莊添偉

摘 要 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識(shí)和方法本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和工具，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)對于抓好雙基培養(yǎng)能力，提高學(xué)生的思維品質(zhì)具有重要的作用。本文將對平時(shí)教學(xué)中一些基本的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法加以歸納闡述。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)方法 數(shù)形結(jié)合 化歸法

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Mathematics Teaching Should Enhance the

Penetration of Mathematical Thinking

ZHUANG Tianwei

（Zhangzhou Pinghe Wuzhai Middle School， Zhangzhou， Fujian 363702）

Abstract Mathematical thinking is the soul of mathematics， mathematical thinking is a method of mathematical knowledge and understanding of the nature， mathematical methods to solve mathematical problems， mathematical ideas reflect the means and tools to strengthen the teaching of mathematical thinking ability to grasp the double base， improve the quality of student thinking has an important role. This paper summarizes and elaborates some basic mathematical ideas and mathematical methods in teaching.

Key words mathematical thinking； mathematical method； combination of number and shape； transformation method

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容始終反映著兩條線，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)教材中的每一章節(jié)乃至每一道題都體現(xiàn)著這兩條線的有機(jī)結(jié)合，沒有脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)教材中，很多題目隱含著常用的數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)方法是聯(lián)系知識(shí)與能力的紐帶，對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力，提高思維水平都具有十分重要的作用。①在基本概念、定理公式及例題示范中，一定要講思想、講方法，因此，在教學(xué)中可進(jìn)行以下幾個(gè)方面數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

1 數(shù)學(xué)模型法

許多實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的解決都依賴于能從中抽象出用數(shù)學(xué)符號(hào)語言或圖象語言刻劃表達(dá)的某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)即建立數(shù)學(xué)模型，其中包括建立方程不等式、函數(shù)等。

例 1 函數(shù) （） 的定義或?yàn)榍覞M足 （）= （）·+1，求 （） 的表達(dá)式。

分析：顯然 （） 的表達(dá)式可以含有，從方程的觀點(diǎn)看，已知等式可看成以 （） ， （）為未知量，，1為已知量的方程，由于一個(gè)方程含有兩個(gè)未知數(shù)，無法求解考慮再建立一個(gè)含有 （） ， （）的等式，與已知等式構(gòu)成方程組，消元解方程組，即可求出 （） 的表達(dá)式。

解：以為自變量得等式 （） = （）·+1

由方程組 得 （） =

數(shù)學(xué)模型是由已知與未知構(gòu)成的矛盾統(tǒng)一體，是從已知探索未知的橋梁，如何從問題的數(shù)量關(guān)系分析著手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，等號(hào)將問題的隱含的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、函數(shù)）這應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)上。②

2 化歸法

化歸法，就是把問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化為容易解決和已經(jīng)解決的問題的思想方法。

圖1 圖2

例 2 如圖1，在四邊形ABCD中，∠A = 60，AD+BC=AB=DC=1 求：四邊形ABCD的面積？

分析：很顯然是無法直接求出一般四邊形ABCD的面積。由AB=AD+BC使我們想到延長AD至E使DE=BC，連結(jié)BE，BD則△ABE為等邊三角形，容易求出S△ABE，由AB=DC和DE=BC可證△ABE≌△DBC，至此求四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為求S△ABE。

解：延長AD至E使ED=BC連接EB，DB，∵AB=AD+BC，DE=BC，∴AB=AD+DE=AE，又∵∠A = 60，∴△ABE是等邊三角形。S△ABE = AB·AE ×∠A = ∵△ABE是等邊三角形，∴AB=EB。又∵AB=DC，∴EB=DC而DE=BC，DBh公共邊，∴△BDE △DBC。

S四邊形ABCD=S△ABE=

3 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)結(jié)合思想是通過數(shù)形間的對應(yīng)關(guān)系來研究解決問題的思想方法，數(shù)形結(jié)合，即是“形”中覓“數(shù)”，“數(shù)”中思“形”，把要研究的問題的數(shù)量關(guān)系與空間圖形結(jié)合起來，華羅庚說：“數(shù)”缺“形”少直觀，“形”離“數(shù)”難入微如根據(jù)問題需要，可把數(shù)量關(guān)系的問題化為圖形的性質(zhì)去求解，或把圖形性質(zhì)問題化為數(shù)量關(guān)系來研究。③

例3：已知5cosA+6cosB=5，5sinA=6 sinB且A、B都是銳角，求+ B及sinA和cosB的值。

分析：不妨對兩三角等式作一下認(rèn)真研究，5sinA是斜邊為5的直角三角形中銳角A所對的直角邊長，6 sinB是斜邊為6的直角三角形中銳角B反對直角邊長，二者相等，說明這兩條直角邊長可公共。相應(yīng)地5cosA與6 sinB是這兩個(gè)直角三角形的另一直角邊長，其和為5，說明A、B在公共邊的兩旁，于是我們可構(gòu)造如圖的△ABC。endprint

解：如圖2作△ABC使AB=AC=5，BC=6，過C作CD⊥AB于D，則CD=5sinA=6 sinB，AD=5cosA，BD=6sinB且5cosA+6 sinB=AB=5，∵AB=AC，有∠B=∠ACB，∠BAC+2∠B =150 B=90

這是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，它是一種重要的解題思想方法，主要是通過觀察已知條件，聯(lián)想幾何模型，從而構(gòu)造出符合條件的幾何圖形，這種方法常?？苫疤摗睘椤皩?shí)”化難為易。

4 函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程均為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是解決一類數(shù)學(xué)問題經(jīng)常用到的基本數(shù)學(xué)思想。

例4 如果圓柱軸截面周長L這定值，那么圓柱體積的最大值是多少？

解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱高H =

∴V圓柱=·= · ·

≤ （）2=（）3

∴當(dāng)=，即 = 時(shí)V圓柱最大=

與函數(shù)概念密切聯(lián)系的是方程，因此方程的思想與函數(shù)的思想也是密切相關(guān)的。④

5 變量變換法

在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)，對函數(shù)及三角函數(shù)知識(shí)時(shí)，都有求復(fù)合函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)域，最值等問題。解決這類問題都要用變量變換法，這是教學(xué)中又一種廣泛應(yīng)用的思想方法，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)性質(zhì)后，學(xué)生可進(jìn)一步探索如何用變量變換法解決較復(fù)雜的問題。

例：求函數(shù) （）= 的最大值和最小值。

分析：學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)性質(zhì)后，初遇此題還難以著手，此時(shí)可將問題退縮到特殊情況來尋求解題思路，這也是一種常用的思想方法，此時(shí)把題目改成 （）=讓學(xué)生求解。學(xué)生利用“三角化”一章所學(xué)知識(shí)，容易想到變形 （）=，從而設(shè)=的項(xiàng)，進(jìn)行變量變換，使原函數(shù)化為以t為自變量的二次函數(shù)即可，這就為解答原題鋪平了道路。

6 分類思想

分類思想是一切科學(xué)研究的基本思想，分類應(yīng)掌握不重復(fù)，不遺漏考慮問題要全面。

例：已知拋物線 = +（+3）+4的開口向下，它與軸交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，與軸交于點(diǎn)C，如果△ABC是等腰三角形，是否存在的值；使這一拋物線關(guān)于軸對稱？若存在，請找出的值，若不存在，請說明理由。

分析，由已知可得C（0，4），若令=0，便可解得=3，=，不妨設(shè)A（3，0），B（，0）（<0），則AB、BC均可以用表示，AC=5，再由等腰三角形，分別考慮AB=AC，AB=BC與AC=BC三種情況，便可求出三個(gè)不同的值，從而只能考慮+3的值是否為0就行了。

解：因?yàn)楫?dāng)=0時(shí)，=4，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）。

由+（+3）+4=0得=3，=，∴A（3，0），B（，0），又因?yàn)閽佄锞€開口向下，<0，所以AB =∣3 + ∣= ，AC = 5，BC=

（1） 如果AB=BC，即=5，解得=

∵+3=≠0，∴拋物線關(guān)于軸不對稱。

（2） 如果AB=BC，即=，得=

∵+3=≠0，∴拋物線關(guān)于軸不對稱。

（3） 如果AC=BC，即=5，得=或=

因?yàn)?3=0，所以拋物線關(guān)于軸對稱。

綜上可知，存有=，使拋物線關(guān)于軸對稱。

注釋

① 吳炯圻，林培榕.數(shù)學(xué)思想方法.廈門大學(xué)出版社，2001：348-349.

② 蔡曄.中考·奧賽全程對接.機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

③ 吳小菲.2000年中學(xué)生數(shù)理化.機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

④ 項(xiàng)昭義，周春荔.全國金牌奧賽.京華出版社，2011endprint

解：如圖2作△ABC使AB=AC=5，BC=6，過C作CD⊥AB于D，則CD=5sinA=6 sinB，AD=5cosA，BD=6sinB且5cosA+6 sinB=AB=5，∵AB=AC，有∠B=∠ACB，∠BAC+2∠B =150 B=90

這是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，它是一種重要的解題思想方法，主要是通過觀察已知條件，聯(lián)想幾何模型，從而構(gòu)造出符合條件的幾何圖形，這種方法常?？苫疤摗睘椤皩?shí)”化難為易。

4 函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程均為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是解決一類數(shù)學(xué)問題經(jīng)常用到的基本數(shù)學(xué)思想。

例4 如果圓柱軸截面周長L這定值，那么圓柱體積的最大值是多少？

解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱高H =

∴V圓柱=·= · ·

≤ （）2=（）3

∴當(dāng)=，即 = 時(shí)V圓柱最大=

與函數(shù)概念密切聯(lián)系的是方程，因此方程的思想與函數(shù)的思想也是密切相關(guān)的。④

5 變量變換法

在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)，對函數(shù)及三角函數(shù)知識(shí)時(shí)，都有求復(fù)合函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)域，最值等問題。解決這類問題都要用變量變換法，這是教學(xué)中又一種廣泛應(yīng)用的思想方法，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)性質(zhì)后，學(xué)生可進(jìn)一步探索如何用變量變換法解決較復(fù)雜的問題。

例：求函數(shù) （）= 的最大值和最小值。

分析：學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)性質(zhì)后，初遇此題還難以著手，此時(shí)可將問題退縮到特殊情況來尋求解題思路，這也是一種常用的思想方法，此時(shí)把題目改成 （）=讓學(xué)生求解。學(xué)生利用“三角化”一章所學(xué)知識(shí)，容易想到變形 （）=，從而設(shè)=的項(xiàng)，進(jìn)行變量變換，使原函數(shù)化為以t為自變量的二次函數(shù)即可，這就為解答原題鋪平了道路。

6 分類思想

分類思想是一切科學(xué)研究的基本思想，分類應(yīng)掌握不重復(fù)，不遺漏考慮問題要全面。

例：已知拋物線 = +（+3）+4的開口向下，它與軸交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，與軸交于點(diǎn)C，如果△ABC是等腰三角形，是否存在的值；使這一拋物線關(guān)于軸對稱？若存在，請找出的值，若不存在，請說明理由。

分析，由已知可得C（0，4），若令=0，便可解得=3，=，不妨設(shè)A（3，0），B（，0）（<0），則AB、BC均可以用表示，AC=5，再由等腰三角形，分別考慮AB=AC，AB=BC與AC=BC三種情況，便可求出三個(gè)不同的值，從而只能考慮+3的值是否為0就行了。

解：因?yàn)楫?dāng)=0時(shí)，=4，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）。

由+（+3）+4=0得=3，=，∴A（3，0），B（，0），又因?yàn)閽佄锞€開口向下，<0，所以AB =∣3 + ∣= ，AC = 5，BC=

（1） 如果AB=BC，即=5，解得=

∵+3=≠0，∴拋物線關(guān)于軸不對稱。

（2） 如果AB=BC，即=，得=

∵+3=≠0，∴拋物線關(guān)于軸不對稱。

（3） 如果AC=BC，即=5，得=或=

因?yàn)?3=0，所以拋物線關(guān)于軸對稱。

綜上可知，存有=，使拋物線關(guān)于軸對稱。

注釋

① 吳炯圻，林培榕.數(shù)學(xué)思想方法.廈門大學(xué)出版社，2001：348-349.

② 蔡曄.中考·奧賽全程對接.機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

③ 吳小菲.2000年中學(xué)生數(shù)理化.機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

④ 項(xiàng)昭義，周春荔.全國金牌奧賽.京華出版社，2011endprint

解：如圖2作△ABC使AB=AC=5，BC=6，過C作CD⊥AB于D，則CD=5sinA=6 sinB，AD=5cosA，BD=6sinB且5cosA+6 sinB=AB=5，∵AB=AC，有∠B=∠ACB，∠BAC+2∠B =150 B=90

這是數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，它是一種重要的解題思想方法，主要是通過觀察已知條件，聯(lián)想幾何模型，從而構(gòu)造出符合條件的幾何圖形，這種方法常?？苫疤摗睘椤皩?shí)”化難為易。

4 函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程均為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是解決一類數(shù)學(xué)問題經(jīng)常用到的基本數(shù)學(xué)思想。

例4 如果圓柱軸截面周長L這定值，那么圓柱體積的最大值是多少？

解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱高H =

∴V圓柱=·= · ·

≤ （）2=（）3

∴當(dāng)=，即 = 時(shí)V圓柱最大=

與函數(shù)概念密切聯(lián)系的是方程，因此方程的思想與函數(shù)的思想也是密切相關(guān)的。④

5 變量變換法

在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)，對函數(shù)及三角函數(shù)知識(shí)時(shí)，都有求復(fù)合函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)域，最值等問題。解決這類問題都要用變量變換法，這是教學(xué)中又一種廣泛應(yīng)用的思想方法，在學(xué)習(xí)三角函數(shù)性質(zhì)后，學(xué)生可進(jìn)一步探索如何用變量變換法解決較復(fù)雜的問題。

例：求函數(shù) （）= 的最大值和最小值。

分析：學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)性質(zhì)后，初遇此題還難以著手，此時(shí)可將問題退縮到特殊情況來尋求解題思路，這也是一種常用的思想方法，此時(shí)把題目改成 （）=讓學(xué)生求解。學(xué)生利用“三角化”一章所學(xué)知識(shí)，容易想到變形 （）=，從而設(shè)=的項(xiàng)，進(jìn)行變量變換，使原函數(shù)化為以t為自變量的二次函數(shù)即可，這就為解答原題鋪平了道路。

6 分類思想

分類思想是一切科學(xué)研究的基本思想，分類應(yīng)掌握不重復(fù)，不遺漏考慮問題要全面。

例：已知拋物線 = +（+3）+4的開口向下，它與軸交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，與軸交于點(diǎn)C，如果△ABC是等腰三角形，是否存在的值；使這一拋物線關(guān)于軸對稱？若存在，請找出的值，若不存在，請說明理由。

分析，由已知可得C（0，4），若令=0，便可解得=3，=，不妨設(shè)A（3，0），B（，0）（<0），則AB、BC均可以用表示，AC=5，再由等腰三角形，分別考慮AB=AC，AB=BC與AC=BC三種情況，便可求出三個(gè)不同的值，從而只能考慮+3的值是否為0就行了。

解：因?yàn)楫?dāng)=0時(shí)，=4，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）。

由+（+3）+4=0得=3，=，∴A（3，0），B（，0），又因?yàn)閽佄锞€開口向下，<0，所以AB =∣3 + ∣= ，AC = 5，BC=

（1） 如果AB=BC，即=5，解得=

∵+3=≠0，∴拋物線關(guān)于軸不對稱。

（2） 如果AB=BC，即=，得=

∵+3=≠0，∴拋物線關(guān)于軸不對稱。

（3） 如果AC=BC，即=5，得=或=

因?yàn)?3=0，所以拋物線關(guān)于軸對稱。

綜上可知，存有=，使拋物線關(guān)于軸對稱。

注釋

① 吳炯圻，林培榕.數(shù)學(xué)思想方法.廈門大學(xué)出版社，2001：348-349.

② 蔡曄.中考·奧賽全程對接.機(jī)械工業(yè)出版社，2007.

③ 吳小菲.2000年中學(xué)生數(shù)理化.機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

④ 項(xiàng)昭義，周春荔.全國金牌奧賽.京華出版社，2011endprint