)化及對(duì)偶積分方程獲得

問(wèn)題的邊界條件為式中：2＝2x2＋2y2為二維 Laplace算子；ρ（1）為壓電材料密度；ρk為電磁復(fù)合材料密度；k＝2，3。

式（15）～式（19）經(jīng)傅里葉變換后的解可假設(shè)為

定義裂紋上下表面位移差為

將式（21）、（22）代入式（26），并經(jīng) Fourier余弦變換，得

求解式（27）～式（37）獲得 A1（s），B1（s），A2（s），B2（s），C2（s），D2（s），E2（s），F(xiàn)2（s），A3（s），B3（s），C3（s）的解 （見(jiàn)附錄），并利用邊界條件（11）得對(duì)偶積分方程為

式中：g1（s）為已知函數(shù)，見(jiàn)附錄。

3 對(duì)偶積分方程求解

式中：J1（ ）為第一類(lèi)一階Bessel函數(shù)。

將式（40）代入式（24），考慮裂紋尖端附近應(yīng)力、電位移及磁通量在s→∞處奇異性，得y＝0時(shí)的應(yīng)力、電位移、磁通量主部表達(dá)式為

定義標(biāo)準(zhǔn)化應(yīng)力強(qiáng)度因子［10］為

4 數(shù)值算例及討論

設(shè)（圖1）結(jié)構(gòu)中壓電材料、電磁復(fù)合材料分別為PZT－4、BaTiO3－CoFe2O4，其結(jié)果見(jiàn)圖2～圖4。

圖2 不同aω時(shí)標(biāo)準(zhǔn)化應(yīng)力強(qiáng)度因子K3隨a變化關(guān)系Fig.2 Variations of the normalized stress intensity factor K3 with a for different aω

圖3 不同h／a時(shí)標(biāo)準(zhǔn)化應(yīng)力強(qiáng)度因子K3隨aω／變化關(guān)系Fig.3 Variations of the normalized stress intensity factor K3 with aω／ for different h／a

圖4 不同θ時(shí)標(biāo)準(zhǔn)化動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子K3隨aω／c（2）sh變化關(guān)系Fig.4 Variations of the normalized stress intensity factor K3 with aω at differentθ

（1）圖2為波數(shù)aω／c（2）sh變化時(shí)裂紋長(zhǎng)度a對(duì)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響（h／a＝0.5，θ＝pi／4）。由圖 2看出，aω越大標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子越??；aω一定時(shí)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨a的增大而減小，而標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子在裂紋長(zhǎng)度為0～0.3間即較接近。工程中可通過(guò)檢測(cè)裂紋長(zhǎng)度變化預(yù)防因裂紋擴(kuò)展造成的工件失效。

（2）圖3為不同裂紋至界面距離 h／a時(shí)波數(shù)aω對(duì)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響（a＝0.5，θ＝pi／4）。由圖3看出，h／a對(duì)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響不明顯。工程中適當(dāng)控制裂紋至界面距離有利于提高材料的抗斷裂能力；h／a一定時(shí)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨aω／的增大而減小。

（3）圖4給為入射角 θ變化時(shí)波數(shù)aω／對(duì)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子影響（h／a＝0.5，a＝0.2）。由圖 4看出，標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨θ的增大而增大；θ一定時(shí)標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子隨aω的增大而減小。對(duì)相同入射頻率入射角越大。較大入射角可抑制標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子峰值出現(xiàn)，表明材料的標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子可通過(guò)入射角控制。適當(dāng)調(diào)節(jié)載荷入射角可抑制材料的性質(zhì)變化及裂紋擴(kuò)展。

（4）由圖2～圖4知，標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子將隨波數(shù) aω的增加而減小。因此工程中通過(guò)調(diào)整入射波頻率可降低裂紋尖端集中，通過(guò)改變?nèi)肷洳l率實(shí)現(xiàn)應(yīng)力場(chǎng)改變。

（5）由計(jì)算結(jié)果知，標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)應(yīng)力強(qiáng)度因子不僅與裂紋長(zhǎng)度、裂紋至界面距離、入射波頻率及入射角有關(guān)，亦與材料性質(zhì)有關(guān)。

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附錄